導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、相關(guān)概念1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量_x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量_y =f (x0 + = x )f ( x 0)，比值比y叫做函數(shù)y=f ( x)在x 0到x o + Ax之間的平均變化率，即.x工 f(Xo.：x) 一 f(Xo)。如果當(dāng) x 0時(shí)，衛(wèi)有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0lxlxlx處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f( x 0)或y| x=x。y f(Xo ：x) - f (Xo)即 f (x0) = lim = lim -。I Ax 3Ax求函數(shù)的增量 Ay=f (x0+.x ) f (x0)； 求平

2、均變化率=f(x- rx)-f(x-)；Lxlx 取極限，得導(dǎo)數(shù)f (x 0)= li y。2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0)處的切線的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f (x)在點(diǎn)p (x0, f (x0)處的切線的斜率是f( x0 )。相應(yīng)地，切線方程為 y y0=f，(x0) (x x0 )。3.導(dǎo)數(shù)的物理意義如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是s=s (t),那么該物體在時(shí)刻 t的瞬間速度v=s (t)。如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是v=v(t)，則該物體在時(shí)刻t的加速度a=v (t )。二.求導(dǎo)數(shù)的方法1 幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)

3、數(shù)1 若 f(x)=c，則 f (X)=；2 .若 f(x)=x，則 f(x) =；3若 f (x) =X2，則 f (x) =； 4 .若 f(X)=，則 f (X)=。X2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.若 f(x)=c,則 f (x) =;2若 f(x) = xn (n EQ)，則 f(x) =；3.若 f(x)=sinx，貝U f (x) =；4 .若 f(x)=cosx，貝U f (x) =;5.右 f(x)=a ,則 f(x) =(a0) ；6 .若 f(x) = e ,則 f(x)=7.若 f (x) =0 x，則 f (x) = ( a0 且 a1) ;8.若 fjgriux ，則 f

4、(x) = _3. 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(u _v) = Cf (x)= (uv) F=,(尋)F= (v 工0)4. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)U -yx)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y =f(u)在點(diǎn)U -yx)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)flx)在點(diǎn)x處可導(dǎo)， 且f(X)=，即卩 yx =yu Ux導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間 的一般步驟： 求出f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)； 求出方程f(x)=0的根； f (x)0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f (x)=m恒成立，求 m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍;例9 實(shí)際運(yùn)用1. (2007重慶文)用長(zhǎng)為18 m的鋼條

5、圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬 之比為2: 1,問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多 少？2. (湖南文)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x (噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格 p (元/1 2噸)之間的關(guān)系式為：p = 24200 x，且生產(chǎn)x噸的成本為R = 50000 200x (元)。問(wèn)5該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？(利潤(rùn)=收入-成本)練習(xí)1.(全國(guó)卷I文)函數(shù)f(x)=x3 ax2 39,已知f (x)在x = -3時(shí)取得極值，則a=()(A) 2(B) 3(C) 4(D) 52. (海南、寧夏文)設(shè) f (x) = xl

6、n x，若 f (x) = 2，則 Xo =()2In 2| cA. e B. e C.D. In 22323. (廣東)函數(shù)f(x) =x -3x1是減函數(shù)的區(qū)間為()A . (2, ：) B.(-二,2)C.(-二,0) D.( 0，2)14. (安徽文)設(shè)函數(shù) f(x) =2x -1(x ：0),貝U f(x)()xA .有最大值B .有最小值C .是增函數(shù)D .是減函數(shù)5.(福建文、理)已知對(duì)任意實(shí)數(shù) x有f( x)= f(x) , g(-x)=g(x),且x0時(shí)，f (x)0g )(x)0(x)02.則x0gB f (0, g (x)0C f (x)0g(2009寧夏銀川)（x）0若

7、函數(shù)D f (x)0 g (x)0)有極大值9.(I)求m的值； (n)若斜率為-5的直線是曲線y二f (x)的切線，求此直線方程_ _ 229. (2007 海南、寧夏文)設(shè)函數(shù) f(X)=1 n(2x 3) X(I)討論f(x)的單調(diào)性；(n)求f (x)在區(qū)間-3, 的最大值和最小值.IL 4 430. (2009陜西20)已知函數(shù)f(x)=x3 ；ax_1,a不等于0. (1 )求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在x=_1處取得極值，直線 y=m與y=f(x)的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求 取值范圍。3 2 231.已知函數(shù)f (x) = x ax bx c在x 與x = 1時(shí)都取得極值 3(1)求a, b的值與函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間；若對(duì)任意-1,2,不等式f (x) :：C恒成立，求c的取值