微分的概念性質(zhì)及應(yīng)用

1、第二章第6節(jié)：函數(shù)的微分教學(xué)目的：掌握微分的定義，了解微分的運(yùn)算法那么，會(huì)計(jì)算函數(shù)的微分，會(huì)利用微 分作近似計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：微分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：微分的定義，利用微分作近似計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：1.微分的定義計(jì)算函數(shù)增量 y f X。 x f xo是我們非常關(guān)心的。一般說(shuō)來(lái)函數(shù)的增量的計(jì)的近似受溫度 問(wèn)此薄算是比擬復(fù)雜的，我們希望尋求計(jì)算函數(shù)增量計(jì)算方法。先分析一個(gè)具體問(wèn)題，一塊正方形金屬薄片變化的影響，其邊長(zhǎng)由Xo變到XoX 圖2-1， 片的面積改變了多少?設(shè)此薄片的邊長(zhǎng)為X，面積為A，那么A是x的函數(shù)：A X2。薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量，可以看成是當(dāng)自變量X自Xo取得增量X時(shí)，函數(shù)A相應(yīng)的增

2、量A，即AXo2 2X Xo2Xo x從上式可以看出，A分成兩局部，第一局部2Xo A是A的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個(gè)矩形面積之和，而第二局部x2在圖中是帶有交叉斜線的小正方形的面積，當(dāng)x 0時(shí)，第二局部 x 2是比x高階的無(wú)窮小，即x 2 0 x。由此可見，如果邊長(zhǎng)改變很微小，即| x很小時(shí)，面積的改變量 A可近似地用第一局部來(lái) 代替。一般地，如果函數(shù)y f x滿足一定條件，那么函數(shù)的增量y可表示為y A x 0 x，其中A是不依賴于 x的常數(shù)，因此A x是x的線性函數(shù)，且它與 y之差y A x 0 x，是比x高階的無(wú)窮小。所以，當(dāng) A 0，且x很小時(shí)，我們就可近似地用 A x來(lái)代 替y

3、。定義 設(shè)函數(shù)y fx在某區(qū)間內(nèi)有定義，X。 x及X。在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的 增量可表示為yAx0x ，其中A是不依賴于 x的常數(shù)，而0 x是比x高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù) y f x在 點(diǎn)心是可微的，而A x叫做函數(shù)y f x在點(diǎn)心相應(yīng)于自變量增量 x的微分，記作定理1函數(shù)f X在點(diǎn)X0可微的充分必要條件是函數(shù)f x在點(diǎn)X0可導(dǎo)，且當(dāng)f X在點(diǎn)X0可微時(shí)，其微分一定是Xo ody f x0 x oy AXo x0X于是，當(dāng)f x o時(shí)，由上式就得到設(shè)函數(shù)y f x在點(diǎn)xo可微，那么按定義有式成立。式兩邊除以x，得Aylimx 0 xXo存在，且因此，如果函數(shù)f x在點(diǎn)X。可微，那么f x在點(diǎn)X

4、。也一定可導(dǎo)即A f x0 o反之，如果y f x在點(diǎn)x0可導(dǎo)，即存在，根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，上式可寫成f Xo，X其中 0 當(dāng)x 00由此又有y f x0 x x o因 X 0 X，且不依賴于 X，故上式相當(dāng)于式，所以 f X在點(diǎn)Xo也是可微的。由此可見，函數(shù)f X在點(diǎn)Xo可微的充分必要條件是函數(shù) f X在點(diǎn)Xo可導(dǎo)，且當(dāng)f X在點(diǎn)Xo可微時(shí)，其微分一定是例 1 設(shè) y ex cosx，求 dy(3)解：dy ex cosx ex sinx dx微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用：在f x00的條件下，以微分dy f x°x近似代替增量y f x° x f x° 時(shí)，相對(duì)

5、誤差當(dāng)x0時(shí)趨于零。因此，在x很小時(shí)，有精確度較好的近似等式y(tǒng) dy。即 f x0x f x0f X。x或 f(x)f(X。) f(X。)x特別地，當(dāng)x00, x很小時(shí)，有f(x) f (0) f (0)x(3)式是計(jì)算零點(diǎn)附近的函數(shù)值當(dāng)x很小時(shí)，有以下近似計(jì)算公式：例證明：1丄X。(當(dāng)I x很小時(shí))n令 f (x) n1 x1- ii因?yàn)?f(0)1 f (0)(1 x)n |xonn故，當(dāng)x很小時(shí)，V1 x 1丄Xnr增大了例2 一個(gè)充好氣的氣體，r 4m升空后，因外面氣壓降低，氣球半徑 10cm,求體積增加了多少？解：因?yàn)閂 4 r33所以 V dv (4 r3) x 4 r2 x3例3

6、求. 4.2的近似值.解設(shè) f (x)、x,取 x04, x 0.2 ，貝卩所以.4.2f(4) f (4)(4.24)2.05或者：2微分的幾何意義為了對(duì)微分有比擬直觀的了解，我們來(lái)說(shuō)明微分的幾何意義。在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)上有一個(gè)確定點(diǎn) M X。，y時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn)y f x的圖形是一條曲線。對(duì)于某一固定的 當(dāng)自變量x有微小增N x°x，y° y .從可知:O n九 Jn + A JS值，曲線量 x圖2-2MQ x ,QN y o過(guò)m點(diǎn)作曲線的切線，它的傾角為，貝yQP MQ tan x f x0 ,即dy QP o由此可見，當(dāng) y是曲線y fx上的M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增

7、量時(shí)，dy就是曲線的切 線上M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。 當(dāng)x很小時(shí)，y dy比x小得多。因此在點(diǎn)M的 鄰近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段。3微分運(yùn)算法那么及微分公式表由dy f x dx，很容易得到微分的運(yùn)算法那么及微分公式表當(dāng) u、v都可導(dǎo)：du v du dv，d Cu Cdu ，d u v vdu udv ，,u vdu udv d -vv微分公式表：d x x 1dx，d sin x cosxdx ,cosxsin xdx ,tan xsec2 xdx ,cot xcsc2 xdx ,secxsecx tan xdx ,cscxcscxcot xdx ,ax In adx ,exdx

8、 ,log ax dx ,xln aIn x1dx ,xarcs in xarccosx"I 1 X2，arcta n xarc cot xdx。1 x2注：上述公式必須記牢，對(duì)以后學(xué)習(xí)積分學(xué)很有好處，而且上述公式要從右向左背例如:厶dx 2d仮,、.xd1,x1dx d ax b ,aaxdx1 In adax o4.復(fù)合函數(shù)微分法那么與復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么相應(yīng)的復(fù)合函數(shù)的微分法那么可推導(dǎo)如下:設(shè)y f u及u x都可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y f x的微分為dy yxdx f u x dx。由于 x dx du，所以，復(fù)合函數(shù)y f x的微分公式也可以寫成dy f u du 或 dy yudu。由此可見，無(wú)論u是自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù)， 微分形式dy f udu保 持不變。這一性質(zhì)稱為微分形式不變性。這性質(zhì)表示，當(dāng)變換自變量時(shí)(即設(shè)u為另一變量的任一可微函數(shù)時(shí))，微分形式dy f u du并不改變。例4求y esinx的微分解 dy d(esinx) esinxdsinx esinx cosxdx自我訓(xùn)練