經(jīng)濟數(shù)學(xué) 定積分ppt課件

1、 第五章第五章 定積分定積分 第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念 一、問題的提出一、問題的提出 二、定積分的定義二、定積分的定義 三、存在定理三、存在定理 四、幾何意義四、幾何意義 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個小矩

2、形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )

3、(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當(dāng)分割無限加細當(dāng)分割無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為實例實例2 2 （求變速直線運動的路程）（求變速直線運動的路程） 設(shè)某物體作直線運動，已知速度設(shè)某物體作直線運動，已知速度)(tvv 是是時間間隔時間間隔,21TT上上t的一個連續(xù)函數(shù)，且的一個連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程.思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作

4、不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值分過程求得路程的精確值（1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度（2求和求和iinitvs )(1 （3取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點b

5、xxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作乘積作乘積iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，只要當(dāng)只要當(dāng)0 時，時，和和S總趨于總趨于確確定定的的極極限限I，我我

6、們們稱稱這這個個極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分存存在在時時，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時時，定理定理1 1定

7、理定理2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上有有界界，稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且且只只有有有有限限個個間間斷斷點點，則則)(xf在在區(qū)間區(qū)間,ba上可積上可積. ., 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 幾何意義：幾何意義：積取負號積取負號軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號；軸上方的面積取正號；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線直線的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它

8、是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx 解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ，(ni, 2 , 1 )小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.121dxx 解解在在2 , 1中中

9、插插入入分分點點 12, nqqq,典典型型小小區(qū)區(qū)間間為為,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()1( qn取取2 nq即即nq12 ),12(1 nn)12(lim1 xxxxxx112lim1 , 2ln )12(lim1 nnn, 2ln dxx 211iniix 101lim )12(lim1 nnn. 2ln iinixf )(1 例例 3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間1 , 0上連續(xù)，且取

10、正值上連續(xù)，且取正值.證明證明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim試試證證.10)(ln dxxfe利用對數(shù)的性質(zhì)得利用對數(shù)的性質(zhì)得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指數(shù)數(shù)上上可可理理解解為為：)(lnxf在在1 , 0區(qū)區(qū)間間上上的的一一個個積積分分和和分割是將分割是將1 , 0n等分等分分分點點為為nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim極限運算與對數(shù)運算換序得極限運算與對數(shù)運算換序得nnifnin1lnlim1 10)(lndxxf故故nnnnfnfnf 21lim

11、.10)(ln dxxfe因因為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且0)( xf所所以以)(lnxf在在 1 , 0上上有有意意義義且且可可積積 ,定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直不變代曲變）求近似以直不變代曲變）取極限取極限思考題思考題將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分表示成定積分.思考題解答思考題解答原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ni

12、nnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 一、一、 填空題：填空題：1 1、 函數(shù)函數(shù))(xf 在在 ba ,上的定積分是積分和的極限，上的定積分是積分和的極限，即即 badxxf)(_ . .2 2、 定積分的值只與定積分的值只與_及及_有關(guān)，而與有關(guān)，而與_的記法無關(guān)的記法無關(guān) . .3 3、 定積分的幾何意義是定積分的幾何意義是_ . .4 4、 區(qū)間區(qū)間 ba ,長度的定積分表示是長度的定積分表示是_ . .二、二、 利用定積分的定義計算由拋物線利用定積分的定義計算由拋物線,12 xy兩直線兩直線)(,abbxax 及橫軸所圍成的圖形的面積及橫

13、軸所圍成的圖形的面積 . .三、三、 利用定積分的定義計算積分利用定積分的定義計算積分 baxdx，)(ba . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、四、 利用定積分的幾何意義，說明下列等式：利用定積分的幾何意義，說明下列等式：1 1、41102 dxx ; ;2 2、 2022cos2cosxdxxdx ; ;五、五、 水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知水利工程中要計算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的閘門上水的是是壓強壓強 P的的水深水深 h函數(shù)，且有函數(shù)，且有)(8 . 92米米千千米米hp ，若閘門高，若閘門高米米3 H，寬，寬米米2 L，求水面與閘門頂相齊時閘門所受的水，求水面與閘門頂相

14、齊時閘門所受的水壓力壓力P（見教材圖（見教材圖 5-35-3）. .一、一、1 1、 niiixf10)(lim ； 2 2、被積函數(shù)、被積函數(shù), ,積分區(qū)間積分區(qū)間, ,積分變量；積分變量；3 3、介于曲線、介于曲線)(xfy , ,軸軸x, ,直線直線bxax ,之間之間 各部分面積的代數(shù)和；各部分面積的代數(shù)和；4 4、 badx. .二、二、abab )(3133. .三、三、)(2122ab . .五、五、88.2(88.2(千牛千牛).).練習(xí)題答案練習(xí)題答案觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積

15、的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加

16、細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下

17、列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時，矩形面

18、積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 第二節(jié)第二節(jié) 定積分的性質(zhì)、中值定理定積分的性質(zhì)、中值定理 一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容 二、小結(jié)二、小結(jié) 思考題思考題對定積分的補充規(guī)定對定積分的補充規(guī)定:（1）當(dāng)當(dāng)ba 時時，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxx

19、g badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充：不論補充：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 假設(shè)假設(shè), cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( ba

20、dxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）那么那么假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3dxba 1dxba ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xex

21、fx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dx

22、xfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6例例 2 2 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin

23、31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估計積分估計積分dxxx 24sin的值的值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上單調(diào)下降上單調(diào)下降,故故4 x為極大點，為極大點，2 x為極小點為極小點,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函

24、數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7定積分中值定理）定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等

25、等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）典型問題典型問題（估計積分值；（估計積分值；（不計算定積分比較積分大?。ú挥嬎愣ǚe分比較積分大小思考題思考題

26、定定積積分分性性質(zhì)質(zhì)中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積，則則)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上也也可可積積。這這一一性性質(zhì)質(zhì)之之逆逆成成立立嗎嗎？為為什什么么？思考題解答思考題解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可積積，不不能能斷斷言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積。 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0, 1)( 為為無無理理數(shù)數(shù)，為為有有理理數(shù)數(shù)xxxg1, 0)(顯顯然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上上可可積積，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可積積。

27、例例一一、 填填空空題題：1 1、 如如果果積積分分區(qū)區(qū)間間 ba ,被被點點c分分成成 bcca,與與，則則定定積積分分的的可可加加性性為為 badxxf)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 如如果果 baxf,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值分分別別為為Mm與與，則則 abdxxf)(有有如如下下估估計計式式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 時時當(dāng)當(dāng)ba ，我我們們規(guī)規(guī)定定 badxxf)(與與 abdxxf)(的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _

28、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 積積分分中中值值公公式式 badxxf)()(,)(baabf 的的幾幾何何意意義義是是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 下列兩積分的大小關(guān)系是：下列兩積分的大小關(guān)系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是常數(shù)是常數(shù)k）. .三、三、 估計下列積分估計下列積分 333cot xdxxarc的值

29、的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性質(zhì)求極限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim xdxnn. .七、設(shè)七、設(shè))(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 則 在， 則 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，則，則 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,

30、且且 babadxxgdxxf)()(，則在，則在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于 為為鄰鄰與與abf )( 邊的矩形面積；邊的矩形面積； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案對定積分的補充規(guī)定對定積分的補充規(guī)

31、定:（1）當(dāng)當(dāng)ba 時時，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）（此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況）性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (

32、k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補充：不論補充：不論 的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立上式總成立.cba,例例 假設(shè)假設(shè), cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）（定積分對于積分區(qū)間具有可加性）那么那么假假設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3dxba 1dxba

33、ab .則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5如果在區(qū)間如果在區(qū)間,ba上上0)( xf，例例 1 1 比比較較積積分分值值dxex 20和和dxx 20的的大大小小.解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：證證),()(xgxf , 0)()( xfxg,

34、0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于于是是 dxxfba )( dxxgba )(.則則dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 證證, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(.說明：說明： 可積性是顯然的可積性是顯然的.|)(xf|在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的性質(zhì)性質(zhì)5 5的推論：的推論：（2）設(shè)設(shè)M及及m分分別別是是函函數(shù)數(shù)證證,)(Mxfm ,)( bababa

35、Mdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性質(zhì)性質(zhì)6 6例例 2 2 估估計計積積分分dxx 03sin31的的值值.解解,sin31)(3xxf , 0 x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx例例 3 3 估計積分估計積分dxxx 24sin的值的值.解解,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2

36、)tan(cosxxxx 2,4 x, 0 )(xf在在2,4 上單調(diào)下降上單調(diào)下降,故故4 x為極大點，為極大點，2 x為極小點為極小點,22)4( fM,2)2( fm,442 ab,422sin4224 dxxx.22sin2124 dxxx如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知則則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 7定積分中值定理）定積分中值定理

37、）積分中值公式積分中值公式在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個個點點 ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為)( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。例例 4 4 設(shè)設(shè))(xf可可導(dǎo)導(dǎo)，且且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim.解解由積分中值定理知

38、有由積分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用）典型問題典型問題（估計積分值；（估計積分值；（不計算定積分比較積分大?。ú挥嬎愣ǚe分比較積分大小思考題思考題 定定積積分分性性質(zhì)質(zhì)中中指指出出，若若)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積，則則)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上也也可可積積。這這一一性性質(zhì)質(zhì)之之逆逆成成立立嗎嗎？為為什什么么？

39、思考題解答思考題解答 由由)()(xgxf 或或)()(xgxf在在,ba上上可可積積，不不能能斷斷言言)(),(xgxf在在,ba上上都都可可積積。 為無理數(shù)為無理數(shù)，為有理數(shù)為有理數(shù)xxxf0, 1)( 為為無無理理數(shù)數(shù)，為為有有理理數(shù)數(shù)xxxg1, 0)(顯顯然然)()(xgxf 和和)()(xgxf在在1 , 0上上可可積積，但但)(),(xgxf在在1 , 0上上都都不不可可積積。例例一一、 填填空空題題：1 1、 如如果果積積分分區(qū)區(qū)間間 ba ,被被點點c分分成成 bcca,與與，則則定定積積分分的的可可加加性性為為 badxxf)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2

40、 2、 如如果果 baxf,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值分分別別為為Mm與與，則則 abdxxf)(有有如如下下估估計計式式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 時時當(dāng)當(dāng)ba ，我我們們規(guī)規(guī)定定 badxxf)(與與 abdxxf)(的的關(guān)關(guān)系系是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 積積分分中中值值公公式式 badxxf)()(,)(baabf 的的幾幾何何意意義義是是 _ _ _ _ _ _ _ _

41、_ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 下列兩積分的大小關(guān)系是：下列兩積分的大小關(guān)系是：（1 1） 102dxx_ 103dxx（2 2） 21ln xdx_ 212)(lndxx（3 3）dxex 10_ 10)1(dxx二、二、 證明：證明： babadxxfkdxxkf)()(（是常數(shù)是常數(shù)k）. .三、三、 估計下列積分估計下列積分 333cot xdxxarc的值的值 . .四、證明不等式：四、證明不等式： 2121dxx . .六、用定積分定義和性質(zhì)求極限六、用定積分定義和性質(zhì)求極限: :1 1、)21.2111(limnnnn ; ;2.2.、 40sinlim

42、 xdxnn. .七、設(shè)七、設(shè))(xf及及 baxg,)(在在上連續(xù)，證明：上連續(xù)，證明：1 1、 若 在若 在 ba ,上上0)( xf, , 且且 badxxf0)(， 則 在， 則 在 ba ,上上0)( xf ；2 2、若在、若在 ba ,上，上，0)( xf , ,且且)(xf不不0恒等于恒等于，則，則 badxxf0)( ；3 3、 若在若在 ba ,上上)()(xgxf , ,且且 babadxxgdxxf)()(，則在，則在 )()(,xgxfba 上上 . .一、一、1 1、 bccadxxfdxxf)()(； 2 2、baabMdxxfabmba ,)()()(； 3 3、

43、 badxxf)( abdxxf)(；4 4、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于、曲邊梯形各部分面積的代數(shù)和等于 為為鄰鄰與與abf )( 邊的矩形面積；邊的矩形面積； 5 5、(1)(1)； (2) (2)； (3). (3).三、三、1 1、 32arctan9331 xdxx； 2 2、53arcsin24213210 xxxdx. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 第三節(jié)第三節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式 一、問題的提出一、問題的提出 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式發(fā)萊布尼茨公式發(fā) 四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系

44、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(TTdttv 設(shè)設(shè)某某物物體體作作直直線線運運動動，已已知知速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，且且0)( tv，求求物物體體在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其其中中 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，并并且且設(shè)設(shè)x為為,ba上上的的一一點點， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadt

45、tf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個個對對應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa

46、)()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x 如如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為補充補充 )()()()(xaxafxbxbf 證證 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttf

47、dxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達法則型不定式，應(yīng)用洛必達法則.例例 2 2 設(shè)設(shè))(xf在在),( 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且0)( xf.證證明明函函數(shù)數(shù) xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 200

48、0)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).例例 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上連續(xù)，且上連續(xù)，且1)( xf.證明證明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上只有一個解上只有一個解.證證, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加

49、加函函數(shù)數(shù)., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所所以以0)( xF即即原原方方程程在在1 , 0上上只只有有一一個個解解.令令定理定理2 2原函數(shù)存在定理）原函數(shù)存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之初步揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.定理定理 3 3微積分基本公式）微積分

50、基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已已知知)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，CxxF )()(,bax 證證令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： ba

51、xF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時，時，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例5 5 設(shè)設(shè) , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當(dāng)當(dāng)1 x時時，5)( xf, 1021

52、52dxxdx原原式式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 計計算算曲曲線線xysin 在在, 0 上上與與x軸軸所所圍圍 成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積.解解 面積面積xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 3.微積分基本公式微積分

53、基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系之間的關(guān)系思考題思考題 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、

54、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設(shè)設(shè) ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，練練 習(xí)習(xí) 題題（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . .

55、 6 6、設(shè)、設(shè),sincos nxdxmx（1 1） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3I= =_ _ , ,（2 2） 、當(dāng)） 、當(dāng)nm 時，時，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)數(shù)：1 1、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設(shè)設(shè) 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設(shè)、設(shè) 2

56、031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 設(shè)設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值

57、與最小值 . .七、七、 設(shè)設(shè) 時，時，或或，當(dāng)，當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng) xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達式內(nèi)的表達式 . .八、八、 設(shè)設(shè) baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba內(nèi)有且僅有一個根內(nèi)有且僅有一個根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5 5、(1)(1) ,； (2)0,0 (2)0,0；

58、7 7、;6145 8 8、6 ； 9 9、1.1.二、二、1 1、1sincos xx； 2 2、tt ln212 ； 3 3、)sincos()cos(sin2xxx ； 4 4、2 . .三、三、 1 1、852； 2 2、3 ； 3 3、14 ； 4 4、4.4.練習(xí)題答案練習(xí)題答案四四、1 1、0 0； 2 2、101. .六六、335 , , 0 0. .七七、 xxxxx,10,)cos1(210,0)(. . 第四節(jié)第四節(jié) 定積分的換元積分法定積分的換元積分法 一、換元公式一、換元公式 二、小結(jié)二、小結(jié) 思考題思考題定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)；（

59、2 2）函函數(shù)數(shù))(tx 在在, 上上是是單單值值的的且且有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；（3 3）當(dāng)）當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值的值在在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .證證設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù).a )( 、b )( ,)()( )()( FF ),()(aFbF )()()(aFbF

60、dxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 當(dāng)當(dāng) 時時，換換元元公公式式仍仍成成立立.應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:（1）求求出出)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù))(t 后后，不不必必象象計計算算不不定定積積分分那那樣樣再再要要把把)(t 變變換換成成原原變變量量x的的函函數(shù)數(shù)，而而只只要要把把新新變變量量t的的上上、下下限限分分別別代代入入)(t 然然后后相相減減就就行行了了.（2）用用)(tx 把把變變量量x換換成成新新變變量量t時時，積積分分限限也也相相應(yīng)應(yīng)的的改改變變.例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt 2 x, 0