橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1、引例： 若取一條長(zhǎng)度一定且沒有彈性的細(xì)繩，把它若取一條長(zhǎng)度一定且沒有彈性的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是什么緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是什么圖形？圖形？圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓222)()(rbyax探究：若將細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在若將細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板上不同的兩點(diǎn)圖板上不同的兩點(diǎn)F1、F2處，并用筆尖拉處，并用筆尖拉緊繩子，再移動(dòng)筆尖一周，這時(shí)筆尖畫出的緊繩子，再移動(dòng)筆尖一周，這時(shí)筆尖畫出的軌跡是什么圖形呢軌跡是什么圖形呢？

2、思考：如何定義橢圓？F1F2xy0p 如何定義橢圓?圓的定義: 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng) 的點(diǎn)的集合叫圓.橢圓的定義: 平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1, F2的距離之和為固定值(大于| F1F2 |)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓.1、橢圓的定義：1F2FM 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。cFF221為橢圓時(shí),022ca2 2a aMMF FMMF F2 21 133常數(shù)要常數(shù)要大于大于焦距焦距 22動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) M M 與兩個(gè)定點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F F1 1

3、和和F F2 2的距離的和是的距離的和是常數(shù)常數(shù) 11平面內(nèi)平面內(nèi)-這是大前提這是大前提 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長(zhǎng)相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長(zhǎng)能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 回憶圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)步驟 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，

4、用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo);2、寫出適合條件、寫出適合條件 P（M） ;3、用坐標(biāo)表示條件、用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程 ; 4、化方程為最簡(jiǎn)形式。、化方程為最簡(jiǎn)形式。結(jié)論結(jié)論：若把繩長(zhǎng)記為若把繩長(zhǎng)記為2a，兩定點(diǎn)間，兩定點(diǎn)間的距離記為的距離記為2c(c0).（1）當(dāng)）當(dāng)2a2c時(shí)，軌跡是時(shí)，軌跡是 ；（2）當(dāng)）當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡時(shí)，軌跡 是是 ； （3）當(dāng)）當(dāng)2a0)，則F1、F2的坐標(biāo)分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）aPFPF

5、2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程剛才我們得到了焦

6、點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，如何推導(dǎo)焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點(diǎn)在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：（1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、

7、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，x2與y2的分母哪一個(gè)大，則焦點(diǎn)在哪一個(gè)軸上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡）的點(diǎn)的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程不不 同同 點(diǎn)點(diǎn)相相 同同 點(diǎn)點(diǎn)圖圖 形形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)定定 義義a、b、c 的關(guān)系的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷焦點(diǎn)位置的判

8、斷 再認(rèn)識(shí)！再認(rèn)識(shí)！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO三、例題分析三、例題分析543(-3,0)、(3,0)6x例例1. .已知橢圓方程為已知橢圓方程為 ,則則(1)a= , b= , c= ; (2)焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在 軸上軸上,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 , 焦距為焦距為 。 (3)(3)若橢圓方程為若橢圓方程為 , , 其焦點(diǎn)坐標(biāo)為其焦點(diǎn)坐標(biāo)為 . . 2212516xy1251622 yx(0,3)、(0,-3)例例2.求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上求下列橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434

9、)3(22 yx解：解：橢圓方程具有形式橢圓方程具有形式12222byax其中其中1, 2ba因此因此31422bac兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為)0 , 3(),0 , 3(橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為橢圓上每一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為42 a例例1橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點(diǎn)），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之和等于到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 1 12 2yoFFMx.解：解： 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=

10、5242=9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ) 0( 12222babyax192522yx求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,橢圓的定義橢圓的定義a2=b2+c2例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)（， - -），求求它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因?yàn)闉闄E橢圓圓的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上，所所以以設(shè)設(shè)它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為x xy y

11、+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由橢橢圓圓的的定定義義知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因?yàn)闉閏 c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .2 22 22 22 2因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為x xy y+ += =1 1. .1 10 06

12、 6求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定焦點(diǎn)的位置；）確定焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）用待定系數(shù)法確定）用待定系數(shù)法確定a、b的值，的值， 寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.1 1 1 11 1變變式式引引申申：求求焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上，且且經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)A A( (, ,) )、B B( (0 0, ,- -) )的的3 3 3 32 2橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 設(shè)設(shè) 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 方方 程程 為為+ += = 1 1 , ,a ab b

13、1 11 11 1將將 A A ( (, ,) ) , , B B ( ( 0 0 , , - -) ) 代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 標(biāo)標(biāo) 準(zhǔn)準(zhǔn) 方方 程程 為為+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一個(gè)問題思考一個(gè)問題:把把“焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上軸上”這句話去掉，怎么辦？這句話去掉，怎么辦？2222

14、xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnm,nm,n滿滿足足什什么么條條件件，并并指指出出焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo). .2 22 2x xy y解解：若若+ += =1 1表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mmn nmm n n 0 0, ,且且c c = =mm- -n n, ,所所以以，焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為( ( mm- -n n, ,0 0) ), ,( (- - mm- -n n, ,0 0) ). .2 22 2變變式式引引申申: :若若焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上；如如果果不不指指明明在在哪哪個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上；

15、若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢橢圓圓，mm, ,n n應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件. .2 22 2( (3 3) )若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢橢圓圓, ,則則mm 0 0, ,n n 0 0且且mmn n, ,當(dāng)當(dāng)mm n n 0 0，表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓；當(dāng)當(dāng)n n mm 0 0，表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓. .2 22 2x xy y解解：( (1 1) )若若+ += =1 1表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mmn nn n mm 0 0, ,且且c c = =

16、n n- -mm, ,所所以以，焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (0 0, , n n- -mm) ), ,( (0 0, ,- - n n- -mm) ). .2 22 2x xy y( (2 2) )若若+ += =1 1表表示示橢橢圓圓, ,則則mm 0 0, ,n n 0 0且且mmn n. .mmn n例3 已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn) ,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 3 5(, )( 3, 5)2 2與221(0,0,)xymnmnmn1)5()3(1)25()23(2222nmnm10, 6nm221610 xy解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則有 ，解得 所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 22 2分分析析：點(diǎn)點(diǎn)P P在在圓圓

17、x x + +y y = =4 4上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng), ,點(diǎn)點(diǎn)P P的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)引引起起點(diǎn)點(diǎn)MM的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng). .我我們們可可以以由由MM為為線線段段P PD D的的中中點(diǎn)點(diǎn)得得到到點(diǎn)點(diǎn)MM與與點(diǎn)點(diǎn)P P坐坐標(biāo)標(biāo)之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式, ,并并由由點(diǎn)點(diǎn)P P的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足圓圓的的方方程程得得到到點(diǎn)點(diǎn)MM的的坐坐標(biāo)標(biāo)所所滿滿足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圓圓x x + +y y = =4 4上上任任取取一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)P P，過過點(diǎn)點(diǎn)P P作作x x軸軸的的垂垂線線P PD D，D D為為垂垂足足. .當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P P在在圓圓上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，線線段段P PD D的的中中點(diǎn)點(diǎn)

18、M M的的軌軌跡跡是是什什么么? ?為為什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (x x, ,y y) ), ,點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (x x , ,y y ) ), ,則則y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)( (x x , ,y y ) )在在圓圓x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x

19、 x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡是是一一個(gè)個(gè)橢橢圓圓. .2 22 2變變式式引引申申：已已知知圓圓x x + +y y = = 9 9, ,從從這這個(gè)個(gè)圓圓上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)P P向向x x軸軸作作垂垂線線P PP P ，點(diǎn)點(diǎn)M M在在P PP P 上上, ,并并且且P PM M = = 2 2M MP P , , 求求點(diǎn)點(diǎn)M M的的軌軌跡跡00000 000000000000 000002222000022222 22 2解解：設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)MM的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(x,y),(x,y),點(diǎn)點(diǎn)P P的的坐坐標(biāo)標(biāo)

20、為為(x ,y )(x ,y )，則則點(diǎn)點(diǎn)P P 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為(x ,0).(x ,0).由由PM=2MPPM=2MP得得：(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.P(x ,y )P(x ,y )在在圓圓x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,點(diǎn)點(diǎn)MM的的軌軌跡跡是是一一個(gè)個(gè)橢橢圓圓. .9 921122213266

21、1251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知橢圓方程為，則這個(gè)橢圓的焦距為（ ）23 (A)6 (B)3 (C)3 5 (D)6 52. 、 是定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn) 滿足， 則點(diǎn) 的軌跡是（ ） (A)橢圓 (B)直線 (C)圓 (D)線段3.已知橢圓上一點(diǎn) 到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離 為，則 到另一焦點(diǎn)的距離為（ ） (A) (B)37 (C)5 (D)變式題組一變式題組一2149xkyykxymmxyFF+=2222212 1.如果方程+=1表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓， 那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1） 2.

22、橢圓+=1的焦距是2，則實(shí)數(shù) 的值是（ ）4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 3.已知 、是橢圓的251 FABABFD2兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與橢圓交于 、 兩點(diǎn)，則的 周長(zhǎng)為（ ） (A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28變式題組二變式題組二1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果橢橢圓圓+ += =1 1上上一一點(diǎn)點(diǎn)P P到到焦焦點(diǎn)點(diǎn)F F的的距距離離等等于于6

23、 6，那那么么點(diǎn)點(diǎn)P P到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦點(diǎn)點(diǎn)F F的的距距離離是是（）. .2 22 2x xy y2 2. .橢橢圓圓+ += =1 1的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5A A. .( ( 7 7, ,0 0) )B B. .( (0 0, , 7 7) )C C. .( (7 7, ,0 0) )D D. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .兩兩個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且

24、經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)P P( (, ,- -) )的的橢橢圓圓方方程程2 22 2是是( () ). .x xy yy yx xA A. .+ += =1 1B B. .+ += =1 11 10 06 61 10 06 6x xy yy yx xC C. .+ += =1 1DD. .+ += =1 19 96 69 96 6鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)14DD2 22 2x xy y4 4. .橢橢圓圓+ += =1 1的的焦焦距距是是2 2( () ). .mm4 4A A. .5 5A A. .5 5或或8 8C C. .3 3或或5 5DD. .2 20 02 22 22 21 11 11 1x xy