【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)一輪 13.3 直接證明與間接證明1導(dǎo)學(xué)案 理 北師大版

1、§13.3直接證明與間接證明2014高考會這樣考1.考查對直接證明和間接證明原理的理解和用法；2.以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列知識為載體，考查分析法、綜合法、反證法復(fù)習(xí)備考要這樣做1.抓住三種證明方法的特點，把握它們解題的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決問題的類型；2.加強(qiáng)訓(xùn)練，總結(jié)、體會解題中的一些技巧，靈活應(yīng)用三種方法證明一些實際問題1直接證明(1)綜合法定義：從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為綜合法框圖表示：(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示

2、要證明的結(jié)論)(2)分析法定義：從求證的結(jié)論出發(fā)，一步步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為分析法框圖表示：.2間接證明我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立這種證明方法叫作反證法難點正本疑點清源1綜合法證明問題是由因?qū)Ч?，分析法證明問題是執(zhí)果索因2分析法與綜合法相輔相成，對較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運用

3、綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用1要證明“<2”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是_(填序號)反證法，分析法，綜合法答案2下列條件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的條件的個數(shù)是_答案3解析要使2，只要>0且>0，即a，b不為0且同號即可，故有3個3已知函數(shù)f(x)lg ，若f(a)b，則f(a)_(用b表示)答案b解析f(x)lg lg f(x)，f(x)為奇函數(shù)，f(a)f(a)b.4下列表述：綜合法是由因?qū)Ч?；綜合法是順推法；分析法是執(zhí)果索因法；分析法是逆推法；反證法是間接證法其中正確

4、的有()A2個 B3個C4個 D5個答案D解析由分析法、綜合法、反證法的定義知正確5用反證法證明命題“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”時，應(yīng)假設(shè)()A三個內(nèi)角都不大于60°B三個內(nèi)角都大于60°C三個內(nèi)角至多有一個大于60°D三個內(nèi)角至多有兩個大于60°答案B解析因為“至少有一個”的反面是“一個也沒有”，所以“三角形三個內(nèi)角至少有一個不大于60°”的否定是“三角形三個內(nèi)角一個也沒有不大于60°”，即“三個內(nèi)角都大于60°”，故選B.題型一綜合法的應(yīng)用例1已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c226，并確定a

5、，b，c為何值時，等號成立思維啟迪：利用a2b22ab，再利用ab2，根據(jù)這個解題思路去解答本題即可證明因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，所以a2b2c2abbcac，同理，故a2b2c22abbcac3336.所以原不等式成立當(dāng)且僅當(dāng)abc時，式和式等號成立，當(dāng)且僅當(dāng)abc，(ab)2(bc)2(ac)23時，式等號成立即當(dāng)且僅當(dāng)abc3時，原式等號成立探究提高綜合法往往以分析法為基礎(chǔ)，是分析法的逆過程，但更要注意從有關(guān)不等式的定理、結(jié)論或題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)證明已知a、b、c為正實數(shù)，abc1.求證：(1)a2b2c2；(2

6、)6.證明(1)方法一a2b2c2(3a23b23c21)3a23b23c2(abc)2(3a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc)(ab)2(bc)2(ca)20，a2b2c2.方法二(abc)2a2b2c22ab2ac2bca2b2c2a2b2a2c2b2c2，3(a2b2c2)(abc)21，a2b2c2.方法三設(shè)a，b，c.abc1，0.a2b2c2222()222222，a2b2c2.(2)，同理，6，原不等式成立題型二分析法的應(yīng)用例2已知m>0，a，bR，求證：2.思維啟迪：本題若使用綜合法，不易尋求證題思路可考慮使用分析法證明m>0，1m>0.所以要證原

7、不等式成立，只需證(amb)2(1m)(a2mb2)，即證m(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立，故原不等式得證探究提高分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，運用分析法必須考慮條件的必要性是否成立通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達(dá)中要注意敘述形式的規(guī)范性已知a>0，求證： a2.證明要證 a2，只要證 2a.a>0，故只要證22，即a244a2222，從而只要證2，只要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立題型三反證法的應(yīng)用例3已知a1，求證三個方程

8、：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實數(shù)根思維啟迪：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“三個方程都沒有實數(shù)根”證明假設(shè)三個方程都沒有實數(shù)根，則，<a<1.這與已知a1矛盾，所以假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立探究提高結(jié)論若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接從正面入手難以尋覓解題的突破口的問題，宜考慮使用反證法用反證法證明命題時，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實相違背等等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；

9、(2)設(shè)bn (nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列(1)解由已知得，d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p、q、rN*，且互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr.與pr矛盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列分析法與綜合法的整合典例：(12分)已知函數(shù)f(x)log2(x2)，a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論審題視角(1)先判

10、斷它們的大小，可用特例法(2)用分析法探尋證題思路(3)用綜合法完成證明事實上，取a1，b2，c4，則f(a)f(c)f(1)f(4)log23log26log218,2f(b)2f(2)2log24log216，于是由log218>log216，猜測f(a)f(c)>2f(b)要證f(a)f(c)>2f(b)，則只需證log2(a2)log2(c2)>2log2(b2)，即證log2(a2)(c2)>log2(b2)2，也即證(a2)(c2)>(b2)2.展開整理得ac2(ac)>b24b.因為b2ac，所以只要證ac>2，顯然是成立的規(guī)范解答

11、解f(a)f(c)>2f(b)2分證明如下：因為a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，所以ac>2.4分因為b2ac，所以ac2(ac)>b24b，即ac2(ac)4>b24b4，從而(a2)(c2)>(b2)2.8分因為f(x)log2x是增函數(shù)，所以log2(a2)(c2)>log2(b2)2，10分即log2(a2)log2(c2)>2log2(b2)故f(a)f(c)>2f(b)12分溫馨提醒(1)綜合法和分析法各有其優(yōu)缺點，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)，因此，在實際解題時，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合

12、法表述解答或證明過程有時要把分析和綜合結(jié)合起來交替使用，才能成功(2)本題錯誤原因一是不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；二是不會用綜合法表述，從而導(dǎo)致解題格式不規(guī)范將分析法和綜合法整合，是證明數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法.方法與技巧1分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知2綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知3分析法和綜合法各有優(yōu)缺點分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結(jié)論，較簡捷地解決問題，但不便于思考實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來4用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，

13、常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結(jié)論P，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立失誤與防范1用分析法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個明顯成立的結(jié)論P，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立2利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時，要假設(shè)結(jié)論錯誤，并用假設(shè)命題進(jìn)行推理，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯誤的A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1若a，b，c為實數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()Aac2<bc2 Ba2>ab>b2C.< D

14、.>答案B解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.2設(shè)alg 2lg 5，bex(x<0)，則a與b大小關(guān)系為()Aa>b Ba<b Cab Dab答案A解析alg 2lg 51，bex，當(dāng)x<0時，0<b<1，a>b.3分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且abc0，求證<a”索的因應(yīng)是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(

15、ac)<0答案C解析由題意知<ab2ac<3a2b2a(ab)<3a2b2a2ab<3a2b2ab<2a22a2abb2>0a2aba2b2>0a(ab)(ab)(ab)>0a(ab)c(ab)>0(ab)(ac)>0，故選C.4用反證法證明某命題時，對結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為()Aa，b，c中至少有兩個偶數(shù)Ba，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)Ca，b，c都是奇數(shù)Da，b，c都是偶數(shù)答案B解析自然數(shù)a，b，c中為偶數(shù)的情況為a，b，c全為偶數(shù)；a，b，c中有兩個數(shù)為偶數(shù)；a，b，c全為奇數(shù)；a，b，

16、c中恰有一個數(shù)為偶數(shù)，所以反設(shè)為a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)二、填空題(每小題5分，共15分)5設(shè)a>b>0，m，n，則m，n的大小關(guān)系是_答案m<n解析取a2，b1，得m<n.再用分析法證明：<<a<b2·ab2·>0，顯然成立6用反證法證明命題“若實數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，acbd>1，則a，b，c，d中至少有一個是非負(fù)數(shù)”時，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是_答案a，b，c，d全是負(fù)數(shù)解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個非負(fù)數(shù)，即a，b，c，

17、d全是負(fù)數(shù)”7設(shè)x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若xz，且yz，則xy”為真命題的是_(填寫所有正確條件的代號)x為直線，y，z為平面；x，y，z為平面；x，y為直線，z為平面；x，y為平面，z為直線；x，y，z為直線答案解析根據(jù)線面關(guān)系定理判定三、解答題(共22分)8(10分)已知函數(shù)f(x)tan x，x，若x1，x2，且x1x2，求證：f(x1)f(x2)>f.證明要證明f(x1)f(x2)>f，即證明(tan x1tan x2)>tan，只需證明>tan ，只需證明>.由于x1、x2，故x1x2(0，)cos x1

18、cos x2>0，sin(x1x2)>0,1cos(x1x2)>0，故只需證明1cos(x1x2)>2cos x1cos x2，即證1cos x1cos x2sin x1sin x2>2cos x1cos x2，即證cos(x1x2)<1.由x1、x2，x1x2知上式是顯然成立的因此，f(x1)f(x2)>f.9(12分)已知四棱錐SABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SBSD，SA1.(1)求證：SA平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由(1)證明由已知得SA2AD2

19、SD2，SAAD.同理SAAB.又ABADA，SA平面ABCD.(2)解假設(shè)在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF平面SAD.BCAD，BC平面SAD.BC平面SAD.而BCBFB，平面SBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，假設(shè)不成立故不存在這樣的點F，使得BF平面SAD.B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1若a，bR，則下面四個式子中恒成立的是()Alg(1a2)>0 Ba2b22(ab1)Ca23ab>2b2 D.<答案B解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)2

20、0，a2b22(ab1)恒成立2設(shè)a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2 B都不小于2C至少有一個不大于2 D至少有一個不小于2答案C解析因為abc6，所以三者不能都大于2.3已知f(1,1)1，f(m，n)N*(m，nN*)，且對任意m，nN*都有：f(m，n1)f(m，n)2；f(m1,1)2f(m，1)給出以下三個結(jié)論：(1)f(1,5)9；(2)f(5,1)16；(3)f(5,6)26.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A3 B2 C1 D0答案A解析(1)由f(1,1)1和f(m，n1)f(m，n)2得f(1,2)f(1,11)f(1,1)2123，f(1,3)f(1,2)25，f(

21、1,4)f(1,3)27，f(1,5)f(1,4)29；(2)由f(1,1)1和f(m1,1)2f(m,1)得f(2,1)f(11,1)2f(1,1)2，f(3,1)2f(2,1)4，f(4,1)2f(3,1)8，f(5,1)2f(4,1)16；(3)由f(m，n1)f(m，n)2得f(5,6)f(5,5)2，而f(5,5)f(5,4)2，f(5,4)f(5,3)2，f(5,3)f(5,2)2，f(5,2)f(5,1)216218，則f(5,6)26.二、填空題(每小題5分，共15分)4關(guān)于x的方程axa10在區(qū)間(0,1)內(nèi)有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案解析(1)當(dāng)a0時，方程無解(2)當(dāng)a0時，令f(x)axa1，則f(x)在區(qū)間(0,1)上是單調(diào)函數(shù)依題意，得f(0)f(1)<0，(a1)(2a1)<0，<a<1.5若a，b，c為RtABC的三邊，其中c為斜邊，那么當(dāng)n>2，nN*時，anbn與cn的大小關(guān)系為_答案anbn&