隨機解釋變量問題計量經濟學

1、編輯ppt4.4 隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題一、一、隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題 三、隨機解釋變量的后果三、隨機解釋變量的后果四、工具變量法四、工具變量法五、案例五、案例 編輯ppt 當方程線性計量經濟學模型假設解當方程線性計量經濟學模型假設解釋變量是確定性變量，并且與隨機干擾釋變量是確定性變量，并且與隨機干擾項不相關；違背這一基本假設的問題被項不相關；違背這一基本假設的問題被稱為稱為隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題。 編輯ppt基本假設基本假設:解釋變量解釋變量X1,X2,Xk是確定性變量。是確定性變量。 如果

2、存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現則稱原模型出現隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題。 為了討論方便，假設為了討論方便，假設(4.4.1)式中式中X2為隨機解釋變?yōu)殡S機解釋變量。對于隨機解釋變量問題，分三種不同情況：量。對于隨機解釋變量問題，分三種不同情況： 一、隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題對于模型對于模型 ikikiiiXXYY22110(4.4.1)(4.4.1) 編輯ppt 1. 隨機解釋變量與隨機誤差項獨立隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)0)()()()(22, 2ExExEXCov 2. 隨機解釋變量

3、與隨機誤差項同期無關隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關 (contemporaneously uncorrelated)，但異期相關。，但異期相關。0)()(2,2iiiixEXCov0)()(2,2siisiixEXCov0s 3. 隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關 (contemporaneously correlated)。 0)()(2,2iiiixEXCov(4.4.2)(4.4.2) (4.4.3)(4.4.3) (4.4.4)(4.4.4) 編輯ppt二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題 在實際經濟問題中，經濟變量

4、往往都具在實際經濟問題中，經濟變量往往都具有隨機性。有隨機性。 但是在單方程計量經濟學模型中，凡是外但是在單方程計量經濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。生變量都被認為是確定性的。 于是于是隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題主要主要表現于：表現于：用滯用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。編輯ppt例如：例如：（1）耐用品存量調整模型：）耐用品存量調整模型： 耐用品的存量耐用品的存量Qt由前一個時期的存量由前一個時期的存量Qt-1和當和當期收入期收入It共同決定：共同決定： Qt= 0+ 1It+ 2Qt-1+ t t=1,T這是一個這是一個滯后

5、被解釋變量作為解釋變量的模型滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。 但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，那么隨機解釋變量性，那么隨機解釋變量Qt-1只與只與 t-1相關，與相關，與 t不相不相關，屬于隨機解釋變量與隨機干擾項同期無關，但關，屬于隨機解釋變量與隨機干擾項同期無關，但異期相關的情況。異期相關的情況。編輯ppt（2）合理預期的消費函數模型）合理預期的消費函數模型 合理預期理論合理預期理論認為消費認為消費Ct是由對收入的預期是由對收入的預期Yte所決定的：所決定的：tettYC10 預期收入預期收入Yte與實際收入與實際收入Y間存如下關系的假

6、設間存如下關系的假設 ettetYYY1)1 (容易推出容易推出tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCYCt-1是一隨機解釋變量，且與是一隨機解釋變量，且與 ( t-t-1)高度相關（因高度相關（因為為Ct-1與與 t-1高度相關）。屬于隨機解釋變量與隨機干高度相關）。屬于隨機解釋變量與隨機干擾同期相關的情況。擾同期相關的情況。編輯ppt 計量經濟學模型一旦出現隨機解釋變量，計量經濟學模型一旦出現隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的話，如果仍采用且與隨機擾動項相關的話，如果仍采用OLS法估計模型參數，不同性質的隨機解釋變量法估計模型參

7、數，不同性質的隨機解釋變量會產生不同的后果。會產生不同的后果。 下面以一元線性回歸模型為例進行說明下面以一元線性回歸模型為例進行說明 三、隨機解釋變量的后果三、隨機解釋變量的后果編輯ppt 隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖 （a a）正相關）正相關 （b b）負相關）負相關 擬合的樣本回歸擬合的樣本回歸線可能低估截距項，線可能低估截距項，而高估斜率項。而高估斜率項。 擬合的樣本回歸線擬合的樣本回歸線高估截距項，而低高估截距項，而低估斜率項。估斜率項。編輯ppt 對一元線性回歸模型：對一元線性回歸模型： tttXY10OLS估計量為（第二章估計量為（第二章2.2.6式

8、和式和P36推導）推導）2121ttttttxxxyx1、如果如果X與與 相互獨立相互獨立，得到的參數估計量仍然是，得到的參數估計量仍然是無偏、一致估計量。無偏、一致估計量。 已經得到證明已經得到證明 隨機解釋變量隨機解釋變量X與隨機項與隨機項 的關系不同，參數的關系不同，參數OLS估計量的統(tǒng)計性質也會不同，也分三種情況：估計量的統(tǒng)計性質也會不同，也分三種情況： (4.4.8)(4.4.8) 編輯ppt 2 2、如果如果X與與 同期不相關，異期相關同期不相關，異期相關，得到的，得到的參數估計量有偏、但卻是一致的。參數估計量有偏、但卻是一致的。 kt的分母中包含不同期的的分母中包含不同期的X；由

9、異期相關性知：；由異期相關性知：kt與與 t相關，因此，相關，因此，)()()(1211tttttkExxEE11)(E但是但是0)(),()lim()lim(1211121limttttnttntttnXVarXCovxPxPxxP編輯ppt3 3、如果如果X與與 同期相關同期相關，得到的參數估計量有偏、，得到的參數估計量有偏、且非一致。且非一致。 【說明】【說明】 如果如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當該滯后被解釋變量與隨機誤差項則當該滯后被解釋變量與隨機誤差項同期相關同期相關時，時，OLS估計量是有偏的、且是非一致的估計量是有偏的、且是非

10、一致的。 即使即使同期無關同期無關，其，其OLS估計量也是有偏估計量也是有偏的，因為的，因為此時肯定出現異期相關。此時肯定出現異期相關。 這在上面這在上面2 2的證明中已得到的證明中已得到編輯ppt 模型中出現隨機解釋變量且與隨機誤差項相模型中出現隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，關時，OLS估計量是有偏的。估計量是有偏的。 如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關，則則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；計量； 但如果但如果是同期相關是同期相關，即使增大樣本容量也無，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的估

11、計方法是濟于事。這時，最常用的估計方法是工具變量法工具變量法（Instrument variables）。）。 四、工具變量法四、工具變量法編輯ppt 1 1、工具變量的選取、工具變量的選取工具變量工具變量：在模型估計過程中被作為工具使：在模型估計過程中被作為工具使 用，以替代模型中與隨機誤差項相用，以替代模型中與隨機誤差項相 關的隨機解釋變量。關的隨機解釋變量。選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：（1）與所替代的隨機解釋變量高度相關；）與所替代的隨機解釋變量高度相關；（2）與隨機誤差項不相關；）與隨機誤差項不相關；（3）與模型中其它解釋變量不相關，以避

12、免出）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出 現多重共線性?，F多重共線性。編輯ppt2 2、工具變量的應用、工具變量的應用 以一元回歸模型的離差形式為例說明如下：以一元回歸模型的離差形式為例說明如下： 用用OLS估計模型，相當于用估計模型，相當于用Xi去乘模型兩邊、對去乘模型兩邊、對i求求和、再略去和、再略去i 和和 Xi i項后得到項后得到正規(guī)方程正規(guī)方程： (4.4.9)解得解得 工具變量法是克服解釋變量與隨機干擾項相關影響工具變量法是克服解釋變量與隨機干擾項相關影響的一種參數估計方法，下面仍以一元回歸模型為例說明。的一種參數估計方法，下面仍以一元回歸模型為例說明。01iiiYX01201i

13、iiiiiYnXX YXX(4.4.10)1012,iiix yYXx編輯ppt 然而，如果然而，如果Xi與與 i相關，即使在大樣本下，也不相關，即使在大樣本下，也不存在存在 ( xi i)/n0 ，則，則在大樣本下也不成立，在大樣本下也不成立，OLS估計量估計量不具有一致性不具有一致性。21iiixyx 由于由于Cov(Xi, i)=E(Xi i)=0，意味著大樣本下，意味著大樣本下 ( xi i)/n0 表明表明大樣本下大樣本下21iiixyx成立，成立，即即OLS估計量估計量具有一致性。具有一致性。編輯ppt 如果選擇如果選擇Z為為X的的工具變量工具變量，那么在上述估計過，那么在上述估計

14、過程可改為程可改為:利用利用E(zi i)=0，在大樣本下可得到：，在大樣本下可得到： 這種求模型參數估計量的方法稱為這種求模型參數估計量的方法稱為工具變量法工具變量法(instrumental variable method)，相應的估計量稱為，相應的估計量稱為工具變量法估計量工具變量法估計量（instrumental variable (IV) estimator）。）。0101iiiiiiiYnXZ YZZ X(4.4.11)101,iiiiz yYXz x(4.4.12)編輯ppt 對于多元線性回歸模型，其對于多元線性回歸模型，其矩陣形式矩陣形式： Y=X + 采用工具變量法（假設采用

15、工具變量法（假設X2與隨機項相關，用工具變與隨機項相關，用工具變量量Z替代）得到的替代）得到的正規(guī)方程組正規(guī)方程組為：為： XZYZ參數估計量為：參數估計量為： YZXZ1)(knkknnXXXZZZXXX212111211111Z其中其中稱為稱為工具變量矩陣工具變量矩陣(4.4.13)編輯ppt3 3、工具變量法估計量是一致估計量、工具變量法估計量是一致估計量 一元回歸中，工具變量法估計量為一元回歸中，工具變量法估計量為10101()(0)()iiiii iiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiz yz YYzYz Yz xz xz xz xzYzz xzXzz Xzz xz

16、 x編輯ppt如果工具變量如果工具變量Z選取恰當，即有選取恰當，即有 兩邊取概率極限得：兩邊取概率極限得： iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiiiiXZxznP因此：因此： 11)lim(P010111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiizz Xzzz Xzz xz xz xz xz xzz xz XXz Xz xz xzz x編輯ppt 1 1、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。 【注意】【注意】0)()1()1(iiiiii

17、iizExzEzxzE2、工具變量并沒有替代模型中的解釋變量、工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是，只是 在在 估計過程中作為估計過程中作為“工具工具”被使用。被使用。 上述工具變量法估計過程可等價地分解成下面的兩上述工具變量法估計過程可等價地分解成下面的兩步步OLS回歸：回歸： 第一步第一步，用，用OLS法進行法進行X關于工具變量關于工具變量Z的回歸：的回歸： iiZX10(4.4.14)編輯pptiiXY10 容易驗證仍有容易驗證仍有: : iiiixzyz1 因此，因此，工具變量法仍是工具變量法仍是Y對對X的回歸，而不是對的回歸，而不是對Z的回歸。的回歸。 3、如果模型中有兩個以上的

18、隨機解釋變量與隨機、如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結果用的次序不影響估計結果。(4.4.15)編輯ppt 4、OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況?？梢钥醋鞴ぞ咦兞糠ǖ囊环N特殊情況。 5、如果、如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了息，就形成了廣義矩方法廣義矩方法（G

19、eneralized Method of Moments, GMM）。 在在GMM中，矩條件大于待估參數的數量，于中，矩條件大于待估參數的數量，于是如何求解成為它的核心問題。是如何求解成為它的核心問題。 工具變量法是工具變量法是GMM的一個特例。的一個特例。 6、要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋、要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋變量相關的工具變量并不是一件很容易的事變量相關的工具變量并不是一件很容易的事 可以用可以用Xt-1作為原解釋變量作為原解釋變量Xt的工具變量。的工具變量。 編輯ppt五、案例五、案例中國居民人均消費函數中國居民人均消費函數 例例4.4.1 在例在例2.5.1的的中國居民人均消費函數中國居民人均消費函數的估計的估計中，采用中，采用OLS估計了下面的模型：估計了下面的模型：GDPPCONSP10 由于：居民人均消費支出由于：居民人均消費支出（CONSP）與人均國與人均國內生產總值內生產總值（GDPP）相互影響，因此，相互影響，因此， 容易判斷容易判斷GDPP與與 同期同期相關（往往是正相