第八章 空間濾波

1、第八章第八章 空間濾波空間濾波 空間濾波空間濾波的目的是通過有意識(shí)地改變像的目的是通過有意識(shí)地改變像 的頻譜，使像產(chǎn)生所希望的變換。的頻譜，使像產(chǎn)生所希望的變換。光學(xué)信息處理光學(xué)信息處理主要是用光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)對(duì)主要是用光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信息的各種變換或處理輸入信息的各種變換或處理。8.1 空間濾波的基本原理空間濾波的基本原理8.1.1 阿貝成像理論阿貝成像理論8.1.2 空間濾波的傅立葉分析空間濾波的傅立葉分析8.2 系統(tǒng)與濾波器系統(tǒng)與濾波器8.2.1 空間濾波系統(tǒng)空間濾波系統(tǒng)8.2.2 空間濾波器空間濾波器8.3 空間濾波應(yīng)用舉例空間濾波應(yīng)用舉例8.3.1 策尼克相稱顯微鏡策尼克相稱顯微鏡8.

2、3.2 補(bǔ)償濾波器補(bǔ)償濾波器8.4 傅立葉變換透鏡傅立葉變換透鏡8.4.1 傅立葉透鏡的截止頻率、空間帶寬積和視場(chǎng)傅立葉透鏡的截止頻率、空間帶寬積和視場(chǎng)8.4.2 傅立葉透鏡對(duì)校正象差的要求傅立葉透鏡對(duì)校正象差的要求8.4.3 傅立葉透鏡的結(jié)構(gòu)傅立葉透鏡的結(jié)構(gòu)歷史進(jìn)展歷史進(jìn)展18731873年年AbbeAbbe提出提出二次成像二次成像理論理論19061906年年AbbeAbbe和和PorterPorter進(jìn)行進(jìn)行實(shí)驗(yàn)論證實(shí)驗(yàn)論證，說(shuō)明了成像質(zhì)量與系，說(shuō)明了成像質(zhì)量與系統(tǒng)傳遞的空間頻譜之間的關(guān)系。統(tǒng)傳遞的空間頻譜之間的關(guān)系。19351935年策尼克年策尼克( (Zernike)Zernike)提

3、出的提出的相襯顯微鏡相襯顯微鏡是空間濾波技是空間濾波技術(shù)早期最成功的應(yīng)用。術(shù)早期最成功的應(yīng)用。19461946年杜費(fèi)年杜費(fèi)( (Duffieux)Duffieux)把光學(xué)成像系統(tǒng)看作把光學(xué)成像系統(tǒng)看作線性濾波器線性濾波器，成功地用傅里葉方法分析成像過程，發(fā)表了傅里葉變換成功地用傅里葉方法分析成像過程，發(fā)表了傅里葉變換及其在光學(xué)中的應(yīng)用及其在光學(xué)中的應(yīng)用5050年代，艾里亞斯（年代，艾里亞斯（Elias)Elias)及其同事發(fā)表及其同事發(fā)表光學(xué)和通信理光學(xué)和通信理論和光學(xué)處理的傅里葉方法，提供有力論和光學(xué)處理的傅里葉方法，提供有力數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具6060年代激光的出現(xiàn)和全息術(shù)的重大發(fā)展，光學(xué)信息

4、處理進(jìn)年代激光的出現(xiàn)和全息術(shù)的重大發(fā)展，光學(xué)信息處理進(jìn)入了入了蓬勃發(fā)展蓬勃發(fā)展的新時(shí)期的新時(shí)期4.1 空間濾波的基本原理空間濾波的基本原理8.1.1 阿貝阿貝(Abbe)成像理論成像理論首次引入頻譜的概念首次引入頻譜的概念-將物看成是不同空間頻將物看成是不同空間頻率信息的集合率信息的集合利用傅立葉變換闡述了顯微鏡成像的機(jī)理利用傅立葉變換闡述了顯微鏡成像的機(jī)理阿貝阿貝-波特實(shí)驗(yàn)波特實(shí)驗(yàn)8.1.2 空間濾波的傅立葉分析空間濾波的傅立葉分析最典型的相干濾波系統(tǒng)最典型的相干濾波系統(tǒng)-4-4f f系統(tǒng)系統(tǒng)透過率透過率(一維光柵）一維光柵）)1()1(1)1()1(Lxrectdxcombdaxrectx

5、t(8.1-1) P2P2平面上光場(chǎng)分布平面上光場(chǎng)分布其中其中 x2x2是頻譜面上的坐標(biāo)位置，是頻譜面上的坐標(biāo)位置，是同一平面空間頻率坐標(biāo)是同一平面空間頻率坐標(biāo)8.1.2)1()1(1)1()1(Lxrectdxcombdaxrectxt(8.1-1)頻譜面上放置不同濾波器，輸出面上像場(chǎng)的變化頻譜面上放置不同濾波器，輸出面上像場(chǎng)的變化（1）濾波器相當(dāng)寬度的窄縫濾波器相當(dāng)寬度的窄縫只允許只允許零級(jí)零級(jí)譜通過譜通過狹縫后透射光場(chǎng)分布：狹縫后透射光場(chǎng)分布：輸出平面光場(chǎng)分布：輸出平面光場(chǎng)分布：8.1.38.1.4T(x2/f)H(x2/ f)x1T(x2/f)x1t(x3)x1adg(x3)x1a/d

6、(2)狹縫允許狹縫允許零零級(jí)和級(jí)和正、負(fù)一級(jí)正、負(fù)一級(jí)頻譜通過頻譜通過透射頻譜：透射頻譜：輸出平面場(chǎng)分布：輸出平面場(chǎng)分布： t(x3)x1adx1dg(x3)T(x2/f)H(x2/ f)x1T(x2/f)x1（3）濾波面放置雙縫，只允許）濾波面放置雙縫，只允許正、負(fù)二級(jí)正、負(fù)二級(jí)譜通過譜通過透射頻譜透射頻譜輸出平面上的場(chǎng)分布輸出平面上的場(chǎng)分布（8.1.8）T(x2/f)H(x2/ f)x1t(x3)x1adT(x2/f)x1x1d/2g(x3)（4）頻譜面放置小圓屏）頻譜面放置小圓屏擋住零級(jí)擋住零級(jí)譜，其余可通過譜，其余可通過透射頻譜透射頻譜像面上的光場(chǎng)分布像面上的光場(chǎng)分布a=d/2g(x3

7、)x1g(x3)x1I(x3)x1t(x1)x1daT(x2/f)x1ad/2t(x1)dx1 ax1g(x3)x1g(x3)I(x3)x1T(x2/f)x1 a=d/2 ad/28.2 系統(tǒng)與濾波器系統(tǒng)與濾波器8.2.1 8.2.1 空間濾波系統(tǒng)空間濾波系統(tǒng)過程過程：空域空域頻域頻域空域空域 乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算 系統(tǒng)組成系統(tǒng)組成：光學(xué)透鏡，輸入、輸出和頻譜平：光學(xué)透鏡，輸入、輸出和頻譜平面面頻域上的乘法運(yùn)算頻域上的乘法運(yùn)算：通過在頻譜面上放置所需：通過在頻譜面上放置所需要的濾波器來(lái)完成要的濾波器來(lái)完成傅里葉變換的性質(zhì)蘊(yùn)含于光波的衍射中，借助傅里葉變換的性質(zhì)蘊(yùn)含于光波的衍射中，借助透鏡的作用可方

8、便地利用存在于衍射中的傅里透鏡的作用可方便地利用存在于衍射中的傅里葉變換性質(zhì)葉變換性質(zhì)1,三透鏡系統(tǒng)三透鏡系統(tǒng)典型的濾波系統(tǒng)典型的濾波系統(tǒng)(4f系統(tǒng)系統(tǒng))輸出平面光場(chǎng)的復(fù)振幅分布輸出平面光場(chǎng)的復(fù)振幅分布F F為為f f（x1,y1)x1,y1)在在P2P2平面上的物譜，濾波器振幅透過率平面上的物譜，濾波器振幅透過率t t正比于正比于H Hf(x3f(x3，y3):y3):是物是物f(x1f(x1，yl)yl)的幾何像的幾何像h h是是H H的逆傅里葉變換，稱為濾波器的脈沖響應(yīng)，的逆傅里葉變換，稱為濾波器的脈沖響應(yīng)，從頻域來(lái)看從頻域來(lái)看，系統(tǒng)改變了輸入信息的空間頻譜結(jié)構(gòu)，即為空間濾，系統(tǒng)改變了輸

9、入信息的空間頻譜結(jié)構(gòu)，即為空間濾波或頻域綜合的含義；波或頻域綜合的含義；從空域來(lái)看從空域來(lái)看，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了輸入信息與濾波，系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了輸入信息與濾波器脈沖響應(yīng)的卷積，完成了所期望的一種變換器脈沖響應(yīng)的卷積，完成了所期望的一種變換2,典型濾波系統(tǒng)二（雙透鏡系統(tǒng)）典型濾波系統(tǒng)二（雙透鏡系統(tǒng)）透鏡透鏡L1L1：準(zhǔn)直透鏡，準(zhǔn)直透鏡，透鏡透鏡L2L2：同時(shí)起傅里葉變換和成像作用，同時(shí)起傅里葉變換和成像作用，頻譜面頻譜面在在L2L2的后焦面上，的后焦面上，輸出平面輸出平面P3P3位于位于PlPl的共扼像面處的共扼像面處特點(diǎn)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但P2P2面上的物頻譜不是準(zhǔn)確的傅立葉變換面上的物頻譜不是準(zhǔn)

10、確的傅立葉變換3,典型濾波系統(tǒng)三（雙透鏡系統(tǒng)）典型濾波系統(tǒng)三（雙透鏡系統(tǒng)）L1L1：既是照明透鏡又是傅里葉變換透鏡照明光源既是照明透鏡又是傅里葉變換透鏡照明光源s s與與頻譜面是物象共額面，頻譜面是物象共額面，L2L2：起第二次傅里葉變換和成像作用起第二次傅里葉變換和成像作用特點(diǎn)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可移動(dòng)物面：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可移動(dòng)物面P1P1的位置，可改變輸入的位置，可改變輸入頻譜的比例大小，但頻譜的比例大小，但P2P2面上的物頻譜不是準(zhǔn)確的傅立面上的物頻譜不是準(zhǔn)確的傅立葉變換葉變換4,典型濾波系統(tǒng)四（單透鏡系統(tǒng)）典型濾波系統(tǒng)四（單透鏡系統(tǒng)）L L具有成像和變換雙重功能，具有成像和變換雙重功能，照明光

11、源與頻譜面共扼，物面和像面形成另一對(duì)共扼照明光源與頻譜面共扼，物面和像面形成另一對(duì)共扼面面特點(diǎn)特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可移動(dòng)物面結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，可移動(dòng)物面P1P1的位置，可改變輸入頻譜的比例的位置，可改變輸入頻譜的比例大小，但大小，但P2P2面上的物頻譜不是準(zhǔn)確的傅立葉變換面上的物頻譜不是準(zhǔn)確的傅立葉變換8.2.2 空間濾波系統(tǒng)空間濾波系統(tǒng)在光學(xué)信息處理系統(tǒng)中，空間濾波器是位于空間頻率在光學(xué)信息處理系統(tǒng)中，空間濾波器是位于空間頻率平面上的一種模片，它改變輸入信息的空間頻譜，從平面上的一種模片，它改變輸入信息的空間頻譜，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信息的某種變換空間濾波器的透過率而實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信息的某種變換空間濾波器的透過率

12、函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)：函數(shù)一般是復(fù)函數(shù)： 根據(jù)透過率函數(shù)的性質(zhì)，空間濾波器可以分為以根據(jù)透過率函數(shù)的性質(zhì)，空間濾波器可以分為以下幾種：下幾種： 1 1，二元振幅濾波器，二元振幅濾波器 2 2，振幅濾波器，振幅濾波器 3 3，相位濾波器，相位濾波器 4 4，復(fù)數(shù)濾波器，復(fù)數(shù)濾波器 （8.2.2） 1，二元振幅濾波器，二元振幅濾波器這種濾波器的復(fù)振幅透過率是這種濾波器的復(fù)振幅透過率是o o或或1 1由二元濾波所作由二元濾波所作用的頻率區(qū)間又可細(xì)分為：用的頻率區(qū)間又可細(xì)分為：（1 1）低通濾波器低通濾波器：只允許位于頻譜面中心及其附近的：只允許位于頻譜面中心及其附近的低頻分量通過，可以用來(lái)濾掉高頻噪音低

13、頻分量通過，可以用來(lái)濾掉高頻噪音（2 2）高通濾波器高通濾波器：阻擋低頻分量而允許高頻通過，可：阻擋低頻分量而允許高頻通過，可以實(shí)現(xiàn)圖像的襯度反轉(zhuǎn)或邊緣增強(qiáng)以實(shí)現(xiàn)圖像的襯度反轉(zhuǎn)或邊緣增強(qiáng)（3 3）帶通濾波器帶通濾波器：只允許特定區(qū)間的空間頻譜通過，：只允許特定區(qū)間的空間頻譜通過，可以去除隨機(jī)噪音可以去除隨機(jī)噪音（4 4）方向?yàn)V波器方向?yàn)V波器：阻擋：阻擋( (或允許或允許) )特定方向上的頻譜分特定方向上的頻譜分量通過，可以突出某些方向性特征量通過，可以突出某些方向性特征2 2，振幅濾波器，振幅濾波器 原理：原理：僅改變相對(duì)振幅分布，不改變相位分布僅改變相對(duì)振幅分布，不改變相位分布 特點(diǎn)：特點(diǎn)：

14、使感光膠片上的透過率變化正比于使感光膠片上的透過率變化正比于A(,),A(,),使透過使透過光場(chǎng)振幅改變光場(chǎng)振幅改變 制作制作：必須按一定的函數(shù)分布來(lái)控制底片的曝光量分布必須按一定的函數(shù)分布來(lái)控制底片的曝光量分布 3 3相位濾波器相位濾波器原理原理：改變空間頻譜的相位，不改變它的振幅分布改變空間頻譜的相位，不改變它的振幅分布特點(diǎn)：特點(diǎn)：不衰減入射光場(chǎng)的能量，具有很高的光學(xué)效率不衰減入射光場(chǎng)的能量，具有很高的光學(xué)效率制作制作：通常用真空鍍膜的方法得到，但由于工藝方法的限制，通常用真空鍍膜的方法得到，但由于工藝方法的限制，要得到復(fù)雜的相位變化很困難要得到復(fù)雜的相位變化很困難 4 4復(fù)數(shù)濾波器復(fù)數(shù)濾

15、波器原理：原理： 對(duì)振幅和相位都同時(shí)起調(diào)制作用對(duì)振幅和相位都同時(shí)起調(diào)制作用特點(diǎn)：特點(diǎn)：濾波函數(shù)是復(fù)函數(shù)濾波函數(shù)是復(fù)函數(shù)制作：制作： 應(yīng)用很廣泛，但難于制造應(yīng)用很廣泛，但難于制造 196 1963 3年范德拉格特用全息方法綜合出復(fù)數(shù)空間濾波器，年范德拉格特用全息方法綜合出復(fù)數(shù)空間濾波器， 19651965年羅曼和布勞思用計(jì)算全息技術(shù)制作成復(fù)數(shù)濾波器，年羅曼和布勞思用計(jì)算全息技術(shù)制作成復(fù)數(shù)濾波器，從而克服了制作空間濾波器的重大障礙。從而克服了制作空間濾波器的重大障礙。低通濾波器帶通濾波器正交光柵上污點(diǎn)的清除：設(shè)正交光柵的透過率為t0(x0,y0),其上的污點(diǎn)設(shè)為g(x0, y0)邊框?yàn)?x0,y0

16、)輸入面光振幅為則頻譜面方向?yàn)V波器1，印刷電路中掩模疵點(diǎn)的檢查2，組合照片中接縫的去除3，地震強(qiáng)信號(hào)的提取8.3 空間濾波的應(yīng)用舉例策尼克相襯顯微鏡補(bǔ)償濾波器8.3.1策尼克相襯顯微鏡一般情況下，用顯微鏡只能觀察物體亮暗的變化，不能辨別物體相位的變化最初，相位物體(如細(xì)菌標(biāo)本)的觀察必須采用染色法，但染色的同時(shí)會(huì)殺死細(xì)菌，改變標(biāo)本的原始結(jié)構(gòu)，從而不能在顯微鏡下如實(shí)研究標(biāo)本的生命過程1935年策尼克提出的相襯顯微鏡，利用相位濾波器將物體的相位變化轉(zhuǎn)換成可以觀察到的光的強(qiáng)弱變化這種轉(zhuǎn)換通常又稱為幅相變換相襯顯微鏡的原理P1平面，物體復(fù)振幅透過率為假定相移1弧度，則可忽略2及更高階的項(xiàng)，于是復(fù)振幅透

17、射率可以近似寫成8.3.18.3.2物光波物光波： 強(qiáng)的直接透射光 弱衍射光 相位起伏造成一個(gè)普通的顯微鏡對(duì)上述物體所成的像，其強(qiáng)度強(qiáng)度可寫成衍射光觀察不到的原因：它與很強(qiáng)的本底之間相差900。所以 改變相位正交關(guān)系光疊加時(shí)產(chǎn)生干涉產(chǎn)生可觀察的像強(qiáng)度變化。直接透射光在譜面上將會(huì)聚成軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，而衍射光由于包含較高的空間頻率而在譜面上較為分散由于這兩部分信息在空間頻域通道上的分離，因此可在譜面放置相位濾波器，使零頻的相位相對(duì)于其它頻率的相位改變2濾波函數(shù)濾波函數(shù)濾波后的頻譜像面復(fù)振幅分布強(qiáng)度分布 取+ I 正相襯 取- I 負(fù)相襯 由于直接透射光相對(duì)于衍射光太強(qiáng)，像的對(duì)比度很低如果使零級(jí)衍射

18、光產(chǎn)生相移的同時(shí)，受到部分衰減，可以提高像襯度，更有利于觀察。 這種方法還可以用于觀察金相表面、拋光表面以及透明材料不均勻性檢測(cè)等。 相襯顯微鏡是空間濾波技術(shù)早期最成功的應(yīng)用。8.3.38.3.48.3.58.3.2 補(bǔ)償濾波器 50年代初期，麥爾查認(rèn)為，照片中的缺陷，是由于成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)中存在相應(yīng)缺陷引起的。 頻譜平面上放置適當(dāng)?shù)臑V波器，使得濾波器的傳遞函數(shù)補(bǔ)償原來(lái)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的缺陷，則兩者的乘積產(chǎn)生一個(gè)較為滿意的頻率響應(yīng)，于是照片的質(zhì)量將得到部分改善 假定成像缺陷是由于成像系統(tǒng)嚴(yán)重離焦引起的，則在幾何光學(xué)近似下離焦系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)是一個(gè)均勻的圓形光斑，即點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為a: 圓形光斑半徑

19、，1/a2 :歸一化因子.8.3.68.3.68.3.7 上式可見：傳遞函數(shù)的高頻損失嚴(yán)重，而且在某一中間頻率區(qū)域，傳遞函數(shù)的符號(hào)發(fā)生反轉(zhuǎn) 麥爾查等人采用圖8.3.1(a)所示的組合濾波器，放在4f系統(tǒng)的頻譜面上補(bǔ)償這個(gè)帶缺陷的傳遞函數(shù) 吸收板用來(lái)衰減很強(qiáng)的低頻峰值，以便提高像的對(duì)比，突出細(xì)節(jié) 相移板使H的第一個(gè)負(fù)瓣相移，以糾正對(duì)比反轉(zhuǎn) 圖8.3.1(b)表示原來(lái)的以及補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)，輸出圖像的像質(zhì)因而獲得改善8.3.1(b)8.3.1(a)8.4 傅立葉變換透鏡傅立葉變換透鏡傅里葉變換透鏡(簡(jiǎn)稱傅里葉透鏡)：在光學(xué)圖像處理系統(tǒng)中，用于頻譜分析的透鏡它是光學(xué)信息處理系統(tǒng)中最常用的基本部件8.

20、4.1 傅立葉透鏡的截止頻率、空間帶寬積和視場(chǎng)8.4.2 傅立葉透鏡對(duì)校正像差的要求8.4.3傅立葉透鏡的結(jié)構(gòu)8.4.1 傅立葉透鏡的截止頻率、空間帶寬積和視場(chǎng) 1截止頻率 根據(jù)透鏡前后兩個(gè)焦面互為傅里葉變換關(guān)系的理論，為了獲得嚴(yán)格的傅里葉變換，多把被處理面(輸入面)置于透鏡的前焦面，而頻譜面(濾波面)置于相應(yīng)的后焦面，如圖假設(shè)物函數(shù)被一個(gè)直徑為D1=2h的孔徑限制，傅里葉透鏡的直徑為D，并且設(shè)DD1現(xiàn)在我們來(lái)研究傅里葉透鏡后焦面上頻譜的強(qiáng)度分布漸暈:傅里葉透鏡的有限孔徑對(duì)于物面空間頻率成分傳播的限制（1）僅當(dāng)某一方向上的平面波分量不受攔阻地通過傅里葉透鏡時(shí)，在透鏡的后焦面上相應(yīng)會(huì)聚點(diǎn)測(cè)得的強(qiáng)

21、度才準(zhǔn)確代表物相應(yīng)空間頻率的模的平方在小角度情況下(即D1,Df)，滿足這一要求的平面波分量的傳播方向角u最大為8.4.1因透鏡是圓形孔徑，在圓周方向上都有相應(yīng)的最大空間頻率（截止頻率）：可見：所測(cè)得的強(qiáng)度準(zhǔn)確代表了物的傅里葉譜的模的平方的最大空間頻率表達(dá)式，即截止頻率表達(dá)式8.4.2（2） 當(dāng)其一方向傳播的平面波分量完全被透鏡孔徑攔阻時(shí)，在后焦面上沒有該頻率成分，測(cè)得的頻譜強(qiáng)度為零當(dāng)傳播方向傾角超過v時(shí)，該平面波分量正是這種情況在小角度情況下，有空間頻率：8.4.38.4.4 結(jié)論：結(jié)論：(D-D1)2f時(shí)，透鏡后焦面上可以得到相應(yīng)的空間頻率成分的物體準(zhǔn)確的傅立葉譜；(D-D1)2f (D+

22、D1)2f時(shí)，透鏡后焦面上得到的并非準(zhǔn)確的傅里葉譜，各空間頻率成分受到透鏡孔徑程度不同的阻擋；(D+D1)2f時(shí)，透鏡后焦面上完全得不到物的傅立葉譜中的這些高頻成分，這是漸暈效應(yīng)對(duì)物的頻譜傳播的影響從公式可以看出，當(dāng)傅里葉透鏡的孔徑增大時(shí)，可以減小這效應(yīng)的影響 2傅里葉透鏡的信息容量空間帶寬積信息容量可由系統(tǒng)的頻帶寬度與單頻線寬之比來(lái)估算，即 單頻線寬：指由于各種原因(主動(dòng)的或被動(dòng)的)系統(tǒng)記錄或傳翰的總不可能是理想的單頻信息，而是有一定線寬的準(zhǔn)單頻信息 如有限長(zhǎng)波列的準(zhǔn)單色光、有限尺寸的正弦光柵等對(duì)傅里葉透鏡來(lái)說(shuō)，它處理的是光學(xué)圖像這類空間信息。 8.4.5從圖上看出止頻率的表達(dá)式為(DD1)

23、2f則通帶寬度另一方面，有限尺寸的正弦信息有一定的衍射發(fā)散角傅立葉變換透鏡信息容量8.4.68.4.93.視場(chǎng)8.4.118.4.128.4.2 傅立葉透鏡對(duì)校正像差的要求1，正弦條件普通成像物鏡都是對(duì)一對(duì)共軛面校正像差，經(jīng)過嚴(yán)格校正像差的透鏡可近似看作理想光學(xué)系統(tǒng)。比如一個(gè)透鏡對(duì)無(wú)限遠(yuǎn)物面校正了球差、彗差、像散、場(chǎng)曲和畸變等所有單色像差，那么在后焦面上一定形成無(wú)窮遠(yuǎn)物體的一個(gè)理想像如圖，以方向余弦cos=0，cos=sinu傳播的平行光通過透鏡，則在透鏡后焦面上理想物高為：1，非近軸區(qū)：像高與空間頻率 非線性2，近軸區(qū)：cosuh=f像高與空間頻率 非線性按夫瑯禾費(fèi)衍射理論和空間頻率的概念，得得后焦面上譜點(diǎn)位置：可見：在近軸區(qū)理想成像位置和譜點(diǎn)位置是重合的盡管透鏡具有理想成像性質(zhì)，但要給出準(zhǔn)確傅里葉譜必須在近軸區(qū)，即低頻范圍內(nèi)當(dāng)超出近軸區(qū)時(shí)，空間頻率與理想像高之間便失去了線性關(guān)系，傅里葉變換透鏡的實(shí)際像高，不等于理想像高，存在