定積分的換元法與分部法ppt課件

1、上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 5.3 定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法二、定積分的分部積分法上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、定積分的換元法 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 函數(shù)x(t)滿足條件: (1)(t)在, (或, )上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù); (2)(a)a, ()b, 且(a,b)=a,b, 則有dtttfdxxfba)()()( v定理?yè)Q元公式證明 是的原函數(shù), 因此有那么baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t 設(shè)F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù), 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例1 計(jì)算).0(d022axxaa解 令,sintax 那么,dco

2、sdttax ;0,0tx時(shí)當(dāng).,2tax時(shí)原式=2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos2dtttfdxxftxba)()( )()(令(當(dāng) xa 時(shí) t 當(dāng) xb 時(shí) t) 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例2 計(jì)算10d .43xxx解 令43 ,tx那么24,3tx原式 =212423()d3tttt dtttfdxxftxba)()( )()(令(當(dāng) xa 時(shí) t 當(dāng) xb 時(shí) t) 2dd ,3xt t 當(dāng)x =0時(shí), t =2;當(dāng)x =1時(shí), t =12212(4)d9tt3212 (4)93tt10.27上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例 2 計(jì)算x

3、dxxsincos520 例3 解 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 610cos612cos61cos6166206x610cos612cos61cos6166206x 6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令 xxdxdxxcoscossinc

4、os520520或提示：當(dāng) x0 時(shí) t1 當(dāng)2x時(shí) t0 提示：換元一定要換積分限 不換元積分限不變 dtttfdxxftxba)()( )()(令(當(dāng) xa 時(shí) t 當(dāng) xb 時(shí) t) 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)aaadxxfdxxfxfdxxfxf000)(2)()()()( 證明 例4 設(shè)f(x)在a, a上連續(xù), 證明 證明 因?yàn)閐xxfdxxfdxxfaaaa)()()(00 而 aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaatxad

5、xxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令 0( ) ( )()aaaf x dxf xfx dx 并計(jì)算 211.1xxdxe2111xxdxe2210()11xxxxdxee120 x dx1.30()aft dt上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 注: 例4 設(shè)f(x)在a, a上連續(xù), 證明 (1) 當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí), (2) 當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí), ( )0.aaf x dx0( )2( ).aaaf x dxf x dx 練習(xí) 1221(sin1cos)_.xxdx0( ) ( )()aaaf x dx

6、f xfx dx22(sin1 cos)xx222sin2sin1 cos1 cosxxxx 222sin1 cosxx4上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 證明 例5 若f(x)在0, 1上連續(xù), 證明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 證明 (1)令tx2 則 dttfdxxf)2sin()(sin02202020)(cos)2sin(dxxfdttfdttfdxxf)2sin()(sin0220 2020)(cos)2sin(dxxfdttf 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)(2)令xpt. 因?yàn)?例5 若f(x)在0, 1上連續(xù), 證明

7、 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 證明 00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dttftdttft00)(sin)(sindtttfdttf00)(sin)(sindxxxfdxxf所以 00)(sin2 )(sindxxfdxxxf 00)sin()()(sindttftdxxxf00)(sin)()sin()(dttftdttft上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例6 計(jì)算02dcos1sinxxxx02dcos1sin2xxx02)(cosdcos112xx0)arctan(cos2

8、x.42)44(202dcos1sinxxxx 解 例5 若f(x)在0, 1上連續(xù), 證明 (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf (1)2020)(cos)(sindxxfdxxf 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二、定積分的分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間a, b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 由 (uv)uvuv 得 uv(uv)uv 等式兩端在區(qū)間a b上積分得 vdxuuvdxvubababa 或這就是定積分的分部積分公式 bababauvuvvudd上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解 例7 例 1 計(jì)算xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsi

9、n210210)1 (1121121621222102210 xdxdxxx123121122102xxdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210 )1 (1121121621222102210 xdxdxxx 123121122102x 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例8 計(jì)算 解102d)2()1ln(xxx10)1ln(x2ln10)2ln()1ln(312lnxx2ln31原式=dx21102)1ln(xxxxxd112110 xd10 xx211131上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 解 202)sin(sin) 1(dxxxnnn 例9 例 10 求20sinxdxInn

10、 解 20120cossinsinxxdxdxInnn20202sin) 1(sin) 1(xdxnxdxnnn 21nnInnI 由此得 201201sincossincosxxdxxnn 2022sincos) 1(xdxxnn 20120cossinsinxxdxdxInnn 2(1)(1),nnnInI上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 21nnInnI 公式: 200dxI201dsinxxI注意:,2, 12200dcosdsinxxxxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù) 例9 例 10 求20sinxdxInn 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)例10 求 22204dxxx解2sin ,xt令原式242016(sinsin)dttt13 116()2 24 2 22cost24sin t02 ttxdcos2d2cos d t t.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)設(shè)( )0,1,fx在連續(xù)(0)1,(2)3,ff且,5)2( f求.d)2(10 xxfx 解 xxfxd)2(10)2(d2110 xfx10)2(21xfx xxfd)2(102510)2(41xf2思考題1上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)證 右端baxfbxax)(d)(21abxfbxax)()(21xbaxxfbad)2)(21)(d)2(21xfbaxbaxxfbad