幾何與代數(shù)-總復(fù)習(xí)資料ppt課件

1、判別解判別解:r1r2無解無解r1=r2=n唯一解唯一解, r1=r2r)級子式級子式=0. r(Amn) minm, n ,min,s nn tARBRr Ar Bnr ABr Ar B 5)0,.If ABthen r Ar Bn *,1,10,2nif r Anr Aif r Anif r An 9) 設(shè)設(shè)A是是n(2)階方陣階方陣, 那么那么 7 max,r Ar Br A B r Ar B 8AOAOrr Ar BrCBOB ( )rm nE( )rm nE作用作用初等變換初等變換 終止矩陣終止矩陣結(jié)結(jié) 果果階梯陣階梯陣r(A)=非非0行數(shù)行數(shù)階梯陣階梯陣主列對應(yīng)原矩陣的列主列對應(yīng)原

2、矩陣的列行最簡形行最簡形非主列的線性表示關(guān)系非主列的線性表示關(guān)系階梯陣階梯陣判別解判別解:r1r2無解無解r1=r2=n唯一解唯一解, r1=r20 p=n A=PTPk0A有有n個不同特征值個不同特征值A(chǔ)等價等價關(guān)系關(guān)系定義定義矩陣矩陣定定 義義等價類等價類代表代表不變量不變量RnnRmn類似類似正交正交類似類似Rnn,實對稱實對稱11stBPP AQQ 相抵標(biāo)準(zhǔn)形相抵標(biāo)準(zhǔn)形 rm nE ,ijP Q為初等陣為初等陣, . .Ps t 可逆1BPAP , . .,Qs t 正交1TBQ AQQ AQ 1n i為特征值為特征值 秩秩 特征值特征值,跡跡,行列式行列式 秩秩 相合相合Rnn, .

3、 .Ps t 可逆TBP AP r,p,q,r,p,q,對稱性對稱性, ,秩秩 若若A可相似可相似對角化對角化 正定性正定性條件條件方方 程程p,qd二次曲面二次曲面221 122233zzzd 123221 1223zzbz 221 122zzd21 13zbz 向量空間的例子向量空間的例子基基維數(shù)維數(shù) V Rn,對加法數(shù)乘封對加法數(shù)乘封閉閉Rn本身本身e1, e2, , enn零空間零空間無無0齊次線性方程組的解空間齊次線性方程組的解空間xRn|Ax = , ARmnAx = 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系n r(A)生成子空間生成子空間L( 1, , s) = k1 1+ ks s|k1,ks R

4、 1, , s的的極大無關(guān)組極大無關(guān)組 1, , s的的秩秩A的秩的秩A的列向量組的的列向量組的極大無關(guān)組極大無關(guān)組矩陣矩陣A的列空間的列空間, 即即L(A1,A2, An)n r(A)Ax = 的的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系A(chǔ)的秩的秩A的列向量組的的列向量組的極大無關(guān)組極大無關(guān)組A的核空間或零空間的核空間或零空間K(A)=xRn|Ax= A的值域的值域R(A)=Ax|xRn=L(A1,A2, An)反之不成立反之不成立. . 數(shù)量積數(shù)量積向量積向量積混合積混合積性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2 cos , ，右手系,0 正定性正定性, ,線性性線性性, ,SchwartzSchwartz不等式不等式反對稱性反對

5、稱性 = (,)=重要信息重要信息: 0,n P重要工具重要工具: :三個向量共面三個向量共面 重要信息重要信息: 0, s P1s2sP1P212snn20 1212ssdP P 特殊位置的平面特殊位置的平面 /y軸軸: Ax + Cz + D = 0 /z軸軸: Ax +By + D = 0 x軸軸: Ax + D = 0 y軸軸: By + D = 0 z軸軸: Cz + D = 00| |PPdss111222|AxByCzDdABC121212|()|PPd ssss11113120,132k 1111103/41/43120011/43/4132000Akk 13/41/4,10

6、21/43/401 秩秩(A) = 2.3. 問是否存在秩大于問是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 為什么為什么?3113 4004B 11113120,132k 秩秩(A) = 2.3. 問是否存在秩大于問是否存在秩大于2的的M使得使得AM = O? 為什么為什么?由于任何一個滿足由于任何一個滿足AM = O的矩陣的矩陣M的列向量組的列向量組都可以由都可以由1, 2線性表示線性表示, 因而不存在秩大于因而不存在秩大于2的矩陣的矩陣M使得使得AM = O. 所以這樣的矩陣所以這樣的矩陣M的秩一定的秩一定 2. (2) 探討變換問題的條件探討變換問題的條件 ,0,n nARr Arn

7、0,B 證明：證明：(1)證：證： 設(shè)設(shè) x 是是Ax = 0的非零解的非零解.,n nBR 0,AB 0.AB 令令B=(x,0,0),那么那么 .r Bn r (2)證證1： 設(shè)設(shè) x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.0.AB 令令B=(x1,x2,xn-r,0,0), 那么那么(2)證證2： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 那么那么3. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換問題的條件探討變換問題的條件 (2) 探討變換問題的條件探討變換問題的條件 ,0,n nARr Arn 0,B

8、 (3)證明：證明：,n nBR 0,AB .r Bn r (2)證證1： 設(shè)設(shè) x1,x2,xn-r是是Ax = 0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.(2)證證2： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令1n rOOBQOE 0.AB 那么那么,BA (3)證：證： ,r Ar rEOAPQOO 則存在則存在n階可逆陣階可逆陣P,Q, 使得使得令令11n rOOPBQOE 0.ABBA 那么那么3. 培養(yǎng)發(fā)散思維培養(yǎng)發(fā)散思維(2) 探討變換問題的條件探討變換問題的條件 0.AB 令令B=(x1,x2,xn-r,0,0), 那么那么(08-09) 若若A,B為為

9、n階可逆陣階可逆陣, 那么那么 1OABE 1111B ABAO (01-02)5. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A及及A+E均可逆均可逆, 且且G =E(A+E)1, 則則G1 = .E+A1(A+E)1A G 1 =A 1 (A+E) . EA2AO1()EA2 EAAEAEE1. 關(guān)于逆矩陣關(guān)于逆矩陣（02-03一一6. 若若4階方陣階方陣A的秩為的秩為2, 則伴隨矩陣則伴隨矩陣A*的秩為的秩為 ; 0 設(shè)設(shè)A, B都是都是3階方陣階方陣, AB = O, r(A) r(B) = 2, 則則r(A) + r(B) = ; (A) 5; (B) 4; (C) 3; (D) 2;D2. 關(guān)于矩陣的秩關(guān)于矩陣

10、的秩 判斷正誤：設(shè)判斷正誤：設(shè)A23, B23, 那么那么|ATB| = O.r(ATB) r(B) min2,3=2, (ATB)33 法法II：Bx=有非零解有非零解, 則則ATBx=也有非零解也有非零解, |ATB| = O.ABr(A+B) 20設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣A= (1,2,3), B= (2+3,123,1). 若若A的行列式的行列式|A| = 3, 則則B的行列式的行列式|B| = . 6120031130 234,056007B 那么那么|A2B1| = . 1/70若若A是正交矩陣是正交矩陣, 那么那么|A3AT| = ; 10 31TAAAAA 6,A 26 /1 4,2

11、,8 643. 關(guān)于方陣的行列式關(guān)于方陣的行列式 *112233AAA *63211tr A 4. 關(guān)于方陣的跡關(guān)于方陣的跡*112233AAA *63211tr A 221niitr A 22111nnniijiija 1niiitr AAAA 11nnikkiika a 211nnikika 211nnijija 1122 1122 設(shè)設(shè) = (1, 2), = (1, 1), 那么那么 T = ; (T)2019 = 15. 關(guān)于方陣的正整數(shù)冪關(guān)于方陣的正整數(shù)冪 T =102100020 ,000101001B 002010100102000101AEAB 初等列初等列變換變換 102/

12、1000101100010001可得可得X=AB(AE)1 1010001/201X 23/200000003/2X 10030002001 可得可得X=AB(AE)1 1010001/201X 2X10030002001 100000001234949 102/ 1000101X 99 = (X 2)49X = 4949101300021/201 102100020 ,000101001B 12110,011pp 111100 ,001111BC Ap1 = p1, Ap2 = p2, .A實對稱實對稱, 則對應(yīng)于則對應(yīng)于0的特征向量的特征向量p3與與p1, p2正交正交, 33010111

13、010pp 111100 ,001111BC A9999 = (PP1)9999 = P9999P1 = PP1 = A = 000010001 001000100 00100010010110,11011Aab 101112101111011121Aabab 22EAa 10110,11011Aab 22EAa 1011012000000101000EA 21rEA12011 ,0 ,01 10110,11011Aab 22EAa 12011 ,0 ,01 310,1 1011200100,020 , . .,.011000Ps t PAP 10110,11011Aab 22EAa 0232

14、1rEAr A 1011200100,020 , . .,.011000Ps t PAP 1. 設(shè)設(shè)A是是65矩陣矩陣, 若若Ax=的解空間是的解空間是2維的維的, 那么那么AT x=的解空間是的解空間是 維的維的; 32. 設(shè)設(shè)xR3, r(A)=2, 是是Ax=b的解的解,123, 1231,1,1,2,4,6TT 2r AAx 的基礎(chǔ)解系有的基礎(chǔ)解系有1個解向量個解向量 2312A 0,2,4T 0,2,41,1,1,TTkkR 3. 設(shè)設(shè)A = (A1, A2, A3, A4), 其中列向量其中列向量A1, A2, A4線性無關(guān)線性無關(guān), A3 = 2A1 A2 + A4, 則齊次線性

15、方程組則齊次線性方程組Ax = 的一個基礎(chǔ)解系是的一個基礎(chǔ)解系是 r(A)=32A1 A2 A3 + A4 =0Ax= (A1, A2, A3, A4) x =0 = (2, 1, 1, 1)T; 0110,1011abPQAcd 101010101010110ababbP AQAQcdcdd 1010?P AQ 10111,0121112A Babc 110cc 12100 ,1ab 1231112 ,1,112c 123, 12123,AB 12312,2rr 1,1ba 12, 123, 12, 1011101211012baaca r3ar1111211X 若矩陣若矩陣 滿足滿足 ，0

16、230TTBAA B ,A B那那么么TTB AAB 2,a 232EA 0320 合同，合同，如果矩陣如果矩陣122Aa 與與211Bb , a b滿足條件滿足條件 。則參數(shù)則參數(shù) 2221EBbb 1 22 1 221b 0 0 12b 設(shè)矩陣設(shè)矩陣13,02A 203010,010201BCD 。則正確的是則正確的是A. A與與C相似，相似，B與與D合同合同B. A與與C合同，合同，B與與D相似相似C. A與與B相似，相似，C與與D合同合同D. A與與B合同，合同，C與與D相似相似A不對稱，不與不對稱，不與B,C合同合同A. 存在可逆矩陣存在可逆矩陣P，使，使得得1PAPB B. 存在可

17、逆矩陣存在可逆矩陣P，使，使得得TP APB C. 存在可逆矩陣存在可逆矩陣P，Q使得使得PAQ=BD. A(A+B)B是可逆矩陣是可逆矩陣 Arr Ar BnBAxB ,AB ,BABB B AB 設(shè)設(shè)D為由為由yOz平面中的直線平面中的直線z = 0, 直線直線z = y ( y 0)及拋物線及拋物線y + z2 = 2, 圍成的平面區(qū)域圍成的平面區(qū)域. 將將D繞繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體. (1) 畫出平面區(qū)域畫出平面區(qū)域D的圖形的圖形; (2) 分別寫出圍成分別寫出圍成的兩塊曲面的兩塊曲面S1, S2的方程的方程; (3) 求求S1,S2的交線的交線l在在zOx平面上的投影曲線平面上的投影曲線C的方程的方程; (4) 畫出畫出S1, S2和和l, C的圖形的圖形. Oyz2222zxy 0yzx 繞繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)得轉(zhuǎn)得S1220yzx 繞繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)得轉(zhuǎn)得S2y = 2 x2 z2 (y0)設(shè)設(shè)D為由為由yOz平面中的直線平面中的直線z = 0, 直線直線z = y ( y 0)及拋物線及拋物線y + z2 = 2, 圍成的平面區(qū)域圍成的平面區(qū)域. 將將D繞繞y軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)體. (3) 求求S1,S2的交線的交線l在在zOx平面上的投影曲線平面上的投影曲線C的方程的方程; (4) 畫出畫出S1, S2和和l, C的圖形的圖形. Oy