橢圓的幾何性質(zhì)教學(xué)案例

1、橢圓的幾何性質(zhì)教學(xué)案例一、教案背景1.面向?qū)ο螅焊叨W(xué)生 2.學(xué)科：數(shù)學(xué)3.課題：橢圓的幾何性質(zhì)4.課時(shí)：3課時(shí)5.課前準(zhǔn)備：（1）學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，了解橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)。（2）教師準(zhǔn)備課件。二、教材分析橢圓的幾何性質(zhì)是蘇教版選修1-1的內(nèi)容。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，由橢圓方程出發(fā)研究橢圓的幾何性質(zhì)。這是學(xué)生第一次利用方程研究曲線的幾何性質(zhì)，要注意對(duì)研究結(jié)果的掌握，更要重視對(duì)研究方法的學(xué)習(xí)。本節(jié)課使學(xué)生感受“數(shù)”和“形”的對(duì)立統(tǒng)一，是研究雙曲線和拋物線幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。 三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)1.通過對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，讓學(xué)生掌握橢圓的幾何性

2、質(zhì)。2.領(lǐng)會(huì)橢圓幾何性質(zhì)的內(nèi)涵，并會(huì)運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單問題。3.通過對(duì)方程的討論，讓學(xué)生領(lǐng)悟解析幾何是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的。能力目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的能力。2.滲透數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)思想。3.強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神。情感目標(biāo)1.通過自主探究、交流合作，使學(xué)生體驗(yàn)探究的過程，從中體會(huì)學(xué)習(xí)的愉悅，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。2.通過數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育。3.通過感受橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美和橢圓曲線的對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生對(duì)美好事物的追求。四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握橢圓的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。難點(diǎn)：利用橢圓

3、的標(biāo)準(zhǔn)方程探究橢圓的幾何性質(zhì)。五、學(xué)法、教法與教學(xué)用具1.學(xué)法：(1)自主探究+合作學(xué)習(xí)：教師設(shè)置問題，鼓勵(lì)學(xué)生從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，自主探究，合作交流，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和問題解決的途徑，使學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。(2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出掌握不足的內(nèi)容以及存在的差距。2.教法：本節(jié)課采用自主探究、合作交流相結(jié)合的教學(xué)方法，運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，通過設(shè)置問題，讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上合作交流，加強(qiáng)知識(shí)發(fā)生過程的教學(xué)。在思考、探索和交流的過程中得到橢圓的幾何性質(zhì)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。3.教學(xué)用具：電腦、多媒體。六、授課類型 新授課七、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)：（1）橢圓的定義（2

4、）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（3）橢圓中三者之間的關(guān)系（二）新授：?jiǎn)栴}1：觀察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它有什么特點(diǎn)？ 生：橢圓方程是關(guān)于的二元二次方程；方程左邊是平方和的形式，右邊是常數(shù)1；方程中和的系數(shù)不相等。設(shè)計(jì)意圖：為利用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)做準(zhǔn)備。讓學(xué)生感受橢圓方程結(jié)構(gòu)的和諧美。（1）橢圓的范圍問題2：自主探究：結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，請(qǐng)大家思考，在方程中，如何確定的范圍？生1：由可得，即，所以。同理可得。生2：還可以把看成，利用三角函數(shù)的有界性來考慮的范圍。生3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為1，那么這兩個(gè)數(shù)都不大于1，所以，從而。同理可得的范圍。 設(shè)計(jì)意圖：由于問題1的設(shè)置，學(xué)生的思維在這兒很活

5、躍，除了教材中的方法外，很多同學(xué)都能想到其它方法，訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維。強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。問題3：由的范圍、的范圍，我們能進(jìn)一步說明橢圓所處的范圍嗎？生：橢圓位于直線和所圍成的矩形內(nèi)。設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合多媒體展示橢圓的范圍，讓學(xué)生直觀感知，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。（多媒體展示）練習(xí)1：討論下列橢圓的范圍：； 。設(shè)計(jì)意圖：橢圓范圍的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（2）橢圓的對(duì)稱性：?jiǎn)栴}4：自主探究：觀察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)大家利用方程研究橢圓的對(duì)稱性。生：在方程中，把換成，方程不變問題5：方程不變，說明什么問題，如何用語言表述出來？生：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上。而是曲線上任意

6、一點(diǎn)，所以橢圓關(guān)于軸對(duì)稱。同理可得，橢圓關(guān)于軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。(學(xué)生鼓掌！)設(shè)計(jì)意圖：訓(xùn)練學(xué)生語言表述的邏輯性、完整性和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。從對(duì)稱性的本質(zhì)入手，探究橢圓的對(duì)稱性。多媒體課件展示橢圓的對(duì)稱性，使學(xué)生體會(huì)橢圓的對(duì)稱美。多媒體展示橢圓的對(duì)稱性后總結(jié)：對(duì)于橢圓來說，坐標(biāo)軸是它的對(duì)稱軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心，對(duì)稱中心也叫橢圓的中心。 （多媒體展示）練習(xí)2：探究曲線的對(duì)稱性，并畫出曲線的圖象。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生接觸不同形式的曲線，檢驗(yàn)對(duì)曲線對(duì)稱性的理解。讓學(xué)生感受利用對(duì)稱性可簡(jiǎn)化作圖過程，感悟知識(shí)的應(yīng)用。（3）橢圓的頂點(diǎn)問題6：自主探究：觀察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)大家利用方程求出橢圓與對(duì)稱軸的交

7、點(diǎn)坐標(biāo)。生：令，得，說明點(diǎn)，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)。同理，點(diǎn)，是橢圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)?？偨Y(jié)并給出頂點(diǎn)的定義（強(qiáng)調(diào)是與橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)）。結(jié)合多媒體展示的橢圓圖形指出長(zhǎng)軸、短軸、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，點(diǎn)明方程中的幾何意義和數(shù)量關(guān)系。 （多媒體展示）練習(xí)3：如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，怎樣確定橢圓焦點(diǎn)的位置？設(shè)計(jì)意圖：深化對(duì)橢圓概念的理解。鞏固橢圓長(zhǎng)軸、短軸的概念?？疾鞕E圓中的幾何意義。體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。（三）（多媒體展示）例題精講：例1.求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、外切矩形的面積。變式：若橢圓方程變?yōu)槟?？設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對(duì)研究方法的掌握。學(xué)會(huì)運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)。

8、培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想解決問題的能力。體會(huì)橢圓的性質(zhì)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。例2.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸是短軸的倍，焦距為。求橢圓的方程。變式：如果去掉“焦點(diǎn)在軸上”呢？設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用幾何性質(zhì)、待定系數(shù)法求橢圓的方程。體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想。（四）小結(jié)： 1.知識(shí)：多媒體展示有關(guān)橢圓性質(zhì)的表格，學(xué)生口答。2.數(shù)學(xué)思想：本節(jié)課運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和類比的數(shù)學(xué)思想研究橢圓的幾何性質(zhì)。3.數(shù)學(xué)方法：掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的方法解析法。（五）作業(yè)布置：1.（1）畫出下列橢圓的圖象：； 。（2）觀察橢圓的圖象，形狀有什么變化？設(shè)計(jì)意圖：考察學(xué)生是否能應(yīng)用幾何性質(zhì)，快速畫出圖形。

9、引導(dǎo)學(xué)生自主研究橢圓的另一條性質(zhì)離心率。2.當(dāng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為時(shí)，結(jié)論如何？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用類比思想解決問題的能力。八、教學(xué)反思1.教學(xué)內(nèi)容：?jiǎn)栴}方面：在問題1的基礎(chǔ)上，問題2活躍了學(xué)生的思路，訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維；問題5對(duì)于學(xué)生來說有難度，用了較長(zhǎng)時(shí)間思考、討論。練習(xí)方面：練習(xí)3讓學(xué)生措手不及，幾何意義的出現(xiàn)讓學(xué)生感到驚喜。練習(xí)1及例題的變式比較成功的為作業(yè)2埋下伏筆。2.教學(xué)思路：?jiǎn)栴}1的設(shè)置體現(xiàn)了利用方程研究曲線的教學(xué)思路，在三個(gè)性質(zhì)的研究中，堅(jiān)持從橢圓方程出發(fā)，研究橢圓的幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生利用方程研究曲線性質(zhì)的能力。3.教學(xué)方法：本節(jié)課通過設(shè)置問題，給學(xué)生足夠的時(shí)間獨(dú)立思考、合作交流，探究橢圓的幾何性質(zhì)，使他們經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力、探索能力和邏輯思維能力。4.運(yùn)用多媒體的優(yōu)勢(shì)：學(xué)生從“數(shù)”的角度研討橢圓的幾何性質(zhì)，教師用多媒體作相應(yīng)展示，讓學(xué)生感受“數(shù)”和“形”的對(duì)立統(tǒng)一，滲透運(yùn)動(dòng)變化、相互了解、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn)。【參考文獻(xiàn)】1霍文明.2006年高中數(shù)學(xué)全國(guó)優(yōu)質(zhì)課比賽教案：河北橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)DB/OL.豆丁網(wǎng), 2012-3.2單墫