應用隨機過程課程設計-綜述

1、Harbin Institute of Technology課程設計（論文）課程名稱： 應用隨機過程 設計題目： 通信系統(tǒng)中的隨機過程 院 系： 電子與信息技術研究院 班 級： 通信工程一班 設 計 者： 學 號： 指導教師： 田波平 設計時間： 2009-12-20 哈爾濱工業(yè)大學摘要通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號不可能是單一的確定的，而是具有不確定性和隨機性的。這種具有不確定性，隨機性的信號即稱為隨機信號。同時通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更具有隨機性，是不可預測的。我們稱其為隨機干擾，或者隨機噪聲。盡管隨機信號和隨機噪聲都是不可預測的，隨機的，但是它們具有一定的統(tǒng)計規(guī)律

2、性。研究隨機信號和隨機噪聲統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學工具是隨機過程理論，隨機過程是隨機信號和隨機噪聲的數(shù)學模型。隨機過程是與時間相關的隨機變量，在確定的時刻它是隨機變量。隨機過程的具體取值稱作其實現(xiàn)（樣函數(shù)），是時間函數(shù)，所有實現(xiàn)構成的集合稱作隨機過程的樣本函數(shù)空間，所有樣本函數(shù)空間及其統(tǒng)計特性即構成了隨機過程。我們可以對通過研究隨機過程的統(tǒng)計特性的探究，來研究隨機過程通過線性系統(tǒng)的分析。關鍵字： 隨機過程、通信系統(tǒng)、線性系統(tǒng)1.通信中研究隨機過程的重要性通信就是互通信息。從這個意義上說，通信在遠古時代就已經(jīng)存在。人之間的對話是通信，用手勢表達情緒也可以算通信。以后用烽火傳遞戰(zhàn)事情報是通信，快馬與驛站傳

3、送文件也是通信。但是現(xiàn)在的通信一般指的是電信，國際上稱為遠程通信(telecommunication)，即通過電信號或者光信號傳送信息。圖1是通信系統(tǒng)模型。從信息論的角度來說，通信的過程就是不確定度減小的過程。而不確定性就是過程的隨機性，所以從這個角度來說通信過程的研究可以歸結到對于隨機過程特性的研究過程。圖1 通信系統(tǒng)模型從圖中可以看到，通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號不可能是單一的確定的，而是具有不確定性和隨機性的。這種具有不確定性，隨機性的信號即稱為隨機信號。同時通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更具有隨機性，是不可預測的。我們稱其為隨機干擾，或者隨機噪聲。盡管隨機信號和隨機

4、噪聲都是不可預測的，隨機的，但是它們具有一定的統(tǒng)計規(guī)律性。研究隨機信號和隨機噪聲統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學工具是隨機過程理論，隨機過程是隨機信號和隨機噪聲的數(shù)學模型。隨機過程整個學科的理論基礎，最早是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學科最早源于對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統(tǒng)計力學的研究，及后來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創(chuàng)性工作。1907年前后，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運動的數(shù)學定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機過程一般理論的研究通常認為開始于20世紀30年代。1931年，柯爾莫哥洛夫發(fā)表了概率論的

5、解析方法，1934年A·辛飲發(fā)表了平穩(wěn)過程的相關理論，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩(wěn)過程的理論基礎。1953年，杜布出版了名著隨機過程論，系統(tǒng)且嚴格地敘述了隨機過程基本理論。隨機過程的概念很廣泛，因而隨機過程的研究幾乎包括概率論的全部。雖然不能給出一個有用而又狹窄的定義，但是概率論工作者在使用隨機過程這個術語時，通常想到的是其隨機變量具有某種有意義的相互關系的隨機過程，例如，獨立性就是這樣一種關系。在提出隨機過程這個術語之前，獨立變量序列就是研究了很長時間的一類隨機過程。由于歷史上的原因，一般不把這樣的序列看做是隨機過程。2.編碼過程中隨機過程理論的重要作用在通信系統(tǒng)中，編碼過程

6、分為信源編碼和信道編碼兩種，信源編碼是為了壓縮信息之間的相關性，最大限度提高傳信率，目的在于提高通信效率；而信道編碼則相反，通過引入相關性，使信息具有一定的糾錯和檢錯的能力從而提高傳輸信息的可靠性。對于信源編碼，實現(xiàn)降低相關性有兩種途徑，一種是信源概率分布均勻化，另一種是信源獨立化。從概率論和隨機過程的角度來說，概率分布均勻化就是每個事件發(fā)生的概率大致相同，這樣就會使每個信源攜帶的信息量基本相同，那么不確定性就達到最大，即傳輸過程中產(chǎn)生的信息量就最大；類似的信源獨立化是通過對信源進行擴展達到的，通過信源的高次擴展，是擴展信源中每個符號出現(xiàn)的概率大致相同，這樣也實現(xiàn)信息量最大化。對于信道編碼，由

7、于信道中存在隨機噪聲，或者隨機干擾，使得經(jīng)過信道傳輸后所接收到的碼元與發(fā)送碼元之間存在差異，這種差異就是傳輸產(chǎn)生的差錯。一般，信道噪聲，干擾越大，碼元產(chǎn)生差錯的概率也就越大。所以信道編碼的任務就是構造出以最小冗余度代價換取最大抗干擾性能的碼字組合。從信道編碼的構造方法看，其基本思路是根據(jù)一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中加入一些人為多余的碼字。這些碼字的引入時信息之間具有相關性，雖然降低了信息所能攜帶的信息量，但是通過相關性可以克服由于隨機噪聲引入的誤碼情況。3.線性系統(tǒng)中的隨機過程通信的目的在于傳輸信號，信號和系統(tǒng)總是聯(lián)系在一起的。通信系統(tǒng)中的信號或噪聲一般都是隨機的，因此在以后的討論中我們必然會

8、遇到這樣的問題：隨機過程通過系統(tǒng)（或網(wǎng)絡）后，輸出過程將是什么樣的過程？這里，我們只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。 隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應vo(t)等于輸入信號vi(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)的卷積，即 式（1）若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則 式（2）如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程i(t)的每個樣本與輸出過程o(t)的相應樣本之間都滿足式（1）的關系。這樣，就整個過程而言，便有 式（3）假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機過程， 現(xiàn)在

9、來分析系統(tǒng)的輸出過程o(t)的統(tǒng)計特性。我們先確定輸出過程的數(shù)學期望、自相關函數(shù)及功率譜密度，然后討論輸出過程的概率分布問題。 1） 輸出過程o(t)的數(shù)學期望對式（3）兩邊取統(tǒng)計平均，有 式（4）化簡得：Eo(t)=a·H(0) 由此可見, 輸出過程的數(shù)學期望等于輸入過程的數(shù)學期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且Eo(t)與t無關2） 輸出過程o(t)的自相關函數(shù) 式（5） 式（6）根據(jù)平穩(wěn)性：Ei(t1-)i(t1+-)=Ri(+-)可有：Ro(t1, t1+)= h()h()Ri(+-) dd=Ro可見, o(t)的自相關函數(shù)只依賴時間間隔而與時間起點t1無關。由以上輸出過程的數(shù)學期望和自相關函數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。所以平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)之后仍是平穩(wěn)隨機過程，這在通信系統(tǒng)分析中非常重要，例如高斯白噪聲通過線性系統(tǒng)后仍舊是高斯噪聲。類似的例子