第1章 1.3.3　最大值與最小值

1、教育精選1.3.3最大值與最小值1會(huì)求在指定區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)(重點(diǎn))2掌握含參數(shù)的最值問(wèn)題的討論(難點(diǎn))3掌握函數(shù)的極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別(易混點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)閱讀教材P32“例1”以上部分，完成下列問(wèn)題1函數(shù)的最大值與最小值(1)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值(2)如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的xI，總有f(x)f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最小值函數(shù)的最大(小)值是相對(duì)函數(shù)定義域整體而言的

2、，如果存在最大(小)值，那么函數(shù)的最大(小)值惟一2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；(2)將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值1判斷正誤：(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值()(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值()(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得()【答案】(1)×(2)(3)×2函數(shù)f(x)2xcos x在(，)上_(填序號(hào))無(wú)最值；有極值；有最大值； 有最小值【解析】f(x)2sin x>0恒

3、成立，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增，無(wú)極值，也無(wú)最值【答案】質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：_解惑：_疑問(wèn)2：_解惑：_疑問(wèn)3：_解惑：_小組合作型求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值求下列函數(shù)的最值：(1)f(x)x3x22x5，x2,2；(2)f(x)exex，x0,1【精彩點(diǎn)撥】首先利用函數(shù)求極值，再比較極值與端點(diǎn)值的大小，確定最值【自主解答】(1)f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x1，x21.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)變化情況如下表：x21(1,2)2f(x)00f(x)17從上表可知，函數(shù)f(x)在2,2上的最大值是

4、7，最小值是1.(2)f(x)(ex)ex.當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)<0恒成立，即f(x)在0,1上是減函數(shù)故當(dāng)x1時(shí)，f(x)有最小值f(1)e；當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最大值f(0)e0e00.求函數(shù)最值的四個(gè)步驟(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f(x)，解方程f(x)0；(3)列出關(guān)于x，f(x)，f(x)的變化表；(4)求極值、端點(diǎn)值，確定最值再練一題1(2016·鹽城質(zhì)檢)函數(shù)yx2cos x在區(qū)間上的最大值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01580015】【解析】y12sin x，x，令y0，得x.由于f(0)2，f，f，函數(shù)的最大值為.【答案】由函數(shù)的最值確定參數(shù)的值已知函數(shù)f(x)a

5、x36ax2b，x1,2的最大值為3，最小值為29，求a，b的值【精彩點(diǎn)撥】首先求出f(x)然后討論a的正負(fù)，根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性得出用a，b表示的函數(shù)的最值，從而列出關(guān)于a，b的方程組，求a，b.【自主解答】由題設(shè)知a0，否則f(x)b為常函數(shù)，與題設(shè)矛盾求導(dǎo)得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)當(dāng)a>0，且x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab單調(diào)遞增b單調(diào)遞減16ab由表可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值b，也就是函數(shù)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f

6、(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)當(dāng)a<0時(shí)，同理可得，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值b，也就是函數(shù)在1,2上的最小值，f(0)b29.又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.1本題的解題關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性確定某些極值就是函數(shù)的最值，同時(shí)由于系數(shù)a的符號(hào)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性有直接的影響，且最值也受a的符號(hào)的影響，因此需要對(duì)a的符號(hào)進(jìn)行分類討論2已知函數(shù)的最值求參數(shù)問(wèn)題屬于逆向探究題型，解決該類問(wèn)題的基本方法是待定系數(shù)法，列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)，從而求出參數(shù)的值，但在用參數(shù)

7、表示最值時(shí)，需要根據(jù)參數(shù)的情況分類討論再練一題2設(shè)<a<1，函數(shù)f(x)x3ax2b在區(qū)間1,1上的最大值為1，最小值為，求該函數(shù)的解析式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01580016】【解】f(x)3x23ax，令f(x)0，得x0或xa.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0，a)a(a,1)1f(x)00f(x)1ab單調(diào)遞增b單調(diào)遞減b單調(diào)遞增1ab從上表可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值b，當(dāng)xa時(shí)，f(x)取得極小值b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(1)，故只需比較f(0)與f(1)，f(1)與f(a)的大小因?yàn)閒(0)f(1)a1&g

8、t;0，所以f(x)的最大值為f(0)b，所以b1.又因?yàn)閒(1)f(a)(a1)2(a2)<0，所以f(x)的最小值為f(1)1aba，所以a，所以a.故所求函數(shù)的解析式是f(x)x3x21.探究共研型與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題如圖1­3­6為yf(x)，xa，b的圖象圖1­3­6探究1觀察a，b上函數(shù)yf(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值【提示】f(x1)，f(x3)為函數(shù)的極大值，f(x2)，f(x4)為函數(shù)的極小值探究2結(jié)合圖象判斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？【提示】存在f(x)最小值f(a)，

9、f(x)最大值f(x3)探究3函數(shù)yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是其極值嗎？【提示】不一定也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值設(shè)函數(shù)f(x)tx22t2xt1(xR，t>0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)<2tm對(duì)t(0,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【精彩點(diǎn)撥】(1)利用配方法，即可求出二次函數(shù)f(x)的最小值h(t)；(2)構(gòu)造函數(shù)g(t)h(t)(2tm)，只需使g(t)在(0,2)上的最大值小于零即可求得m的取值范圍【自主解答】(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t>0)，當(dāng)xt時(shí)，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g

10、(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合題意，舍去)當(dāng)t變化時(shí)，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)單調(diào)遞增極大值1m單調(diào)遞減g(t)在(0,2)內(nèi)有最大值g(1)1m.h(t)<2tm在(0,2)內(nèi)恒成立等價(jià)于g(t)<0在(0,2)內(nèi)恒成立，即等價(jià)于1m<0.m的取值范圍為(1，)1涉及到不等式恒成立、不等式能成立的問(wèn)題時(shí)，一般需轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來(lái)解決若不等式中含參數(shù)，則可考慮分離參數(shù)，以求避免分類討論2不等式恒成立、能成立常見的轉(zhuǎn)化策略(1)af(x)恒成立af(x)最大值，af(x)恒成立a

11、<f(x)最小值；(2)f(x)g(x)k恒成立kf(x)g(x)最小值；(3)f(x)g(x)恒成立f(x)最小值g(x)最大值；(4)af(x)能成立af(x)最小值，af(x)能成立af(x)最大值再練一題3上例(2)若改為“存在t0,2，使h(t)<2tm成立”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍如何求解？【解】令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合題意，舍去)當(dāng)t變化時(shí)，g(t)，g(t)的變化情況如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m單調(diào)遞增極大值1m單調(diào)遞減3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(

12、t)<2tm成立，等價(jià)于g(t)的最小值g(2)<0.3m<0，m>3，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(3，)構(gòu)建·體系1函數(shù)yxsin x，x的最大值是_【解析】y1cos x0，yxsin x在上是增函數(shù)，y最大值.【答案】2函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：01580017】【解析】f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0得x10，x22(舍去)當(dāng)x1,0)時(shí)，f(x)>0，f(x)遞增；當(dāng)x(0,1，f(x)<0，f(x)遞減；x0時(shí)，f(x)取最大值2.【答案】23函數(shù)f(x)ex(sin xcos x)在區(qū)間上的值域?yàn)開 .【解析】x，f(x)excos x0，f(0)f(x)f，即f(x)·e. 【答案】4已知函數(shù)f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一個(gè)x01，e，使得f(x0)<g(x0)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】由題意，不等式f(x)<g(x)在1，e上有解，mx<2ln x，即<在1，e上有解，令h(x)，則h(x)，當(dāng)1xe時(shí)，h(x)0，在1，e上，h(x)h(e)，<，m<.m的取值范圍是.【答案】5已知a為實(shí)數(shù)，f(x)(x24)·(xa)(