桿梁系統(tǒng)非線性彈性定律的研究

1、 桿梁系統(tǒng)非線性彈性定律的研究李裕信湖南省長沙市郵政局,湖南長沙(410001E-mail :摘 要:本文基于 Hencky 指數(shù)形式彈性定律、應(yīng)力應(yīng)變的因果迭代關(guān)系以及拉壓的泊松 效應(yīng)等三方面的規(guī)律,綜合得出一個非線性彈性定律,它能很好地描述彈性桿梁的應(yīng)力應(yīng) 變的變化規(guī)律,明確提出它所受到的兩個自然限制;討論了材料彈性的非線性特性。文章 還以直梁的簡單彎曲為例對定律的運用作了具體的說明。關(guān)鍵詞:非線性彈性定律,應(yīng)力與應(yīng)變,泊松效應(yīng),因果迭代,簡單彎曲 中圖分類號:O3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A引言:已經(jīng)有了許多不同形式的非線性彈性定律,它們都能在一定范圍內(nèi)正確地描述彈性體 的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。但大多沒有考

2、慮應(yīng)力應(yīng)變因果相互迭代規(guī)律,計算結(jié)果也比較復(fù)雜。本 文著眼于簡單、完整、實用,從 Hencky 指數(shù)形式彈性定律、縱向橫向變形關(guān)系的 Poisson 定律以及因果迭代原理出發(fā),提出用一對非線性的相互迭代的方程組作為材料力學(xué)中的彈 性定律。還根據(jù)新的定律探討了桿梁彈性體新的特性,指出新定律在工程計算中的運用方 法。1. Hencky彈性定律是彈性體應(yīng)變隨應(yīng)力變化的規(guī)律:常用的彈性定律是以線性的 Hooke 定律為基礎(chǔ)的。 但是 Hooke 定律只適用于小變形的 彈性過程,大變形的彈性力學(xué)過程卻明顯地偏離 Hooke 定律所描述的特征:彈性桿件簡單 拉壓的應(yīng)力 應(yīng)變圖不是一條直線;在拉伸過程中,應(yīng)

3、力與應(yīng)變同步增加到一定程度后, 應(yīng)力 變得比較穩(wěn)定;而壓縮過程的應(yīng)變 (相對變形不可能達(dá)到 -1。能夠描述這種特 性的最常用的方法是采用 Hencky 指數(shù)形式(或稱對數(shù)形式的彈性定律,即認(rèn)為:21式。式(彈性定律應(yīng)寫成指數(shù)形 。從這種意義上說, ,才產(chǎn)生一定的應(yīng)變 的應(yīng)力 變形是“果”。有一定 生,力是“因”, 力和應(yīng)變都是由內(nèi)力產(chǎn) 。需要明確的是,應(yīng) 見圖 形 對變 的規(guī)律產(chǎn)生相應(yīng)的相 一定時,就會按(式表示當(dāng) 從因果關(guān)系考慮, 或?qū)憺? (; ,而 真 真 2Hencky 1. 1.(2 2( 2.(. . . . . . . . 1e . . . 1. . . 1(E.ln . . 1

4、(ln lll ln l dl E E ll l=+=+=+=+2. Poisson效應(yīng)的實質(zhì)是確定了應(yīng)力隨應(yīng)變變化的規(guī)律: 也的變化會引起橫向尺寸 在拉壓時,桿長 效應(yīng)的實驗定律,直桿 根據(jù) 為內(nèi)力; ; ,橫截面為 如圖 面直桿,變化。例如,對于圓截 內(nèi)力一定時,必然引起 積發(fā)生相應(yīng)的變化,當(dāng) 面 的變化會使桿件的橫截 變化。事實上, 的變化又會引起 變化,反過來, 的 的變化會引起 是相互的。 :應(yīng)力應(yīng)變的因果關(guān)系 一個十分重要的事實是 r l Poisson dFFP d P F Prdr . 2dF , r . F 2. 22=。比”,實驗已測得 即為“ 。 發(fā)生變化而且. 5. 0

5、. . 0Poisson . . l dl rdr. 34=µµµ是“果”。是“因”而 變化的規(guī)律。在這里, 隨 這就是 即 即 ; ,即:即 故 µµµµµµ. . 3.(. . . . . . . . . 1(l l l l l . l lln . 2ln . l dl2d ., l dl 2r dr 2r . rdr . 2F dF F P -dF F P d 2020002000022+=+=下面的圖一描繪了 隨 的變化規(guī)律; 圖 2.1則用于解釋 Poisson 系數(shù)的意義。 確定了 Poiss

6、on 系數(shù)的具體數(shù)值后,就能繪出 隨 變化的圖線。 43 3. 完整的彈性定律是一對相互迭代的非線性方程組:本文認(rèn)為非線性(2 (3兩式的方程組,是適用于桿梁系統(tǒng)的完整的彈性定律。它們是 +=µ20E 1(1e這兩個方程的迭代過程就是真實的彈性過程:當(dāng)桿件受外力作用時產(chǎn)生內(nèi)力 P ,產(chǎn)生初始1e,. e FP 1(. . 3. . . 1e 2. FPE11EFP . 2200100EFP 0001=+=µµ的出現(xiàn),再引起產(chǎn)生 變?yōu)?由 式使 又據(jù)(的產(chǎn)生 而 , 式產(chǎn)生 的產(chǎn)生,根據(jù)(由于 應(yīng)力 如此反復(fù)迭代下去,直到(2 (3的公共解值為止。這就是實際的彈性過

7、程。當(dāng)取 Poisson 系數(shù) µ=0.25時,迭代方程組變?yōu)?. 4.(. . . . . . 1(1e 020E +=+=µ 下面圖 3.1就是方程組(4的迭代過程示意圖線。此圖的 的正半平面上的圖線表示 拉伸過程,而 的負(fù)半平面上的圖線表示壓縮過程。兩個方程的曲線交點,即過程的穩(wěn)定 點。穩(wěn)態(tài)時的 與 記為 . c c 和 , 它們滿足. c 0+=E.ln(1+c ,而且cc 0c 0c +E.ln(1. . . +E.ln(1. +=+=而 。 值得注意,彈性定律必須能反映彈性過程所受到的兩個自然限制條件:一個是 不能 小于 -1;另一個是 與 的正負(fù)符號必須相同。

8、即 與 的迭代彈性過程只存在 -平面 的的一、三象限中,一象限中的曲線描述拉伸過程;三象限中的曲線描述壓縮過程。方程 組 (4 的第一個方程已經(jīng)反映了 不能小于 -1這個限制條件, 它也能滿足 與 的正負(fù)符 號必須相同的條件; (4的第二個方程也能反映這種限制條件。只需將(4的第二個方程 限制只取一、 三象限的部分。 所以方程組 (4 完全能反映彈性過程所受到的兩個自然限制 條件。不過,此時它的第二個方程的右邊應(yīng)加上一個附加條件:. >0。即(4式應(yīng)寫為:4a .(. . . . . 0.(. 1(1e . 0020E >×+=+=µ圖三就是(4a 式表示的理想

9、彈性桿件的拉壓的迭代彈性過程示意圖。圖中曲線 1表示曲 線1e E =;曲線 2表示曲線 µ20 1(+=。7(. E EE /E E E 1(Eln 6.(. . . . . . . . . . . E . 5.(. 1E 1E +E.ln(1. 1(ln . 83211.; 32 1(ln 1. 000000cc c c 0c c c cc c c c 0232=+=+=+=+=+=+=+<<而穩(wěn)態(tài)時應(yīng)力 或 ,于是 即 。而 時, 注意,當(dāng)24833 1(ln 1(ln 333=+的誤差不大于 代替 用 。(; 時,重要的關(guān)系式有:比 當(dāng) ; ; 或 它們是:,代彈

10、性過程的物理條件 之間的關(guān)系式來描述迭 、 、穩(wěn)態(tài)時的應(yīng)力與應(yīng)變 、初始應(yīng)力外,還可用彈性模量 除了方程組(時 比 因此,當(dāng) 程中允許的。 不到萬分之五。這是工 相對誤差也只有 達(dá)到 。即使應(yīng)變 亦即相對誤差 241c c0cc c 00c c c c 00c c c 0c c 04231E E 0.25. µPoisson E E E . 1E E 4, 0.25. µPoisson . 104.20.1, . . 24/24µ+=+=+=+=×=4. 新定律的運用實例(直梁簡單彎曲的分析 :如下圖 4.1所示的矩形梁,梁寬 b 、梁高 h ,受彎矩

11、M 的作用,可以列出下列方程54:取前三項,展開 即得(綜合(即 上式成為考慮到 式可得 的垂直平分線。再由(軸必是邊 式可確定 式的位置。同樣,由(滿足 一定位于使 即中性軸 或 或或?qū)憺?,式變?yōu)?則(代入(且 及 梁穩(wěn)態(tài)時物理條件:(幾何條件:平衡條件:. 2h h 1e Ebh M 2h 1e h. 1413 14.(. EbhM2h . bE M 22-h h . 0, yln(. y . bE M y (ln . y (2y y y 12b oy 9. 13(. oz 13.(. 1e h. , h ln . h . , 0yln(. y .0dy y 1b dy b y Ey81

12、2bdy, dF ,. dF dF 12.(. . . . . E . 1E . 11.(. . . . . . . y-y 10.(. . . . . . . . . M dF . y . . . 9.(. . . . . . . . . 0dF z . . . (8. . . . . . . . . 0. dF 22hh-h -h 2h -2h-h -h -h -0000FFF+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=15 .(2Mh Ebh 4M 14M 2Mh Ebh . ,. Ebh M 2h . h2h 2h . 3322=+即 即可求得 則可得到 16.(. . . . . .

13、 . . . . 2MhEbh 4M.y. 3= 即 2M h M 1+ 4M.( + 2 4M.(h - 2 Ebh = 2M Ebh + 2M = 2M Ebh 2 max + = = 3 3 2 2 2 Ebh 2Mh Ebh Ebh 2M Ebh 1 2M Ebh 2Mh Ebh 2 bh 2 則 W 如果引用“抗彎截面模 量” z (按通常公式： Wz = 6 M 3EW z + M M 2M (1 + 由于3EW z >> M, 故 max + = = 3EW z 3EWz M 3EW z 3EW z M max + 2M M (1 + 3EW z 3EW z .由于

14、= 0 1 + = E = 1+ 故有 max + = E max 1 = E max + (1 max + + . = 2 1 + max M 2M 2 M2 M 2M M 2M = (1 + 1 (1 + + . 3EW z 3Wz 9EW z2 18EW z2 3Wz 3EWz 6EW z M 4M 2 M2 M 3M 2 + = + 3Wz 18EW z2 18EW z2 3Wz 18EW z2 舍去第三項以后的項， 可取穩(wěn)定時 max + = = M M2 M M2 + ；而強(qiáng)度條件 max + + 成為 + + . .(17 .。 3Wz 6EW z2 3Wz 6EW z2 M +

15、 . Wz 4M = Ebh 3 2Mh .(在線性材料力學(xué)中為 .受拉部分的強(qiáng)度條件為 絕對值最大的負(fù)（壓縮 ）應(yīng)變 max = = h M 4M( 2 Ebh = 2M = M ；而絕對值最大的負(fù)（壓縮）應(yīng)力 = max = 3EWz Ebh 3 2Mh Ebh 2 =E = ( max 1 2M M 2M 2M 2 （ = E max 1 max + . E (1 + = ( 2 + 2 4 = 2 Ebh 2 Ebh 2 bh Eb h 1 + max M M2 M 1 M + , 壓縮部分強(qiáng)度條件為 （ + .(18 2 3Wz 18EWz Wz 3 18EWz M .， Wz bh

16、 3 , 則（15）可寫為 12 (在線性材料力學(xué)中, 拉壓對稱，強(qiáng)度條件為. J 若采用截面對中心軸的“慣性矩”（矩形截面的J = . 1 = M .(19 M J 3EJ Wz 1 (在線性材料力學(xué)中為 =. M . EJ 現(xiàn)列表比較新舊彈性定律在應(yīng)用于簡單彎曲的分析計算結(jié)果： -6- 表 1 新舊彈性定律應(yīng)用結(jié)果比較表 正應(yīng)力（拉伸）計算 用新定律計算 梁的彎 曲曲率 負(fù)應(yīng)力（壓縮）計算 用原線性定 律計算 用新定律計算 用原線性定 律計算 1 1 1 = 離中性 面最大 距 離 M M 3EJ J Wz 1 2 =. M 1 . = EJ 3 h 2 M M 3EJ J Wz 1 4

17、=. M EJ h 2 .y max1 = . y max 絕對值 最大的 應(yīng) 變 h M + = 2 Ebh h 6Mh = + 2 EWz M 3EWz + M 3EWz 3EWz M .y max2 = . y max3 = h M 2 Ebh h 6Mh = 2 EWz . y max4 = max1 = max2 = = = max3 = = max4 = max M EWz M 3EWz max3 M EWz max4 絕對值 最大的 應(yīng) 力 max1 = M M2 + 3Wz 6EWz2 max2 = = = = = = max M Wz M M2 + 3Wz 18EWz2 M

18、Wz 從表中可知按新定律計算的 max 、 max 、 1 都比按 Hooke 定律計算的結(jié)果要小， 而且大約只有原結(jié)果的 1/3。即按舊定律計算的結(jié)果是大大的夸大了，過于保守。即按新 定律計算可以大大發(fā)掘材料的潛在強(qiáng)度。 5. 結(jié)論與說明 5.1、本文提出的新的非線性彈性定律是全面綜合考慮了應(yīng)力應(yīng)變相互因果關(guān)系的定律。它 不僅能滿足彈性桿梁應(yīng)力應(yīng)變存在的兩個自然限制條件（ . > 1.及. . > 0 ）,前者表 示不可能將桿長壓縮至 0；后者表示 與. 的符號總是相同的，. .曲線 只有 1、3 象限 的部分有效。新的彈性定律除了一對因果迭代的方程組外，還有穩(wěn)態(tài)時的應(yīng)力、應(yīng)變及

19、初 始應(yīng)力這三者的關(guān)系式： . c = 式： E c 1+ c ； 0 = 1+ 4 µ （1 + c） 2 E c .； 當(dāng)µ = 0.25時 有下面公 . c = 0 ； c = E 0 E c 1+ c ； c = 0 E 。應(yīng)用時選擇穩(wěn)態(tài)時的 E 0 公式比較簡便。 而且要注意 0 dF 0 = .dF. 。 5.2、新的彈性定律和已有的非線性彈性定律不同之處主要是引入了 與. 的因果迭代過 程。從圖三可知，這種彈性迭代過程對拉伸和壓縮是不同的。拉伸過程不會出現(xiàn)倍周期或 混沌現(xiàn)象，而壓縮過程則不然，只要 E 和 µ 的數(shù)值適當(dāng)，壓縮的迭代過程則很可能出現(xiàn)倍

20、 -7- 周期或混沌現(xiàn)象，這是需要繼續(xù)深入研究和實驗觀測的。 5.3、由于穩(wěn)態(tài)時的應(yīng)力應(yīng)變位于 Hencky 對數(shù)曲線（指數(shù)曲線）上，和按照 Hooke 定律計 算的結(jié)果比較，在大變形的彈性過程中，在應(yīng)變相同的前提下，按新定律計算的拉應(yīng)力比 按 Hooke 定律計算的拉應(yīng)力要??； 按新定律計算的壓應(yīng)力比按 Hooke 定律計算的壓應(yīng)力要 大。如果新定律是精確有效的，則按 Hooke 定律進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計時，拉應(yīng)力總是估計偏大， 但采用新定律不會高估其最大的拉應(yīng)力（可以發(fā)掘材料的潛力）。 5.4、由于新定律的非線性，一方面，拉壓不對稱，所以強(qiáng)度核算時應(yīng)該拉壓兩方面都要進(jìn) 行，即 + .+ 和 . 都

21、要驗算；另一方面，定律的非線性導(dǎo)致迭加原理不再成 立，超靜定問題用“變位法”的計算結(jié)果必定有相應(yīng)改變。例如若兩桿初始長度相同，幾何 關(guān) 系 有 1 = 2 2 , 采用彈性定律的公式 c = 即 0 10 20 后，可列出 =2 E 0 E 1 10 E 2 20 P1 P2 E 2 F2 P1 P 由此解出 P2 = .而不是 P2 = 1 。并且 P1、 P2 ， =2 E 1 F1 P1 E 2 F2 P2 2E 1 F1 P1 2 均與兩桿的 EF有關(guān)。 5.5、本文提出的彈性定律只是按此思路的完整非線性彈性定律的一部分，文章未論及剪切 彈性定律的非線性化，未涉及復(fù)雜受力情況下的張量形

22、式的彈性定律。但它是整個非線性 彈性定律的基礎(chǔ)。 -8- 參考文獻(xiàn) 1徐秉業(yè)等：拉伸和壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線；彈塑性力學(xué)中常用的簡化力學(xué)模型，應(yīng)用彈塑性力學(xué)M， 北京，清華大學(xué)出版社，1995，7482 2F. R. EIRICH 等主編：Theory and Applications,，RheologyJ， Volume I， New York ，Academic Press, 1956. 26-38 3 blue：常用材料彈性模量及泊松比，筑雅建筑論壇EB/OL 2006-5-24 11:11 AM 4.鐵木辛柯（S.P. Timoshenko,）著、汪一麟譯： 材料力學(xué)M，北京，科學(xué)出版社，1979 年 5孫訓(xùn)方、方孝淑、陸耀洪：軸向拉伸與壓縮；梁的應(yīng)力，材料力學(xué) M，北京，人民教育出版社，1978， 1632， 142-148 The research of non-linearity elastic law of member bar and beam system Li Yuxin Changsha Post Office, Changsha, Hunan (410001 Abstract Based on the exponential form of Hencky elasticity law, the iterative