第一節(jié)二階及三階行列式空間直角坐標系ppt課件

1、一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系第八章第八章 向量代數向量代數 空間解析幾何空間解析幾何第一節(jié)二階及三階行列式第一節(jié)二階及三階行列式 空間直角坐標系空間直角坐標系 設二元一次方設二元一次方程為程為一、二階及三階行列式一、二階及三階行列式1.二階行列式二階行列式我們從解二元一次方程組入手，我們從解二元一次方程組入手， .,222111cybxacybxa當當 a1b2 a2b1 0 時，時，方程組的解為方程組的解為,12211221bababcbcx 12211221babacacay 二階行二階行列式含有兩行兩列列式含有兩行兩列. a1, b1 ,

2、a2, b2 叫做行列式的元叫做行列式的元素，素，行列式中橫排叫做行，行列式中橫排叫做行， 縱排叫做列，縱排叫做列，這就叫二階行列式，這就叫二階行列式，為了便于記憶，為了便于記憶， 我們把我們把 a1b2 a2b1記作記作,2211baba, 12212211babababa 即即2211baba()(+)26)1(013213012 ,83)2(212231 利用行列式，利用行列式， 二元一次方程組的解可以表示成：二元一次方程組的解可以表示成：,22112211bababcbcx .22112211babacacay ,12211221bababcbcx .12211221babacacay

3、 是由方程組是由方程組 中中 x、y 的系數按原來次序排列成的，的系數按原來次序排列成的，稱為方程組的系稱為方程組的系數行列式，數行列式， 分母中的行列式 2211baba記為記為 D. 行列式行列式 是把系數行列式中是把系數行列式中 x x 的系數的系數 a1 a1 ，a2 a2 2221bcbc而成的而成的 換成方程組右端的常數項換成方程組右端的常數項 c1c1，c2c2行列式，記為行列式，記為 Dx .Dx . 行列式行列式 是把系數行列式中是把系數行列式中 y y 的系數的系數 b1b1，b2b22211caca換成常數項換成常數項 c1，c2 而成的行列式而成的行列式 ，記為，記為

4、Dy .所以，二元一次方程組的解又可表示為所以，二元一次方程組的解又可表示為: :)0(, DDDyDDxyx其其中中例例 1 1解方程組解方程組 06450732yxyx解解 原方程組即為原方程組即為 . 645, 732yxyx,234532 D因因為為,464637 xD,236572 yD所以所以, 22346 DDxx. 12323 DDyy2.三階行列式三階行列式333222111cbacbacba312231123213132321cbacbacbacbacbacba 這就是三階行列式這就是三階行列式. 其中其中ai , bi , ci (i = 1 , 2 , 3) 稱稱為行列

5、式的元素，為行列式的元素，橫排稱為行，橫排稱為行，縱排稱為列縱排稱為列. 實線上三實線上三個元素的連乘積取正號，個元素的連乘積取正號，三階行列式的計算可依下表進行三階行列式的計算可依下表進行: 虛線上三個元素的連乘虛線上三個元素的連乘積取負號積取負號.即即這樣，三元一次方程組的解，這樣，三元一次方程組的解， 可用三階行列式表示，可用三階行列式表示，333222111cbacbacba321aaa321bbb)()()( )()()( 當當 D 0 時，時， .,DDzDDyDDxzyx 其中其中 稱為方程組的系數行列式，稱為方程組的系數行列式，333222111cbacbacbaD 是是系系數

6、數行行列列式式中中和和zyxDDD, x 、 y 和和 z 的系數的系數依次分別換成方程組右端的常數項而成的行列式依次分別換成方程組右端的常數項而成的行列式.例例 2 2 計算行列式計算行列式 的值的值054321907027 430 519 924 735 010 解解520417054321907)()()( )()()( 132 例例 3解方程解方程0245351132 xx25)2( x)5(3)3( x)4(11 15)5( x)2(3)4(x )3(12 ,248 x245351132 xx解解3 x解之，得解之，得 0248 x所以原方程為所以原方程為 根據行列式的定義，三階行列

7、式也可以用二階根據行列式的定義，三階行列式也可以用二階行列式表示行列式表示. 其具體表達式如下其具體表達式如下:333222111cbacbacba321321321bacacbcba 123123123bacacbcba )(23321cbcba )(23321acacb )(23321babac .332213322133221babaccacabcbcba 05432190705327 04310 54219 )3(9)15(7 132 例如，例例如，例 2 中的行列式可按如下方法計算中的行列式可按如下方法計算2 以以 的角度轉向的角度轉向 y 軸的軸的正向，正向，1. 空間直角坐標系空

8、間直角坐標系 過空間定點過空間定點 O 作三條互相作三條互相垂直的數軸，垂直的數軸， 它們都以它們都以 O 為原點，為原點， 并且通常取相同的長度單位并且通常取相同的長度單位. 這這三條數軸分別稱為三條數軸分別稱為 x 軸，軸，y 軸，軸，z 軸軸. 各軸正向之間的順序通常各軸正向之間的順序通常按下述法則確定按下述法則確定:以右手握住以右手握住 z 軸，軸， 讓右手的四指從讓右手的四指從 x 軸的正向，軸的正向，圖圖 8 1這時大拇指所指的方向就是這時大拇指所指的方向就是 z 軸的正向軸的正向. 這個這個法則叫做右手法則法則叫做右手法則. 右手法則右手法則 二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系

9、這樣就組成了空間直角坐標系這樣就組成了空間直角坐標系. O 稱為坐標原稱為坐標原點，點，每兩個坐標軸確定的平面稱為坐標平面，每兩個坐標軸確定的平面稱為坐標平面， 簡稱為簡稱為坐標面坐標面. x 軸與軸與 y 軸所確定的坐標面稱為軸所確定的坐標面稱為 x y 坐表坐表面，面，類似地有類似地有 y z 坐標面，坐標面，z x 坐標坐標面面. 這些坐標面把空間分成這些坐標面把空間分成八個部分，每一個稱為一個八個部分，每一個稱為一個卦限卦限. x、y、z 軸的正半軸軸的正半軸的卦限稱為第的卦限稱為第 I 卦限，卦限，xyzO 八卦限八卦限 空間的點就與一組有序數組空間的點就與一組有序數組 x，y，z

10、之間建之間建立了一一對應關系立了一一對應關系. 按逆時按逆時針的方向針的方向從第從第 I 卦限開始，卦限開始， 從從 Oz 軸的正向向下看，軸的正向向下看， ，先后出現的卦限依次稱為第，先后出現的卦限依次稱為第 、 卦限卦限; 第第、 、 、 卦限下面的空間部卦限下面的空間部分依次稱為第分依次稱為第 、 卦限卦限.xyzOMPRQ 它們分別稱為它們分別稱為 x 坐標，坐標，y 坐標和坐標和 z 坐標坐標. 有序數組有序數組 x，y，z 就稱為點就稱為點 M 的坐標，記為的坐標，記為 M(x，y，z)， 過點過點 M1 M2 各作三張各作三張平面分別垂直于三個坐標軸，形成如圖的長方體平面分別垂直

11、于三個坐標軸，形成如圖的長方體. 求求它們之間的距離它們之間的距離 d = |M1M2|.設空間兩點設空間兩點 M1 ( x1, y1, z1)、M2 ( x2 , y2 , z2 ),2d2221QMQM 221MM (M1QM2 是直角三角形是直角三角形) 22221QMPQPM 易知易知(M1PQ 是直角三角形是直角三角形)zOy1xyz1z2y2x2x1QPM1M2P 1M 2M 2.兩點之間的距離兩點之間的距離圖圖 8 - 4212212212)()()(zzyyxx 222221QMMPPM 所以所以.)()()(212212212zzyyxxd 特別地，特別地，點點 M ( x , y , z) 與原點與原點O ( 0 , 0 , 0 ) 的距離的距離222zyxOMd 兩點間距離兩