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1、 圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程一、 教學(xué)內(nèi)容解析圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程是人教版教材選修4-4里面的內(nèi)容,也是理科生必需掌握的重點(diǎn)知識(shí),它是學(xué)生在以前已學(xué)過(guò)曲線的極坐標(biāo)方程,以及在前面幾節(jié)學(xué)習(xí)了圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程以及第二定義的基礎(chǔ)上,從幾何學(xué)角度,運(yùn)用坐標(biāo)法進(jìn)一步研究圓錐曲線的極坐標(biāo)關(guān)系,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)結(jié)合思想,初步形成極坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力,并逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習(xí)慣和基本素質(zhì),為以后更深入學(xué)習(xí)圓錐曲線的知識(shí)打下基礎(chǔ)。本節(jié)課內(nèi)容共一個(gè)課時(shí)。教學(xué)過(guò)程中,讓學(xué)生利用已有的知識(shí),自主探索用極坐標(biāo)法坐標(biāo)法去研究圓錐曲線內(nèi)在實(shí)質(zhì)的方法,體驗(yàn)有關(guān)的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”以及合作學(xué)習(xí)的意識(shí)。一、
2、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置由于本節(jié)課在以前的學(xué)習(xí)過(guò)程已有所接觸,教師準(zhǔn)備“學(xué)案”先讓學(xué)生提前思考,歸納出直圓錐曲線的極坐標(biāo)方程以及對(duì)應(yīng)各個(gè)參數(shù)的意義。通過(guò)學(xué)生的推導(dǎo)、分析、概括,促使學(xué)生把解析幾何中用方程研究曲線的思想與曲線幾何性質(zhì)相結(jié)合,從而把傳授知識(shí)和培養(yǎng)能力融為一體,完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。二、 學(xué)生學(xué)情分析在經(jīng)歷極坐標(biāo)方程、圓錐曲線的第二定義學(xué)習(xí)后,學(xué)生已經(jīng)具備了一定的用方程研究幾何對(duì)象的能力,因此,我在教學(xué)中通過(guò)提供的豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境,創(chuàng)設(shè)便于觀察和思考的情境,給他們提供自主探究的空間,使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生在已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上,通過(guò)積極主動(dòng)的思維而將新知識(shí)內(nèi)化到自己的認(rèn)知
3、結(jié)構(gòu)中去同時(shí)為他們施展創(chuàng)造才華搭建一個(gè)合理的平臺(tái),使他們感知學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,通過(guò)不同形式的探究活動(dòng),讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程,從中領(lǐng)悟解決問(wèn)題的思想方法,不斷提高分析和解決問(wèn)題的能力,使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成一種愉快的探究活動(dòng),從中體驗(yàn)成功的喜悅,不斷增強(qiáng)探究知識(shí)的欲望和熱情,養(yǎng)成一種良好的思維品質(zhì)和習(xí)慣。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和我所教學(xué)生的實(shí)際,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為以下三個(gè)方面:知識(shí)與技能目標(biāo):(1)熟練掌握?qǐng)A錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)的推導(dǎo)過(guò)程。(2)掌握?qǐng)A錐曲線統(tǒng)一極坐標(biāo)方程中各個(gè)參數(shù)表示的幾何意義,比如對(duì)應(yīng)在圖形中的幾何意義。(3)重點(diǎn)掌握?qǐng)A
4、錐曲線極坐標(biāo)方程在解決一般問(wèn)題中所體現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)性,比如定值問(wèn)題、焦點(diǎn)弦等問(wèn)題,極坐標(biāo)方程為其提供了充分有利的平臺(tái)。過(guò)程與方法目標(biāo):(1)通過(guò)對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一極坐標(biāo)方程的探究活動(dòng),經(jīng)歷知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式。(2)強(qiáng)化學(xué)生用極坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和靈活解決問(wèn)題的能力。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo):通過(guò)對(duì)本節(jié)課的探究活動(dòng),加深學(xué)生對(duì)極坐標(biāo)法解決圓錐曲線問(wèn)題的認(rèn)識(shí),領(lǐng)悟極坐標(biāo)法對(duì)于解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)性,體驗(yàn)探索中成功的喜悅,激發(fā)學(xué)習(xí)熱情,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)精神。三、 教學(xué)策略分析本節(jié)課以問(wèn)題為載體,學(xué)生活動(dòng)為主
5、線,讓學(xué)生利用已有的知識(shí),自主探究,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的習(xí)慣。通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型、數(shù)形結(jié)合,提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì);通過(guò)對(duì)圓錐曲線統(tǒng)一極坐標(biāo)形式的探究,進(jìn)一步提高學(xué)生的思維能力和歸納能力。在教學(xué)方法的選擇上,主要采用教師組織引導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式,力求體現(xiàn)教師的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者的作用,通過(guò)引導(dǎo),讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)得出有很自然和直觀的結(jié)果認(rèn)識(shí)。四、 教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)引入1、極坐標(biāo)表示曲線時(shí),應(yīng)當(dāng)注意幾個(gè)要素?極坐標(biāo)的三個(gè)基本量是什么?2、回顧圓錐曲線的第二定義,想一想以前是如何將三種曲線的定義統(tǒng)一起來(lái)的。3、可否將極坐標(biāo)系填
6、充到圓錐曲線的方程之中。師:讓學(xué)生之間進(jìn)行回憶、討論、交流。生:自己畫圖、看圖,并說(shuō)出自己的看法。啟發(fā)學(xué)生由以往的指示獲取與本節(jié)課有關(guān)的知識(shí),提前做好準(zhǔn)備。概念形成問(wèn)題1 思考引例:既然極坐標(biāo)可以表示平面內(nèi)的任何一點(diǎn),那么對(duì)于圓錐曲線上的點(diǎn),可否用極坐標(biāo)=表示?師:引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形,分析問(wèn)題。生:觀察圖形,利用前面所復(fù)習(xí)知識(shí),引入新課。說(shuō)明極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)是相通的,引出今天所學(xué)知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題的必要性。概念深化 問(wèn)題2 既然圓錐曲線上的任意點(diǎn)可以用極坐標(biāo)表示,那么整個(gè)曲線可否用對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程表示呢?師:引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)與表示方法。生:回憶圓的極坐標(biāo)方程的表示以及對(duì)應(yīng)極點(diǎn)不同而
7、導(dǎo)致的方程表示不同。從“第二定義”和“方程”的角度,求圓錐曲線的極坐標(biāo)方程。應(yīng)用舉例如圖所示,截取圓錐曲線的一部分,由圓錐曲線的第二定義可知,曲線上的任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與M到定直線l的距離之比為常數(shù)。師:指導(dǎo)學(xué)生回憶圓錐曲線的第二定義,即統(tǒng)一定義。生:第二定義即是與離心率e有關(guān)的一個(gè)定義?;A(chǔ)知識(shí)的夯實(shí),對(duì)今天所學(xué)內(nèi)容可以得出很自然的推導(dǎo)。應(yīng)用舉例也即.將極坐標(biāo)嵌入圓錐曲線之中,我們以圓錐曲線中規(guī)定的頂點(diǎn)為極點(diǎn),以水平方向?yàn)闃O軸,建立極坐標(biāo)系,則圓錐曲線上的任意一點(diǎn)M可以用唯一的M (,)表示。以p表示定點(diǎn)F到定直線的距離l之間的距離,利用幾何關(guān)系,可知:|MA|=|BK|=p+*cos
8、故即:此方程成為圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程。公式推導(dǎo)只是截取了圓錐曲線的一部分,我們可以將整支曲線放入極坐標(biāo)系中,體會(huì)這里的定點(diǎn)與定直線對(duì)應(yīng)的意義。0<e<1,時(shí),表示橢圓;e>1時(shí)表示雙曲線;e=1時(shí)表示拋物線例1、經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)任意做兩條互相垂直的弦和,求證:為定值。師:注意這里的幾何關(guān)系,怎樣將其推導(dǎo)在極坐標(biāo)方程之中。生:圓錐曲線的第二定義與上極坐標(biāo)工具,公式的得出很自然。師:拋物線、橢圓、雙曲線之中,這里的定點(diǎn)F和定直線l分別表示那個(gè)對(duì)應(yīng)的幾何量。生:學(xué)生觀察圖形,給出直觀作答。師:未學(xué)極坐標(biāo)方程之前,這樣的題目我們是如何求解的?生:設(shè)點(diǎn),聯(lián)立方程求交點(diǎn),再證明。體會(huì)公
9、式推導(dǎo)的思想方法,關(guān)注量與量之間的關(guān)系。使學(xué)生以更深層次的角度對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)有直觀理解。溫習(xí)舊知識(shí),體現(xiàn)溫故知新。應(yīng)用舉例問(wèn)題3:F為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系,怎樣去處理這里的證明關(guān)系式?問(wèn)題4:回顧以前采用直角坐標(biāo)解決這道題的方法,是否可以提現(xiàn)出極坐標(biāo)在解決圓錐曲線問(wèn)題中的優(yōu)越性?問(wèn)題5:在極坐標(biāo)系中,選取的極點(diǎn)不同,是否對(duì)應(yīng)得出曲線的極坐標(biāo)方程形式也不同呢?師:引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題建立極坐標(biāo)系,并對(duì)所求的長(zhǎng)度關(guān)系應(yīng)用極坐標(biāo)表示。生:互相討論、交流。通過(guò)分析、抽象、歸納,得出求直線方程的一般思路。師:引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)算過(guò)程,體會(huì)各種方法的差異性。生:極坐標(biāo)方程簡(jiǎn)化了許多不必要的運(yùn)算過(guò)程,節(jié)省時(shí)間。師:學(xué)生自己猜
10、想,結(jié)論留給學(xué)生課余推導(dǎo)證明。生:方程形式應(yīng)該不同,因?yàn)闃O坐標(biāo)和直角坐標(biāo)類似,坐標(biāo)系不同,點(diǎn)和曲線的坐標(biāo)位置不同。提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用。進(jìn)一步開(kāi)解極坐標(biāo)方程對(duì)于運(yùn)算過(guò)程的優(yōu)越性。給予學(xué)生發(fā)揮的空間,充分尊重學(xué)生的想法和觀點(diǎn),鞏固所學(xué)過(guò)的知識(shí),進(jìn)一步理解和掌握極坐標(biāo)方程。歸納總結(jié)問(wèn)題6:請(qǐng)你梳理一下本節(jié)課的內(nèi)容,可以從知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面進(jìn)行?此外你從其他同學(xué)那里又學(xué)到的什么,以后的學(xué)習(xí)過(guò)程中有需要注意什么?師:引導(dǎo)學(xué)生從各個(gè)不同角度思考、分析問(wèn)題。生:互相討論、交流,學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容?;仡櫋⒎此?、總結(jié)形成知識(shí)體系。課外作業(yè)請(qǐng)同學(xué)們完成2012年重慶市高考題的
11、第14題。生:學(xué)生獨(dú)立完成。鞏固所學(xué)知識(shí)。五、 教學(xué)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)新課程強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià),因此,在對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果評(píng)價(jià)的同時(shí),更應(yīng)高度重視學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的參與度、自信心、合作意識(shí)、獨(dú)立思考的能力及學(xué)習(xí)的興趣等。根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn),我從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)評(píng)價(jià):通過(guò)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生找到要學(xué)的與以學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系;問(wèn)題串的設(shè)置可讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)中來(lái);在判斷方法的形成與應(yīng)用的探究中,師生的相互溝通調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)精神;知識(shí)的生成和問(wèn)題的解決,培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維;通過(guò)練習(xí)檢測(cè)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況;根據(jù)學(xué)生在課堂小結(jié)中的表現(xiàn)和課后作業(yè)情況,查缺補(bǔ)漏,以便
12、調(diào)控教學(xué)。圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程(學(xué)案)學(xué)習(xí)目標(biāo):(1)通過(guò)圓錐曲線極坐標(biāo)方程的推導(dǎo),進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)極坐標(biāo)法的思想方法。(2)掌握極坐標(biāo)法對(duì)于解決圓錐曲線問(wèn)題的常用步驟。(3)通過(guò)解決實(shí)例,進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想等的應(yīng)用,理解解析幾何的幾何本質(zhì)。一、復(fù)習(xí):1、平面的任意一點(diǎn)用極坐標(biāo)法如何表示?2、以前所學(xué)的知識(shí),是如何將三種圓錐曲線統(tǒng)一起來(lái)的?3、極坐標(biāo)和圓錐曲線特征量表示的幾何意義是什么?二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)問(wèn)題1:思考引入:用幾何法,將極坐標(biāo)方程嵌入圓錐曲線之中,并將對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程推導(dǎo)出來(lái)。問(wèn)題2:得出的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程各個(gè)參數(shù)表示的意義需弄清。問(wèn)題3:體會(huì)這一系列過(guò)程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。三
13、、結(jié)合以上的推導(dǎo)過(guò)程,解決下列數(shù)學(xué)問(wèn)題:例1、經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)𝐹1任意做兩條互相垂直的弦𝐴𝐵和𝐶𝐷,求證:為定值。解:法1:直角坐標(biāo)系解析法以橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),建:立如圖所示的坐標(biāo)系,則,, , 設(shè)所在直線:,則所在直線為:,并設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,聯(lián)立方程,利用距離公式。聯(lián)立化簡(jiǎn)即:利用韋達(dá)定理:則 故化簡(jiǎn)可得= ,同理則=法2 極坐標(biāo)法:以橢圓的焦點(diǎn)F1為極點(diǎn),建立極坐標(biāo)系:則此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為:又設(shè)A(), B(), C() ,D()則,,那么同理 ,則問(wèn)題4:通過(guò)以上兩種方法的對(duì)比,你是否已經(jīng)體驗(yàn)出極坐標(biāo)方程
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