電磁學(xué)課后部分習(xí)題答案解析

1、電磁學(xué)課后部分習(xí)題答案解析1.2.2 兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷所帶電荷量之和為Q.在兩者距離一定的前提下，他們帶電荷量各為多少時(shí)相互作用力最大？ 解答：設(shè)一個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量為,另一個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量為,兩者距離為r,則由庫侖定律求得兩個(gè)電電荷之間的作用力為 令力F對(duì)電荷量q的一階導(dǎo)數(shù)為零，即 得 即取 時(shí)力F為極值，而 故當(dāng) 時(shí)，F(xiàn)取最大值1.2.6 兩個(gè)電荷量相等的同性點(diǎn)電荷相距為，在兩者連線的中垂面上置一試探點(diǎn)電荷, 求受力最大的點(diǎn)的軌跡.解答:如圖(a)所示,設(shè)有兩個(gè)電荷量為q的點(diǎn)電荷 ,坐標(biāo)分別為(-,0,0)和(,0,0),試探點(diǎn)電荷置于二者連線的中垂面Oyz上坐標(biāo)為(0,y,z). 為原點(diǎn)O至

2、試探點(diǎn)電荷的失徑,距離為 ,如圖(b)所示.根據(jù)對(duì)稱性, 所受合力的方向與失徑r平行或反平行.其大小為 求上式的級(jí)值,去F對(duì)r的一階導(dǎo)數(shù)并令其為零,的方程 求得 求二階導(dǎo)數(shù)并帶入,得 說明此時(shí)F取極大值因此,受力最大的點(diǎn)的軌跡是在中垂面上的圓心坐標(biāo)為(0,0,0)半徑為的圓.1.3.6 附圖中均勻帶電圓環(huán)的半徑為R,總電荷量為q (1)求數(shù)軸線上離環(huán)心O為x處的場(chǎng)強(qiáng) (2) 軸線上何處場(chǎng)強(qiáng)最大?其值是多少? (3)大致畫出E-x曲線.解答:設(shè)圓環(huán)的帶電線密度為 如圖(a)所示,圓環(huán)一小段到軸上一點(diǎn)的距離為,即有,該小段對(duì)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為 根據(jù)對(duì)稱性,點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)僅有分量, 在軸的分量大小為點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

3、 （2）應(yīng)求并令其值為0，求得當(dāng)，E取極值，而，根據(jù)對(duì)稱性，位于軸上點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)取最大值，其值為 （3）如圖（b）所示。1.3.8 把線電荷密度為的無限長(zhǎng)均勻帶電線分別彎成圖(a).(b)所示的兩種形狀.若圓弧半徑為R,求兩圖中的O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng). 解答: 習(xí)題1.3.8附圖（1）先求豎直半無限長(zhǎng)段帶電線在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，由習(xí)題1.3.7（2）可知得 故同理,水平無限帶電線在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 對(duì)于圓弧帶電線O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng), 同理得 故 解得 (2)利用(1)的結(jié)論. 圖b, A-的帶點(diǎn)直線在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 B-的帶點(diǎn)直線O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為根據(jù)對(duì)稱性,圓弧帶電O 點(diǎn)的產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)僅有x分量,即 故帶電線在O點(diǎn)產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)

4、為1.4.6 電荷以體密度分布在半徑R的球內(nèi),其中為常量,r為球內(nèi)某點(diǎn)與球心的距離. (1).求球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)? (2).r為多大時(shí)場(chǎng)強(qiáng)最大?該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng) 解答：（1）以帶電球心為心,在球內(nèi)以r為半徑作一高斯面,它所包圍的電荷量為 由于電荷分布滿足球?qū)ΨQ性,因此在球面上的電場(chǎng)方向僅為徑向,其大小相等,即 求得求內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為 以帶電球?yàn)樾?在球外以r(>R)為半徑作一高斯面,它包圍的電荷量為 求的球外的場(chǎng)強(qiáng)為 (2)顯然, 不從在極值現(xiàn)求的極值,令 即當(dāng)時(shí). 取極值.又因 故場(chǎng)強(qiáng)最大值 1.4.8在球心為O 半徑為a、電荷體密度為的均勻帶電體內(nèi)偏心挖去一個(gè)半徑為b 的小球(球心為),如附圖所示.

5、(1) 試怔空心內(nèi)存在均勻電場(chǎng)并寫出場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式（以c代表從O到的矢量）； (2)求、連線延長(zhǎng)線上M點(diǎn)和P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)和解答: 圖為挖空腔,T為空腔這任意一點(diǎn),空腔這電荷分布可看作電荷體密度為的實(shí)心均勻帶電球再偏心位置處加上一個(gè)電荷體密度為的均勻帶電的疊加結(jié)果.因此.空腔這任意T 的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)該等于一個(gè)電荷體密度為的均勻帶電球在T點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)與電荷密度為的均勻帶電球產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與均可利用高斯定理求得, 即 ，式中: 為從大球圓心指向T點(diǎn)的矢徑; 為從圓心指向T點(diǎn)的矢徑. 空腔中任意點(diǎn) T的場(chǎng)強(qiáng)為 因T點(diǎn)為空腔中任意一點(diǎn),c為一常矢量,所以空腔內(nèi)為一均勻電場(chǎng)（2）M點(diǎn)為大球內(nèi)一點(diǎn),根據(jù)疊加原理得 P點(diǎn)為大球外

6、一點(diǎn),根據(jù)疊加原理得1.6.3附圖中A與O，O與B，B與D的距離皆為L(zhǎng)，A點(diǎn)有正電荷q，B點(diǎn)有負(fù)電荷-q。C（1）把單位正點(diǎn)電荷從O點(diǎn)沿半圓OCD移動(dòng)到D點(diǎn)，電場(chǎng)力做了少功？（2）將單位正點(diǎn)電荷從D點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功為多少？解答：1）單位正電荷位于A點(diǎn)正電荷和B點(diǎn)負(fù)電荷的場(chǎng)中，它在O點(diǎn)所具有的電勢(shì)能為 同理，它在D所具有的電勢(shì)能為 將單位正電荷從O點(diǎn)移到D點(diǎn)電場(chǎng)力所做的功與路徑無關(guān)，則 2）因?yàn)閷挝徽c(diǎn)電荷從D點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功為： 則單位負(fù)點(diǎn)電荷從D點(diǎn)移到無窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)力所做的功為 1.6.6求1.4.8題中O,O,P,M各點(diǎn)的電勢(shì)。解答:均勻電荷密度為的實(shí)心大球的電荷量

7、挖去空腔對(duì)應(yīng)小球的電荷量 電荷密度為的大球在M點(diǎn)的電勢(shì)為電荷密度為-的小球在M點(diǎn)的電勢(shì)為 則M點(diǎn)的電勢(shì)為 電荷密度為大球在P點(diǎn)的電勢(shì)為 電荷密度為-小球在P點(diǎn)的電勢(shì)為 P點(diǎn)的電勢(shì)為 電荷密度為大球在O點(diǎn)的電勢(shì)為電荷密度為-的小球在O點(diǎn)的電勢(shì)為 電荷密度為大球在點(diǎn)的電勢(shì)為 電荷密度為-小球在點(diǎn)的電勢(shì)為 點(diǎn)的電勢(shì)為 2.1.3 3塊平行金屬板A、B、C構(gòu)成平行板導(dǎo)體組.以S代表各板面積，x及d分別代表A、B之間及B、C之間的距離.設(shè)d小到各板可視為無限大平板.令B、C板接地，A板電荷量為Q，略去A板的厚度，求：（1） B、C板上的感應(yīng)電荷；（2） 空間的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布.解答：（1）設(shè)各板表面的面密

8、度由左至右電荷為，即有.由于B、C板接地，故兩板的外側(cè)電荷面密度.設(shè)A、B板的距離為x，則A、C間的距離為d-x，因，故有 式中： ， 得 因 聯(lián)合解得 , 從而知 求得B板的電荷 C板的電荷 （2）各區(qū)的場(chǎng)強(qiáng)分別為 ， ， 設(shè)r為A到場(chǎng)點(diǎn)的距離，則各區(qū)的電勢(shì)分別為，2.1.5 半徑為R的金屬球經(jīng)電壓為U的電池接地，球外有一與球心距離為2R的點(diǎn)電荷q，求球面上的感應(yīng)電荷q。解答:金屬球內(nèi)為等勢(shì)區(qū),電勢(shì)值為U.面上各點(diǎn)的感應(yīng)電荷面密度分布不均勻,設(shè)球上電荷的總電荷量為q,取球心O,該點(diǎn)的電勢(shì)為所有電荷在該點(diǎn)電勢(shì)的總貢獻(xiàn),按電勢(shì)疊加原理解得 2.2.3 半徑為RA的金屬球外罩一同心球殼金屬球殼B，

9、球殼極薄，內(nèi)外半徑均可看作RB，已知AB的電荷分別為QA和QB。（1）求A的表面S1及B的內(nèi)外表面S3S3的電荷q1q2q3；（2）求A和B的電勢(shì)VA和VB；（3）將球殼B接地，再回答（1）（2）兩問；（4）在（2）問之后將球A接地，再回答（1）（2）兩問；（5）在（2）問之后在B外再罩一個(gè)很薄的同心球殼C（半徑為RC），再回答（1）（2）兩問，并求C的電勢(shì)VC。解答:(1)A的表面及B的內(nèi)外表面的電荷量分別為 （2）用場(chǎng)強(qiáng)E積分求A的電勢(shì)VA，即 球殼B的電勢(shì)VB可用球殼場(chǎng)強(qiáng)沿徑向積分求得（3）將球殼B接地后，導(dǎo)體A的表面及B的內(nèi)、外表面的電荷量分別為可求得導(dǎo)體A的電勢(shì)為因?qū)w殼B接地，故B

10、的電勢(shì)為 (4)在（2）問之后將導(dǎo)體A接地后，球A的表面及B的內(nèi)外表面的電荷量分別為 根據(jù)電勢(shì)疊加原理，有解得 B的內(nèi)外表面的電荷量分別為 A的電勢(shì)為 B的電勢(shì)為 （5）在（2）問之后在B外再罩一個(gè)很薄的同心金屬球殼C（半徑為Rc）后，A的表面及B的表面的電荷量不變.由于同心金屬球殼C的存在,球殼C的內(nèi)、外壁的電荷量分別為和.因此按電勢(shì)疊加原理，金屬球殼C的存在對(duì)A和B的電勢(shì)的貢獻(xiàn)均為0.和分別為 球殼C的外壁的電荷量為，故球殼C的電勢(shì)為 2.3.2 平板電容器兩極板A、B的面積都是S，相距為d.在兩板間平行放置一厚度為x的中性金屬板C，則A、B仍可看作一個(gè)電容器的兩極板.略去邊緣效應(yīng).(1)

11、 求電容C的表達(dá)式;(2) 金屬板離極板的遠(yuǎn)近對(duì)電容C有無影響？(3) 設(shè)末放金屬板時(shí)電容器的電容，兩極板間的電勢(shì)差為10V，A、B不與外電路連接，求放入厚度的金屬板后的電容C及兩板間的電勢(shì)差U.解答:(1)平行放置一厚度為x的中性金屬板后,在金屬板上、下將出現(xiàn)等值異號(hào)的感應(yīng)電荷，電場(chǎng)僅在電容板極與金屬板之間，設(shè)電荷面密度為，電場(chǎng)為A、B間電壓為 A、B間的電容C為 (2)金屬板離極板的遠(yuǎn)近對(duì)電容C沒有影響. （3）設(shè)未放金屬板時(shí)電容器的電容為 放金屬板后，板間空氣厚度為 此時(shí)電容器的電容為 由于A、B不與外電路連接，電荷量不變，此時(shí)A、B間電壓為 2.5.2 3個(gè)點(diǎn)電荷的相對(duì)位置，計(jì)算：（1

12、） 各對(duì)電荷之間的相互作用能；（2） 該電荷系統(tǒng)的相互作用能。解答：將3個(gè)電荷分別編號(hào)為1.2.3，如圖2.5.2所示。 （1） 按定義 電荷1與電荷2之間的相互作用能為 電荷1與電荷3之間的相互作用能為 電荷2與電荷3之間的相互作用能為(2)電荷系統(tǒng)的相互作用能為 2.5.4一均勻帶電體(非導(dǎo)體)半徑為R,總電荷量為Q,求其靜電能. 解答: 均勻帶電體的電荷體密度 ,距球心 r 處的電勢(shì)為 均勻帶電球的靜電能為3.2.1.偶極距為p的偶極子處在外電場(chǎng)E中: (1) 若E是均勻的,p與E的夾角為何值時(shí)電偶極子達(dá)到平衡?此平衡是穩(wěn)定平衡還是不穩(wěn)定平衡? 圖3.2.1(2) 若E是不均勻的,電偶極

13、子能否達(dá)到平衡? 解答: (1) 如圖3.2.1所示,偶極子的電荷量q 和-q所受的電場(chǎng)力分別為qE 和-qE,大小相等,合力為0,但所受的力矩為 M=p×E當(dāng)且僅當(dāng)=0和=時(shí),電偶極子的力矩為0,達(dá)到平衡狀態(tài),但在=0的情況下稍受微擾,電偶幾極子將受到回復(fù)力矩回到平衡位置上因此, =0時(shí),是穩(wěn)定平衡,但在=的情況是不穩(wěn)定平衡. (2)若E不均勻,一般情況下,偶極子的電荷量q 和-q所受的電場(chǎng)力不 0,電場(chǎng)力將使偶級(jí)帳子轉(zhuǎn)向至偶極矩p 與場(chǎng)強(qiáng)E平行的情況由于電場(chǎng)不均勻,偶極子所受的合力不為0,因此,偶極子不能達(dá)到平衡狀態(tài)3.4.2 附圖中A為一塊金屬，其外部充滿電介質(zhì)，已知交界面某一

14、點(diǎn)的極化電荷面密度為，該點(diǎn)附近電介質(zhì)的相對(duì)介質(zhì)常量為r求該點(diǎn)的自由電荷面密度o.解答： 緊靠導(dǎo)體A表面的極化電荷面密度與該處的極化強(qiáng)度矢量在導(dǎo)體面法線上的投影為的關(guān)系為 式中：法線的方向?yàn)閷?dǎo)體的外法線方向.利用關(guān)系與,得 緊鄰該導(dǎo)體面S作一貫通導(dǎo)體表面的小柱面，根據(jù)電介質(zhì)中的高斯定理可證得緊靠導(dǎo)體A的表面電介質(zhì)的電位移矢量在導(dǎo)體面的外法線投影 從而有 解得 3.5.3平板電容器兩極板相距為d，面積為S，其中放有一層厚度為t ,相對(duì)介點(diǎn)常量為r的均勻電介質(zhì)，電介質(zhì)兩邊都是空氣（見附圖）。設(shè)兩極板間電勢(shì)差（絕對(duì)植）為U，略去邊緣效應(yīng)。求：（1）：電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度，電位移和極化強(qiáng)度； （2）：極板

15、上自由電荷的絕對(duì)值; (3 ) :極板和電介質(zhì)間隙中（空氣中）的場(chǎng)強(qiáng);(4 ):電容C.解答:（1）：介質(zhì)板用“2”標(biāo)記，其余空氣空間用“1”標(biāo)記，單位方向?yàn)橛筛唠妱?shì)指向低電勢(shì)，兩極間的電勢(shì)差（絕對(duì)值）無論在空間1還是在2中，其電位移矢量相等，故有得 即 解得 (2)因，故極板上自由電荷的電荷量（絕對(duì)值）為 (3)極板和介質(zhì)間隙中（空氣中）的場(chǎng)強(qiáng)，故 (4)電容為 3.7.2 將半徑為R 、電荷量為q0的導(dǎo)體置于絕對(duì)介電常數(shù)為的均勻無限大電介質(zhì)中,求電介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的能量密度.解答:距球心r處的電位移矢量和電場(chǎng)能量強(qiáng)度分別為 電介質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的能量密度為 4.3.2 用電阻率為（常量）的金屬制成一

16、根長(zhǎng)度為L(zhǎng)、底面半徑分別為和的贅臺(tái)導(dǎo)體 （1）求它的電阻； （2）試證當(dāng)時(shí)，答案簡(jiǎn)化為（其中S為柱體的橫截面積）.解答：按電阻定義 因長(zhǎng)度是半徑r的函數(shù)，故 元電阻為 求得錐臺(tái)形導(dǎo)體的電阻為 （1） 當(dāng)時(shí)，電阻為 4.4.7 求附圖中A、B、D、E各點(diǎn)的電勢(shì).解答：因的支路被導(dǎo)線短路，故加在電阻與串聯(lián)的電路兩端電壓就是電池的端電壓，因電池的負(fù)極接地，A點(diǎn)的電勢(shì)為 從圖中可見的負(fù)極及的正極接地，故 4.5.1附圖求電流及的阻值.解答:列出節(jié)點(diǎn)方程及選兩個(gè)網(wǎng)孔的閉合回路的電流正方向?yàn)轫槙r(shí)針方向,得 代入數(shù)據(jù),解得 的電流方向與圖中設(shè)定的正方向相反.5.2.4截流導(dǎo)線形狀如附圖所示(直線部分伸向無限

17、遠(yuǎn)),求O點(diǎn)的B.解答：(a) 設(shè)兩直線截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)分別為B1和B2,圓弧截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B3,則 故合磁場(chǎng)為 磁場(chǎng)大小為 (b) 設(shè)平行x軸的直線截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B1,平行z軸的直線截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B2,圓弧截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B3,則 故合磁場(chǎng)為 磁場(chǎng)大小為 (c) 設(shè)平行x軸正方向的直線截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B1,平行x軸負(fù)方向的直線截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B2,圓弧截流導(dǎo)線在O點(diǎn)激發(fā)的磁場(chǎng)為B3,則 故合磁場(chǎng)為 磁場(chǎng)大小為 5.2.10 附圖中的A、C是由均勻材料制成的鐵環(huán)的兩點(diǎn)，兩根直長(zhǎng)截流導(dǎo)線從、C沿半徑方向伸出，電流方向如圖所

18、示。求環(huán)心處的磁場(chǎng)。解答：設(shè)在鐵環(huán)的優(yōu)弧長(zhǎng)度的電流為I1，劣弧長(zhǎng)度的電流為I2，因?yàn)殡娮枧c長(zhǎng)度成正比，所以有 電流I1與I2在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)分別為 ， 由此得 B1=B2 電流I1與電流I2流向相反，因此二者在O點(diǎn)產(chǎn)生的B1與B2方向相反，故 B=B1+B2=05.3.2 兩無限長(zhǎng)截流直導(dǎo)線與一長(zhǎng)方形框架共面（見附圖），已知，I=100A求框架的磁通量。解答： 左、右側(cè)電流I在長(zhǎng)方形框架產(chǎn)生的磁通量分別為與，設(shè)框架面積的法線方向取垂直紙面向里，因，則有 框架的磁通量為5.4.4 電流以密度沿Z方向均勻流過厚度為2d的無限大導(dǎo)體平板,求空中各點(diǎn)的磁場(chǎng).解答: 根據(jù)對(duì)稱性，空間各點(diǎn)的磁場(chǎng)的方向平行Oxz面且僅有x分量,在y>0空間沿x軸的負(fù)方向；在y<0空間沿x軸的正方向（1） 求板內(nèi)磁場(chǎng):在板內(nèi)以y=0平面為對(duì)稱面,距此面相同距離作平行Oxy面逆時(shí)針方向的矩形路徑,如圖所示,通過此路徑包圍面積的電流 根據(jù)安培環(huán)路定理 解得 考慮的方向，有 （2）求板外磁場(chǎng):在板外以Y=0平面為對(duì)稱面,距此面相同距離作平行Oxy面的逆時(shí)針的矩形路徑,如圖5.4.4(a)所示,通過此路徑包圍面積的電流 根據(jù)安培環(huán)路定理 解得 考慮的方向，有 （y>0,取負(fù)號(hào)；y<0，取正號(hào)）5.6.5 半徑R=0.2m、電流I=10