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1、曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究例題1 (2013天津預賽5)如果曲線y 2sinx的兩條互相垂直的切線交于點P,則P點的坐標不可能2是()(A),(B) 3(C) 5 ,(D) 7解析 設(shè)曲線y 2sin x在點A(xi,2sin仝),B(X2,2sin X2)的切線交于點P,那么由題意可知:k*21,2 2 2其中 ki cosX1, k22X2cos;2即有XiX2cos cos 22xx又 1 co可 1,1 cos; 1,則有 1Xi coscosX21,當且僅當co斜|cos竺222|2|1 .1時,等號成立因此,當cos XiX2 cos 221時,那么X1X2cos c
2、os22x. 2k1,即可知X2 2(k 1)評注例題2( 2013山東預賽10)假設(shè)實數(shù)b,c滿足b2c 1,且f (x) ax bsinx ccosx的圖象上存在兩條切線互相垂直,則a的取值范圍是解析 f (x) ax bsinx ccosx ax .b2 c2 sin(x)ax sin(x );設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點分別為A(x.,y.), B(x2,y2),則有k.k2f 'x.f 'x21 .即:a cos(x.) a cos(x2)1 在中,令tiCOS(Xi9),(i1,2),展開后有 aa(tit?)臨 10,由a R可知0,又2(t1 t2) 4(t1
3、t2 1)(tit2)24 在中,由于ti 1,1,那么ti t2 2,即魚t2)4 0,因此由可知0 ,tit21,代入到中解得a 0.綜上可知:a的取值范圍是a 0.評注此題可溯源到如下例題:例題3已知函數(shù)f(x) x3 ,(I)記(x) f (x) t f '(x)(t R),求(x)的極小值;3(II)若函數(shù)h(x)sin x的圖象上存在互相垂直的兩條切線,求實數(shù)x的值及相應(yīng)的切點坐標(II)解析h(x) 3 xsinx,那么h'(x) 3cosx,設(shè)切點分別為ti ,h ti i 1,2.由題意知h' t1 h' t21,即有 3cost1 3 cos
4、t21,展開得到9 23(cost1cost2)(cost1 cost2 1) 0 ,在中,由R可知,29(cost1 cost2)36(cosb cost2 1) 0, 即 卩(costcost2)2 4.又 costicost22,則0,costicost21,代入得0.并且切點坐標為(2 m ,0),(2n ,0),其中(m, n Z).例題4 (2014年南京市、鹽城市高三二模第12題)設(shè)函數(shù)f(x)= ax+ sinx+ cosx.若函數(shù)f(x)的圖象上存在不同的兩點 A, B,使得曲線y= f(x)在點A, B處的切線互相垂直,則實數(shù) a的取值范圍為 .解析 f' xsin
5、 x cosx a,/2sin(x)a . 2,a2 ;那么,要使得函數(shù)f(x)的圖象上存在兩個不同點使得1,必有a .2又由f ' xi f 'x21得到,f ' X11f' x21丄,那么得到:1a ,2a 21a V2評注此題解法類似于如下兩道例題:,即有a221,解得a1,1.例題4.1已知函數(shù)f (x) x3 2x23(1) 求過曲線C上任意一點的切線的斜率的取值范圍;(2) 若在曲線C上存在兩條互相垂直的切線,略3x(x R)的圖象為曲線C .求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍;解析(1) f'(x)24x 3 (x 2)1(2)
6、由(1)可知:1,解得k 1或11 k 0;代入解得x例題4.2設(shè)函數(shù)f(x)3ax 2bx cx 4d(a,b,c,d R)的圖象關(guān)于原點對稱,且x 1時,f (x)取極小值1 ,3(1)(2)求a,b,c,d的值;當x 1,1時,圖象上是否存在兩點,使得過此兩點處的切線互相垂直?試證明你的結(jié)論 略解析(2)不存在這樣的兩點由(1)得 f '(x)x2f ' X1 f ' x21,即人21x2211 .1,假設(shè)圖象上存在兩點A%, yj B(n2),使得過此兩點處的切線互相垂直,則22X2210,故不成立因為 X1,X2 1,1,那么 X1 1 0,X22 1 0,得
7、到 皆 1例題5 (2010年雅安三模)二次函數(shù)y = x2 2x+ 2與y= x2 + ax+ b(a>0,b>0)的圖象在它們的一個交點14處互相垂直,則一 4的最小值是(a b(A)185(B)?(C)4(D)245解析設(shè)兩個函數(shù)交與(xo,y°),則有 kik2(2xo2)( 2xoa)21,即 4X0 2(2 a)x0 2a 1 0.又 y0= X02 2x0 + 2 與 y0= X02 + ax0 + b,得到 2 X022(2+a) X0+2 b=0;亦即 4怡2(2 a)x0 2(2 b) 0 ;例題解析2b,即a ba,b(丄4)2(1ab5f(x)2 X2x)(A)12因此,可得2a 1 46已知函數(shù)X2 Xi的最小值為(52 .04 2 a b b 54 b絢18,當且僅當b竺時,等號成立. a b 5a b的圖象在 Ag, f(X|), B(X2, f(X2)(捲(B) 1(C)3X20 )處的切線互相垂直,則(D) 2f '(x1)
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