關(guān)于曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究

1、曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究例題1 （2013天津預(yù)賽5）如果曲線y 2sinx的兩條互相垂直的切線交于點(diǎn)P,則P點(diǎn)的坐標(biāo)不可能2是（）(A)，(B) 3(C) 5 ,(D) 7解析 設(shè)曲線y 2sin x在點(diǎn)A（xi,2sin仝）,B（X2,2sin X2）的切線交于點(diǎn)P,那么由題意可知：k*21，2 2 2其中 ki cosX1, k22X2cos；2即有XiX2cos cos 22xx又 1 co可 1,1 cos; 1，則有 1Xi coscosX21，當(dāng)且僅當(dāng)co斜|cos竺222|2|1 .1時(shí)，等號(hào)成立因此，當(dāng)cos XiX2 cos 221時(shí),那么X1X2cos c

2、os22x. 2k1，即可知X2 2(k 1)評(píng)注例題2（ 2013山東預(yù)賽10）假設(shè)實(shí)數(shù)b，c滿足b2c 1，且f (x) ax bsinx ccosx的圖象上存在兩條切線互相垂直，則a的取值范圍是解析 f (x) ax bsinx ccosx ax .b2 c2 sin(x）ax sin（x ）；設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點(diǎn)分別為A(x.,y.), B(x2,y2)，則有k.k2f 'x.f 'x21 .即:a cos(x.) a cos(x2)1 在中，令tiCOS（Xi9),(i1,2)，展開后有 aa(tit?)臨 10，由a R可知0,又2(t1 t2) 4(t1

3、t2 1)(tit2)24 在中，由于ti 1,1，那么ti t2 2，即魚t2）4 0，因此由可知0 ,tit21，代入到中解得a 0.綜上可知：a的取值范圍是a 0.評(píng)注此題可溯源到如下例題：例題3已知函數(shù)f(x) x3 ,(I)記(x) f (x) t f '(x)(t R)，求(x)的極小值;3(II)若函數(shù)h(x)sin x的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實(shí)數(shù)x的值及相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)(II)解析h(x) 3 xsinx，那么h'(x) 3cosx，設(shè)切點(diǎn)分別為ti ,h ti i 1,2.由題意知h' t1 h' t21，即有 3cost1 3 cos

4、t21，展開得到9 23(cost1cost2)(cost1 cost2 1) 0 ，在中，由R可知，29(cost1 cost2)36(cosb cost2 1) 0, 即 卩(costcost2)2 4.又 costicost22，則0,costicost21,代入得0.并且切點(diǎn)坐標(biāo)為(2 m ,0),(2n ,0),其中(m, n Z).例題4 (2014年南京市、鹽城市高三二模第12題)設(shè)函數(shù)f(x)= ax+ sinx+ cosx.若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn) A, B，使得曲線y= f(x)在點(diǎn)A, B處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .解析 f' xsin

5、 x cosx a,/2sin(x)a . 2,a2 ;那么，要使得函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個(gè)不同點(diǎn)使得1，必有a .2又由f ' xi f 'x21得到,f ' X11f' x21丄，那么得到:1a ,2a 21a V2評(píng)注此題解法類似于如下兩道例題:，即有a221，解得a1,1.例題4.1已知函數(shù)f (x) x3 2x23(1) 求過曲線C上任意一點(diǎn)的切線的斜率的取值范圍;(2) 若在曲線C上存在兩條互相垂直的切線，略3x(x R)的圖象為曲線C .求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍;解析(1) f'(x)24x 3 (x 2)1(2)

6、由(1)可知:1，解得k 1或11 k 0;代入解得x例題4.2設(shè)函數(shù)f(x)3ax 2bx cx 4d(a,b,c,d R)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x 1時(shí)，f (x)取極小值1 ,3(1)(2)求a,b,c,d的值；當(dāng)x 1,1時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論 略解析(2)不存在這樣的兩點(diǎn)由(1)得 f '(x)x2f ' X1 f ' x21，即人21x2211 .1，假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A%, yj B(n2)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則22X2210,故不成立因?yàn)?X1,X2 1,1，那么 X1 1 0,X22 1 0，得

7、到 皆 1例題5 (2010年雅安三模)二次函數(shù)y = x2 2x+ 2與y= x2 + ax+ b(a>0,b>0)的圖象在它們的一個(gè)交點(diǎn)14處互相垂直，則一 4的最小值是(a b(A)185(B)?(C)4(D)245解析設(shè)兩個(gè)函數(shù)交與(xo,y°)，則有 kik2(2xo2)( 2xoa)21，即 4X0 2(2 a)x0 2a 1 0.又 y0= X02 2x0 + 2 與 y0= X02 + ax0 + b,得到 2 X022(2+a) X0+2 b=0;亦即 4怡2(2 a)x0 2(2 b) 0 ；例題解析2b,即a ba,b(丄4)2(1ab5f(x)2 X2x)(A)12因此，可得2a 1 46已知函數(shù)X2 Xi的最小值為(52 .04 2 a b b 54 b絢18，當(dāng)且僅當(dāng)b竺時(shí)，等號(hào)成立. a b 5a b的圖象在 Ag, f(X|), B(X2, f(X2)(捲(B) 1(C)3X20 )處的切線互相垂直，則(D) 2f '(x1)