數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分[1]詳解

1、第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1數(shù)值積分的根本概念實(shí)際問題當(dāng)中常常需要計(jì)算定積分。在微積分中，我們熟知，牛頓一萊布尼茲公式是計(jì)算定積分的一種有效工具，在理論和實(shí)際計(jì)算上有很大作用。對(duì)定積分bf (x)dx，假設(shè)f (x)在區(qū)間aa,b上連續(xù)，且f (x)的原函數(shù)為F(x)，那么可計(jì)算定積分ba f(x)dx F(b) F(a)似乎問題已經(jīng)解決，其實(shí)不然。如1) f (x)是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出數(shù)據(jù)表時(shí)，Newton-Leibnitz公式無法應(yīng)用。2)許多形式上很簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如、.3 sin x .221f (x). 1 x ,sin x ,cos x , exIn xX2等等，它們的原函數(shù)不能用初

2、等函數(shù)的有限形式表示。3)即使有些被積函數(shù)的原函數(shù)能通過初等函數(shù)的有限形式表示，但應(yīng)用牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算，仍涉及大量的數(shù)值計(jì)算，還不如應(yīng)用數(shù)值積分的方法來得方便，既節(jié)省工作量，又滿足精度的要求。例如以下積分-rdx-ln密1arc tg(V2x1) arc tg(V2x1) C1 x4.2 x2 2x12、2對(duì)于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計(jì)算方法一一數(shù)值積分法。1.1數(shù)值求積分的根本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應(yīng)該防止用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。由積分中值定理：對(duì)f (x) Ca,b，存在a,b，有bf (x)dx (b a) f ()說明，定積分所表示的曲邊梯形的面積

3、等于底為b a而高為f()的矩形面積(圖4-1)。問題在于點(diǎn) 的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出 f ()。我們將f()稱為區(qū)間a,b上的平均高度。這樣，只要對(duì)平均高度f(wàn) ()提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積分方法。如果我們用兩端的算術(shù)平均作為平均高度f(wàn)()的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式b aTf(a) f(b)2(4-1)便是我們所熟悉的 梯形公式(圖4-2)。而如果改用區(qū)間中點(diǎn)c節(jié)的“高度近似地取代平均高度f(wàn) ()，那么可導(dǎo)出所謂 中矩形公式(簡(jiǎn)稱矩形公式)(4-2)R (b a)f更一般地，我們可以在區(qū)間a,b上適中選取某些節(jié)點(diǎn) Xk，然后用f(xj加權(quán)平均得到平均高度f(wàn)()

4、的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式具有以下形式:圖4-1圖4-2式中xk稱為求積節(jié)點(diǎn)；f (x)dxAk f (Xk)k 0(4-3)Ak成為求積系數(shù)，亦稱伴隨節(jié)點(diǎn)xk的權(quán)。權(quán) 九僅僅與節(jié)點(diǎn)xk的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)f (x)的具體形式。這類由積分區(qū)間上的某些點(diǎn)上處的函數(shù)值的線性組合作為定積分的近似值的求積公式通常稱為機(jī)械求積公式，它防止了 Newton-Leibnitz公式尋求原函數(shù)的困難。對(duì)于求積公式(4-3)，關(guān)鍵在于確定節(jié)點(diǎn)xk和相應(yīng)的系數(shù) A 。1.2代數(shù)精度的概念由Weierstrass定理可知，對(duì)閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多項(xiàng)式一致逼近。一般說來，多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近程

5、度越好。這樣，如果求積公式對(duì)m階多項(xiàng)式精確成立，那么求積公式的誤差僅來源于m階多項(xiàng)式對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近誤差。因此自然有如下的定義定義4.1如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式均準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于 m 1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，那么稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。例1判斷求積公式11f (x)dx25f ( 一06) 8f (0)95f(麗的代數(shù)精度。解記I(f)11 f (x)dx,%f)丄5 f ( . 06)98f(0)5f( 麗因?yàn)镮(1)1dx12, l%1)- (598 5)2I(x)1xdx=0，1l%x)丄5 0.6 890 5(、0.6) 02 1I(x2)1313I(x )1x

6、I(x4)12 2 2 1 2 x2dx=, %x2)(5 0.6 8 0 5 0.6)393dx=0, I%x3)丄5 (.麗)39x4dx=?, l%x4)i(5 0.36159(、06)30.36)-5l(x5)l(x6)11 x5dx=0，%x5)-5 ( 06)519：x6dx=7，%x6) 95 (0.6)3 0(、06)53(0.6) 0.24所以求積公式具有 5次代數(shù)精度。1.3插值型的求積公式最直接自然的一種想法是用原函數(shù)是容易求出的，我們以n(x)代替f (x)，由于代數(shù)多項(xiàng)式的 n(x)在a,b上的積分值作為所求積分I(f)的近似值，即bI (f) c n(x)dxf (

7、x)在a,b上的插值多項(xiàng)式這樣得到的求積分公式稱為插值型求積公式。通常采用Lagrange插值。設(shè)a,b上有n 1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,X!丄,xn， f (x)的n次Lagrange插值多項(xiàng)式為L(zhǎng)n(X)nlk(x)f (Xk)k 0其中ik(x) 二，插值型求積公式為j 0 XkXjj kbI(f) aLn(x)dxnAk f (xjk 0(4-4)其中Ak被積函數(shù)blk(x)dx, k 0,1 丄，n?？煽闯?，Akaf (x)的形式無關(guān)。僅由積分區(qū)間a,b與插值節(jié)點(diǎn)求積公式(4-4)的截?cái)嗾`差為定義Rn(f )bf(x)dxbLn(x)dxa(n1)()a (n 1)!n l(x)dx4.2求

8、積公式xk確定，與(4-5)bf(x)dx anAkf(xQk 0如其系數(shù)bAklk(x)dx，a那么稱此求積公式為插值型求積公式。定理證明4.1形如(4-3)的求積公式至少有n次代數(shù)精度的充分必要條件是插值型的。如果求積公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，對(duì)于次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式f (x)，其余項(xiàng)R f等于零，因而這時(shí)求積公式至少具有n次代數(shù)精度。反之，如果求積公式(4-3)至少具有n次代數(shù)精度，那么對(duì)于插值基函數(shù) |k(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，并注 意到lk(xj )jk，即有l(wèi)k(x)dxAj lk ( xj )j 0所以求積公式(4-3)是插值型的。1.4求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定

9、義4.3在求積公式(4-3)中，假設(shè)nf(x)dxlimAJ(Xk)n 0 k 0其中h max(xi x 1)，那么稱求積公式(4-3)是收斂的。1 i n實(shí)際使用任何求積公式時(shí)，除截?cái)嗾`差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數(shù)值穩(wěn)定性。 在求積公式(4-3)中，由于計(jì)算f(xQ可能產(chǎn)生誤差k，實(shí)際得到 %，即f(Xk) % k，記nnIn(f)Akf(Xjln(%Ak%k 0k 0如果對(duì)任給正數(shù)0，只要誤差 k充分小就有nIn(f) ln(% A f(Xk)%(4-6)k 0定義4.4對(duì)任給0，假設(shè)存在0，只要那么稱求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。定理4.2假設(shè)求積公式(4-3)中系數(shù)Ak0

10、(k負(fù)，計(jì)算可能不穩(wěn)定。證明對(duì)任給0,假設(shè)取-，對(duì)kb anIn(f)In(%Akf (Xk)它說明求積公式(4-3)計(jì)算是穩(wěn)定的，由此給出:%k 0注意對(duì)任何代數(shù)精度0的求積公式均有nAkk 0In(1)f(Xk)%(k 0,1,L ,n)就有(4-6)成立,0,1,L , n)，那么此求積公式是穩(wěn)定的；假設(shè)Ak有正有0,1,L ,n 都有f(xQ %，那么有Akk 0b1dx baf (Xk)%可見a 0時(shí)，有In(f) In(%nAkk 0(ba)由定義4.4可知求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。假設(shè)Ak有正有負(fù)時(shí)，假設(shè) Ak ( f (Xk)%)0,且f (Xk)，有In(f) ln(%Ak

11、k 0nAkf (Xk)nAkAJ| f (Xk)(b a)作變換xa th，那么有n n (t j)h hdt0 j 0(k j)hj k(1)n kh nk!(n k)! 0n(tj 0 j kj)dt(1廠2 a) n n (t j)dtAk!( nk)!n 0 j 0j k令C(n)( 1)Cki kn n0 (tj)dtk!( nk)! nj 0 j k那么A(back，求積公式4-4可簡(jiǎn)化為1(f) (bna)ckn)f(Xk)(4-7)它說明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差的增大，即計(jì)算可能不穩(wěn)定。2 Newton-Cotes 公式2.1 Cotes 系數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)

12、變化平緩,b a步長(zhǎng)h，等距節(jié)點(diǎn)xk an可用等距節(jié)點(diǎn)插值公式近似。將積分區(qū)間a,b劃分為n等分,kh,k 0,1丄，n。此時(shí)求積公式4-4中的積分系數(shù)可得到簡(jiǎn)化bAalk(x)dxaddxxj xxk ok b aokndxk 0稱為n階Newton-Cotes公式，簡(jiǎn)記為 N-C公式，C：n稱為Cotes系數(shù)。由Ckn的表達(dá)式可看出，它不但與被積函數(shù)無關(guān)，而且與積分區(qū)間也無關(guān)。因此可將Cotes系數(shù)事先列成表格供查用見表4-1。N-C公式的截?cái)嗾`差為R(f)b f (n 1)()n(x x0、亠 hn 2nf(n (0n)(t j)dtj 0(4-8)a (n1)! jj(n1)!n 1時(shí)

13、11baI(f) (b a)2 f (a)-f(b)2 f(a)f(b)(4-9)為梯形公式n 2時(shí)14a b1baa bI(f)(b a)-f(a)66f(26f(b)6f (a)4f( 2 ) f(b)(4-10)為辛普生公式。n 4時(shí)b aaba3(b a).I(f)7f(a)32 f (a)12f()32 f(a)7f(b)(4-11)90424為Cotes公式。表4-1n111一22o14126661331388887162164904515451925252552889614414441993468403528010577513577132329891728017280172801

14、7280o989588892810496828350283502835028350(n) k2519962889941280358402989132335777511728017280172801728045401049692858889892835028350283502835028350790從表4-1可看出，當(dāng)n 8時(shí)出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，由定理4.2可知，實(shí)際計(jì)算中將使舍入誤差增大,并且往往難以估計(jì)。從而Newton-Cotes公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此實(shí)際計(jì)算中不用高階 Newton-Cotes 公式。2.2偶階求積公式的代數(shù)精度作為插值型的求積公式,n階的牛頓-柯特斯公式至少具有

15、 n次的代數(shù)精度。求積公式的代數(shù)精度能否進(jìn)步提高呢?定理證明由于這里4.3當(dāng)階為偶數(shù)時(shí)，我們只要驗(yàn)證，當(dāng)f(n1)(x) (n 1)!，從而NC公式(4-7)至少具有n為偶數(shù)時(shí)，N-C公式對(duì)n 1次代數(shù)精度。n 1f (x) X 的余項(xiàng)為零。按余項(xiàng)公式(4-8)，引進(jìn)變換x a th，并注意到XjbR(f)a jh，有R(f)hn2(X(tXj )dxj)dt當(dāng)n為偶數(shù)，那么n為整數(shù)，再令2進(jìn)一步有尺h(yuǎn)n2n2n2n(uj 0nj)duhnn n 22n(u j)du2 j n 2因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)。2.3幾種低階求積公式的余項(xiàng)梯形求積公式的余項(xiàng)為RtI T2!(Xa)(x b)dx由于(x

16、 a)(x b)在a,b上不變號(hào)，利用積分中值定理有Rt f Q (x a)(x b)dx)(b a)3,(a,b)2 a 12Simpson公式的余項(xiàng)為bb aRS I S f (x)dxf (a)4f(c) f (b)a 6a b這里c。構(gòu)造次數(shù)不超過 3的多項(xiàng)式H (x)，使?jié)M足2H(a) f (a),H(c) f (c), H (c) f (c), H (b) f (b)由于Simps on公式具有三次代數(shù)精度，它對(duì)于這樣構(gòu)造的三次式H (x)是準(zhǔn)確的，即bb aH (x)dxH(a) 4H(c) H (b)a 6所以bRSf (x) H (x) dxa由第二章的例6,可知Af(x)

17、H(x) -f(4)( )(x a)(x c)2(x b)4!因(x a)(x c)2(x b)在a,b上保號(hào)，應(yīng)用積分中值定理有(4-12)1bRsf ()(x a)( x c)2 (x b)dx4!a4baba180 2(a,b)(4-13)3復(fù)化求積公式前面導(dǎo)出的誤差估計(jì)式說明，用N-C公式計(jì)算積分近似值時(shí)，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差越小。但縮小步長(zhǎng)等于增加節(jié)點(diǎn)數(shù)，亦即提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象說明，這樣并不一定能提高精度。理論上已經(jīng)證明，當(dāng) n 時(shí)，N-C公式所求得的近似值不一定收斂于積分的準(zhǔn)確值，而且隨著n的增大，N-C公式是不穩(wěn)定的。因此，實(shí)際中不采用高階 積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式

18、插值，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。3.1復(fù)化梯形公式將區(qū)間a,b劃分為n等分，分點(diǎn)xk a kh,hN-C公式，為提高計(jì)算精度，可考慮對(duì)被b a,k 0,1,L ,n，在每個(gè)區(qū)間 風(fēng)公昇(k 0,1,L , n 1)上采用梯形公式，那么得ba f(X)dXk 0Xk1f (x)dxh n12f (Xk)f(Xk 1)k 0Rn(f )(4-14)稱為復(fù)化梯形公式Rn(f)h n 1Tn2k 0，其余項(xiàng)為Tnf(Xk)f(Xk i)f (a)n 12f(Xk)k 1f(b)(4-15)由于 f(x) c2a,b,所以存在 (a,b)使于是復(fù)化梯形公式余項(xiàng)為n12 komkin 1f從式(4-16)可以

19、看出，余項(xiàng)誤差是k)=(b12a)h2n 1f ( k),n k 0(Xk ,Xk 1)k)k)0mkax1f (k)f() nkk)a)h2f ()Rn(f)吟12h2階，所以當(dāng)f(x) C2a,b，有blim Tnf (x)dx，naf(x) Ca,b，那么可得收斂性，因?yàn)橛蒪 a nf (Xk)(4-15)得即復(fù)化梯形公式是收斂的。事實(shí)上只要n 11 b a .Tnf (Xk)2 n k 0n k 1所以復(fù)化梯形公式(4-15)收斂。此外，Tn的求積系數(shù)為正，由定理 4.2知復(fù)化梯形公式是穩(wěn)定的。bf (x)dx (na(4-16)3.2復(fù)化辛普森公式一 1將區(qū)間a,b劃分為n等分，在每

20、個(gè)區(qū)間xk,1上采用辛普森公式，記xk 12xk - h那么得2bn 1I f (x)dxak 0Xk 1f(x)dxXkhn16 k 0f (Xk) 4f (Xk 1 2)f (Xk 1)Rn( f)(4-17)Snh f(a)1f (xk 1 2)0n 12 f(Xk)k 1f(b)(4-18)稱為復(fù)化辛普森求積公式，其余項(xiàng)由(4-13)得4RnSnh于是當(dāng)f (x) C4a, b時(shí)，與復(fù)化梯形公式相似有f(4)( k),0(Xk,Xk 1)尺需f(4)()，(a,b)(4-19)可以看出誤差階是 h4，收斂性是顯然的。事實(shí)上，只要f(x) Ca,b，那么有bn 1 a4f(Xk 1 2)

21、bn 1af (Xk)n k of (Xk)f (x)dx (n此外，由于Sn中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復(fù)化辛普森求積公式計(jì)算穩(wěn)定。例2根據(jù)函數(shù)表4-1kXksin xk f(Xk)XkkXksin xk f(Xk)Xk0015580.936155611/80.997397863/40.908851621/40.989615877/80.877192533/80.9767267810.841470941/20.9588510表4-1dx的近似值，并估計(jì)誤差。用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計(jì)算I1 sin x0x解由復(fù)化梯形公式I 丄f(0)16f(1)kf(8)0-945691由復(fù)化辛普森公式i

22、 16f(0)f(1)f(k)44 2k 14k1f(T) 0-946084與準(zhǔn)確值I 0.9460831L比擬，顯然用復(fù)化為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求f(x)Simps on公式計(jì)算精度較高。sin x的高階導(dǎo)數(shù)，由于Xf(x)sin x1o cos(xt)dt所以有f(k)(x)1 dk0 dxkcos(xt)dt1tkcos(xt2k )dtf(k)(x)1t cos(xt)02dtmax0 x 10kdt0由復(fù)化梯形誤差公式(4-16)得FUf) |I T8h212 maxf (x)丄120.000434由復(fù)化辛普森誤差公式(4-19)得R4(f)S4118010.271 1065例

23、3假設(shè)用復(fù)化求積分公式計(jì)算積分的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字,xdxn應(yīng)取多大?解因?yàn)楫?dāng)0 x 1時(shí)，有0.30.3xdx要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過410 。又因?yàn)?,1f(k)(x)由式(4-16)得h212101即n104，開方得n 40.8。因此假設(shè)用復(fù)化梯形公式求積分,6假設(shè)用復(fù)化Simpson公式，由式4n應(yīng)等于41才能到達(dá)精度。1 h180 2(4-19)(4)()h4180 16 180 16104即得n 1.62。故應(yīng)取n 2。4龍貝格求積公式4.1梯形公式的逐次分半算法如前所述，復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差隨著步長(zhǎng)的縮小而減少，而且如果被積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)容

24、易計(jì)算和估計(jì)時(shí)，由給定的精度可以預(yù)先確定步長(zhǎng)，不過這樣做常常是很困難的，一般不值得推崇。 實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們總是從某個(gè)步長(zhǎng)出發(fā)計(jì)算近似值，假設(shè)精度不夠可將步長(zhǎng)逐次分半以提高近似值， 直到求得滿足精度要求的近似值。設(shè)將區(qū)間a,b分為n等分，共有n 1個(gè)分點(diǎn)，如果將求積區(qū)間再二分一次，那么分點(diǎn)增至2n 1個(gè)，我們將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來加以考慮。注意到每個(gè)子區(qū)間xk,xk 1經(jīng)過二分只增加了1一個(gè)分點(diǎn)x 1 (Xk Xk1)，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為 k 2 2h f (xk) 2f (xk 12) f (xk 1)4b a注意，這里h代表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得

25、h n 1 幾 。 f(Xk)f (Xkh n 11)f (Xk 1 2)2 k 0T2n2Tnhn2k(4-20)這說明，將步長(zhǎng)由h縮小為一時(shí)，T2n等于Tn的一半再加新增加節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值乘以當(dāng)前步長(zhǎng)。2算法4.11 .輸入 a, b, f (x),bm 1,h2 對(duì)k2 .置3 .置差為5假設(shè)1,2丄h f (a) f (b)m 1,2F F f(a (2 k1)h)2T0T TohF輸出IT，停機(jī)；否那么m 1hm,2h,TT0，轉(zhuǎn) 3。4.2李查遜(Richards on )外推法假設(shè)用某種數(shù)值方法求量I的近似值，一般地，近似值是步長(zhǎng)h的函數(shù)，記為4(h)，相應(yīng)的誤I h(h)其中衛(wèi)1

26、,2丄),0 piP2LI Ii( h)1(A1hPkLh)P1計(jì)2hP2 LkhPk是與h無關(guān)的常數(shù)。假設(shè)用L2( h)P2P2 P22 hk( h)PkPPk式(4-22)減去式(4-21)乘以h)P2取滿足h(2(以1P，得P1IP1)hP2P1除上式兩端，得P1l1(h)11(h)(P33(R)hP3k(Pkh( h)(4-21)h代替(4-21)中的h，那么得L(4-22)R)hpk Lb2hP2 b3hP3bkhPk(4-23)1Pl)(i2,3 丄P1)：(1Pi)仍與h無關(guān)。令“1附)1 p由式(4-23)，以l2(h)作為I的近似值，其誤差至少為O(hP2)，因此其中b 2(

27、l2(h)h( h)L(h)收斂于I的速度比1心)快。不斷重復(fù)以上作法，可以得到一個(gè)函數(shù)序列I (h) Im1( h)Im(h)1以lm(h)近似I，誤差為I lm(h) O(hPm)。隨著m的增大，收斂速度越來越快，這就是RichardsonPmPm 12,3,L(4-24)外推法。4.3龍貝格求積公式由前面知道，復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為(Euler-Maclaurin )公式：定理4.4設(shè)f (x) C a,b，那么有2I T(h) 1h 其中系數(shù)k(k 1,2,L )與h無關(guān)。O(h2)。進(jìn)一步分析，我們有如下歐拉一麥克勞林2h4 L kh2k L把李查遜外推法與歐拉一麥克勞林公式相結(jié)合

28、，可以得到求積公式的外推算法。特別地，在外1推算法式(4-24)中，取pk 2k，并記T0(h) T(h)，那么有h4jTm1(2 Tm1(h)(4-25)(4-26)Tm(h)育 ,m 1,2 丄41經(jīng)過m(m 1,2,L )次加速后，余項(xiàng)便取以下形式：Tm(h) IME)2h2(m 2) L上述處理方法通常稱為 李查遜(Richards on )外推加速方法。為研究Romberg求積方法的機(jī)器實(shí)現(xiàn)，引入記號(hào)：以T。表示二分k次后求得的梯形值，且以Trmk)表示序列 T0(k)的m次加速值，那么依以上遞推公式得到Tmk)(mtt1 時(shí)補(bǔ) 1,2丄4141稱為龍貝格求積算法。Romberg公式

29、的計(jì)算過程見下表 4-2表4-2khT(k)T0T(k)11T (k)T2T(k)I3T (k)1 4L0b aT0(0)1b aTT()2112b a4T0(2)T1t2(0)3b aT(3)t(2)TT(0)8T0T1T2T34b aT0(4)T1t2(2)T3t4(0)16MMMMMMMO算法4.2(1)輸入 a,b, f (x),(3)計(jì)算k 12To(k)(h)1To(k 1) h f(a (i ；)h)2i i2對(duì)j 1丄,k(k j)1 jj (k j 1) (k j)4 lj 11 j 14j 1 Tk(0) Tk(01，輸出 TV例4用Romberg算法計(jì)算積分If (x)d

30、x 停機(jī);a13 2.x dx。0否那么-2h, k 1 k，返回。解 利用逐次分半算法(4-20)和Romberg算法(4-25)，計(jì)算結(jié)果見表 4-3。1T,0)f (0) f (1) 0.500000T0-T0(0)0.5 f(-)0.4267772 2AAQT,2)T。 0.25 f (-) f (-)0.407018244T0(3)1t0(2)吐 f(1) f (-) f (5) f(-) 0.4018122 2 8 8 8 8M表4-3kT0(k)T1(k)T2(k)T3(k)才)T5(k)00.50000010.4267770.40236920.40701830.4018120.

31、4000770.4000540.40005040.4004630.4000090.40000950.4001180.4000020.4000020.4000025高斯求積公式5.1 一般理論等距節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式，雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，使用方便，但是這種節(jié)點(diǎn)等距的規(guī)定卻限制了求 積公式的代數(shù)精度。試想如果對(duì)節(jié)點(diǎn)不加限制，并適中選擇求積系數(shù)，可能會(huì)提高求積公式的精度。Gauss型求積公式的思想也正如此，亦即在節(jié)點(diǎn)數(shù)n固定時(shí)，適當(dāng)?shù)剡x取節(jié)點(diǎn)xj與求積系數(shù)人訃，使求積分公式具有最高精度。設(shè)有n 1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)x0,x1丄，Xn的機(jī)械求積分公式a (x)f(x)dxAk f(xk)ak0x1 (l 0,1丄，

32、m)，式(1)精確成立，即 bl(x)xldx (l0,1,L ,m)(2-27)具有m次代數(shù)精度，那么有取f(x)n Aj(xj)l j0式構(gòu)成m 1階的非線性方程組，且具有2n 2個(gè)未知數(shù)xk, Ak (k 0,1,L , n)，所以當(dāng)(x)給(2-28)定后，只要 m 1 2n 2 ，即 m 2n 數(shù)精度可到達(dá) 2n 1 。另一方面，對(duì)式意的互異節(jié)點(diǎn) xk k1時(shí)，方程組有解。這說明式 n 1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式的代(1)，不管如何選擇xk 與 Ak ，最高精度不可能超過 2n 1 。事實(shí)上，對(duì)任0 ，令p2n 2 (x)2n1(x) (x x0)2(x x1)2L (x xn)2b0 ，

33、然而an(x)P2n 1(x)dx 0 。有Ak P2n 2 (xk )k0定義 4 如果求積分公式 (4-27) 具有 2n 1 次代數(shù)精度，那么稱這組節(jié)點(diǎn)xk 為 Gauss 點(diǎn) ，相應(yīng)公式(4-27)稱為帶權(quán) (x) 的 高斯求積公式。定理 5 插值型求積公式的節(jié)點(diǎn) a x0x1 Lxn b 是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式n 1(x)(x x0)(x x1)L (x xn)與任何次數(shù)不超過 n的多項(xiàng)式P(x)帶權(quán)正交，即ba (x)P(x)a證明 必要性。設(shè)P(x) Hn，那么P(x)式 (1) 對(duì)于 f (x)n 1(x)dx 0(4-29)P(x)nn 1(x) 精

34、確成立，即有ba (x)P(x) n 1(x)dx1(x) H 2n 1 ，因此，如果x0,x1,L ,xn 是高斯點(diǎn)，那么nAkP(xk ) n 1(xk ) k0故式 (4-29)成立。 再證充分性。對(duì)于f(x) P(x) n1(x)f (x) H 2n 1 ，用q(x)，其中 P(x),q(x)ba (x)f(x)dxa1(x) 除 f (x) ，記商為H n ，由式 (4-29)可得 b(x)q(x)dxP(x) ，余式為 q(x) ，即(4-30)由于所給求積公式 (4-27) 是插值型的，它對(duì)于 q(x)b(x) f(x)dxa再注意到n 1(xQ0 (k 0,1,L , n)，知 q(xQbba (x) f(x)dx a (x)q(x)dxaaH n 是精確成立的，即 nAkq(xk ) k0f(xQ (k