勾股定理典型例題

1、例 1 如果一個直角三角形的兩條邊長分別是 6cm 和 8cm ，那么這個三角形的周長和面積分別是多少 ?思路與技巧這里知道了直角三角形的兩條邊的長度，應(yīng)用勾股定理可求出第三條邊的長度，再求周長但題中未指明已知的兩條邊是兩條直角邊還是一直角邊一斜邊，因此要分兩種情況討論解答分兩種情況：（ 1）當(dāng)兩條直角邊是6cm 和 8cm 時，根據(jù)勾股定理得斜邊長628210 cm所以周長 6810 24( cm)1 6 8 24 cm 2面積 2(2) 當(dāng)斜邊為 8cm ，一直角邊為 6cm( 斜邊大于直角邊 )時，根據(jù)勾股定理得另一直角邊826227 cm所以周長68271427 cm1 2 7 6 6

2、 7 cm2面積 2例 2 如圖 19 11 是一只圓柱形的封閉易拉罐， 它的底面半徑為 4cm ，高為 15cm ，問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒 (直線型 )最長可以是多長 ?思路與技巧攪拌棒在易拉罐中的位置可以有多種情形，如圖中的A1B 、 A2 B ，但它們都不是最長的， 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗， 當(dāng)攪拌棒的一個端點(diǎn)在B 點(diǎn)，另一個端點(diǎn)在 A 點(diǎn)時最長，此時可以把線段AB放在RtABC中，其中BC為底面直徑解答如圖19 11 ，當(dāng)攪拌棒在AB位置時最長，過B 畫底面直徑BC，則在RtABC中，AC 15cm ，BC 428cm根據(jù)勾股定理得ABAC 2BC 21528217 cm所以可放的最長攪拌棒為1

3、7cm 例 3 已知直角三角形的一直角邊為 9，另兩邊的長為整數(shù)，求三角形的周長思路與技巧 根據(jù)勾股定理，知道直角三角形一直角邊可以得出斜邊和另一直角邊之間的關(guān)系，再由這兩邊的長為整數(shù)可以推出兩邊的長，當(dāng)然這里不需要分別求出，只要求出另兩邊的和就可以了解答設(shè)斜邊為 c，另一直角邊為a，由勾股定理得 c 2a29 2 即 (ca)(c a)81 又因為 c、 a 為正整數(shù)，所以 ca，ca 也是正整數(shù)，且c a c a.因為 81 81 l273所以 ca81 或 c a 27(c a 1 或 ca3)所以 abc81 990 或 27936 即三角形的周長為90 或 36例 4 已知單位長度為

4、“1”，畫一條線段，使它的長為 29 思路與技巧29 是無理數(shù)，用以前的方法不易準(zhǔn)確畫出表示長為29 的線段，但由勾股定理可知，兩直角邊分別為 5、2 的直角三角形的斜邊長為522229 .解答畫直角三角形ABC，使ACB 90 ，AC 2(單位長度 )，BC 5(單位長度 )則AB29 (單位長度 )如圖 1912例 5 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了 lm ，當(dāng)他把繩子的下端拉開 5m 后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高思路與技巧 由題意可知繩子比旗桿多 lm，把下端拉開 5m 后，下端剛好接觸地面，這時，旗桿 AB 、繩子 AC 、旗桿底點(diǎn) B 與繩接觸地面的

5、點(diǎn) C 所連結(jié)的線段 BC 構(gòu)成直角三角形如圖 1913 如果設(shè)旗桿 AB x m，則繩長 AC (x1)m.解答設(shè)旗桿高為 xm ，則繩子長 (x1)m 在 Rt ABC 中， AB x，AC xl，BC5 根據(jù)勾股定理得AC2AB2BC2即 x1 2x 252x12m所以旗桿的高度為12m 例 6 如圖 1914，已知 CB9，AB17，AC10，ADBC 于 D求 AD 的長思路與技巧無論把 AD 放在直角ADC 還是在直角ADB 中，都不易直接利用勾股定理計算 AD ，必須先求出 CD 的長才能解決問題，要求CD 的長，可設(shè) CD x，設(shè)法找到關(guān)于 x 的方程，通過解方程的方法求出未知

6、的CD 長題中的 AD 可作為“橋梁”列出方程解答 如圖 19 14 ，設(shè) CD x，在直角ADC 中，AD 2AC 2CD 210 2x2在直角ABD 中，AD 2AB 2BD 217 29x 2所以 102x 21729x 2解 x6所以 AD102628 例 7 如圖 19 15 分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正三角形， 試探索三個正三角形面積間的關(guān)系思路與技巧首先應(yīng)探索出正三角形的面積與正三角形的邊長之間的關(guān)系，然后可設(shè)出解答設(shè)正三角形 DEF 的邊長為 m，如圖 19 16 過 D 作 DH EF 于 H，則2mDHm2m3mEH222 (三線合一 )在直角DEH 中，所以S D

7、EF1m3 m3 m 23224即等邊三角形的面積等于4 邊長的平方因此可設(shè)直角 ABC 的三邊 AB c，AC b， BC a3b23c23a 2所以4、4、4又因為 a， b， c 為直角三角形的三邊，故a2b 2c2所以即例 8 如圖 19 17 是一只長方形的火柴盒 ABCD ，把它推倒后到 AB C D 的位置，試用這一圖形的變化探索勾股定理的正確性思路與技巧火柴盒由 ABCD 的位置推倒后到 AB C D 的位置，可以看做是長方形ABCD 繞 A 點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 90 后到達(dá)AB C D 的，所以CAC90 ，如圖 1917解答設(shè)火柴盒 ABCD 的兩邊長分別為 a 與 b，對角線長為 c，推倒后的火柴盒是ABCD1a b b a1a22ab b2一方面，直角梯形 BCC D ，的面積 22另