排列組合講解方法匯總

1、1. 排列的定義從 n 個(gè)不同元素中，任取 m 個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取岀 m 個(gè)元素的一個(gè)排列 .2. 組合的定義 :從 n 個(gè)不同元素中，任取 m 個(gè)元素，并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取岀m 個(gè)元素的一個(gè)組合.3. 排列數(shù)公式 :4. 組合數(shù)公式 :排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系 : 與順序有關(guān)的為排列問(wèn)題 , 與順序無(wú)關(guān)的為組合問(wèn)題 .分隔排列 - 插空法相鄰排列 - 捆綁法互斥分類 - 分類法先后有序 - 位置法反面明了 - 排除法方法 1 插空法 :對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題 , 可以用插入法 .即先排好沒(méi)有限制條 件的元素 , 然后將

2、有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可。例 1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票 12 張。 8 個(gè)學(xué)生， 4 個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間， 且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？分析 此題涉及到的是不相鄰問(wèn)題 , 并且是對(duì)老師有特殊的要求 , 因此老師是特殊元素 , 在解決時(shí)就要特 殊對(duì)待 . 所涉及問(wèn)題是排列問(wèn)題 .8解：先排學(xué)生共有A種排法，然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有 7 個(gè)空檔可插，選其中的 4 個(gè)空檔，共有A74種選法 . 根據(jù)乘法原理 , 共有的不同坐法為A74A88種.方法 2 捆綁法：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相

3、鄰的元素合并為一個(gè)元素 , 再與其它元素一起作排列 , 同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列 .例 2 5 個(gè)男生 3 個(gè)女生排成一排 ,3 個(gè)女生要排在一起 , 有多少種不同的排法 ?分析 此題涉及到的是排隊(duì)問(wèn)題 , 對(duì)于女生有特殊的限制 ,因此, 女生是特殊元素 ,并且要求她們要相鄰 , 因此可以將她們看成是一個(gè)元素來(lái)解決問(wèn)題 .解：因?yàn)榕旁谝黄?，所以可以?3 個(gè)女生看成是一個(gè)人，與 5 個(gè)男生作全排列，有A66種排法，其363中女生內(nèi)部也有A種排法，根據(jù)乘法原理，共有A A種不同的排法.方法 3 轉(zhuǎn)化法（插拔法）：對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問(wèn)題，可以利用轉(zhuǎn)化思想，將其化歸

4、為簡(jiǎn)單的、具體的問(wèn)題來(lái)求解例 3在高二年級(jí)中的 8 個(gè)班,組織一個(gè) 12 個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì)，每班要求至少 1 人，名額分配方案有多少種？分析 此題若直接去考慮的話，就會(huì)比較復(fù)雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問(wèn)題，就會(huì)顯得比較清楚,方法簡(jiǎn)單，結(jié)果容易理解.解：此題可以轉(zhuǎn)化為：將 12 個(gè)相同的白球分成 8 份，有多少種不同的分法問(wèn)題，因此須把這 12 個(gè)白球排成一排，在 11 個(gè)空檔中放上 7 個(gè)相同的黑球，每個(gè)空檔最多放一個(gè)，即可將白球分成 8 份,顯然有C117種不同的放法，所以名額分配方案有C117種.方法 4 剩余法：在組合問(wèn)題中，有多少取法，就有多少種剩法，他們是一一對(duì)應(yīng)的，因此，

5、當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法.例 4 袋中有不同的 5 分硬幣 23 個(gè)，不同的 1 角硬幣 10 個(gè)，如果從袋中取岀 2 元錢，有多少種取法？分析：此題是一個(gè)組合問(wèn)題，若是直接考慮取錢的問(wèn)題的話，情況比較多，也顯得比較凌亂，難以理岀頭緒來(lái).但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問(wèn)題的話，就會(huì)很容易解決問(wèn)題.解：把所有的硬幣全部取岀來(lái)，將得到x23+X10=元，所以比 2 元多元，所以剩下元即剩下3 個(gè) 5 分或 1個(gè) 5 分與 1 個(gè) 1 角，所以共有C233C231C101種取法.方法 5 對(duì)等法：在有些題目中，它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的，各占全體的二分之一.在求解中只要求岀全體,就可以得

6、到所求.例 5期中安排考試科目 9 門,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序？分析：對(duì)于任何一個(gè)排列問(wèn)題，就其中的兩個(gè)元素來(lái)講的話，他們的排列順序只有兩種情況，并且在整個(gè)排列中，他們岀現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，因此要求其中的某一種情況，能夠得到全體,那么問(wèn)題就可以解決了.并且也避免了問(wèn)題的復(fù)雜性.9解：不加任何限制條件，整個(gè)排法有A9種，“語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考”，與“數(shù)學(xué)安排在語(yǔ)文之前考”的排法是相等的，所以語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 方法 6 排O除法 :有些問(wèn)題 ,正面直接考慮比較復(fù)雜 , 而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷 ,可以先求出它的反面 ,再 從整體中排除 .例 6 某班里有 43 位同學(xué) ,從中任抽 5 人, 正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種 分析：此題若是直接去考慮的話 , 就要將問(wèn)題分成好幾種情況 , 這樣解題的話 , 容易造成各種情況遺漏或 者重復(fù)的情況 .而如果從此問(wèn)題相反的方面去考慮的話 ,不但容易理解 , 而且在計(jì)算中