臨界轉(zhuǎn)速的計算

1、一、 臨界轉(zhuǎn)速分析的目的臨界轉(zhuǎn)速分析的主要目的在于確定轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，并按照經(jīng)驗或有關(guān)的技術(shù)規(guī)定，將這些臨界轉(zhuǎn)速調(diào)整，使其適當(dāng)?shù)倪h(yuǎn)離機(jī)械的工作轉(zhuǎn)速，以得到可靠的設(shè)計。例如設(shè)計地面旋轉(zhuǎn)機(jī)械時，如果工作轉(zhuǎn)速低于其一階臨界轉(zhuǎn)速Nc1，應(yīng)使N<0.75Nc1,如果工作轉(zhuǎn)速高于一階臨界轉(zhuǎn)速，應(yīng)使1.4Nck<N<0.7Nck+1,而對于航空渦輪發(fā)動機(jī)，習(xí)慣做法是使其最大工作轉(zhuǎn)速偏離轉(zhuǎn)子一階臨界轉(zhuǎn)速的1020%。二、 選擇臨界轉(zhuǎn)速計算方法要較為準(zhǔn)確的確定出轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速，必須注意以下兩點1. 所選擇的計算方法的數(shù)學(xué)模型和邊界條件要盡可能的符合系統(tǒng)的實際情況。2. 原始數(shù)據(jù)

2、的（系統(tǒng)支撐的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)）準(zhǔn)確度，也是影響計算結(jié)果準(zhǔn)確度的重要因素。3. 適當(dāng)?shù)目紤]計算速度，隨著轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的日益復(fù)雜，臨界轉(zhuǎn)速的計算工作量越來越大，因此選擇計算方法的效率也是需要考慮的重要因素。三、 常用的計算方法名稱原理優(yōu)點缺點矩陣迭代法（Stodola 斯托多拉）1. 假定一階振型撓曲彈性線并選擇試算速度2. 計算轉(zhuǎn)子渦動慣性載荷，并用此載荷計算撓性曲線3. 以計算得到的撓性曲線和適當(dāng)調(diào)整的轉(zhuǎn)速重新循環(huán)計算4. 當(dāng)計算曲線和初始曲線吻合的時的轉(zhuǎn)速即為一臨轉(zhuǎn)速5. 高階臨界轉(zhuǎn)速方法同，但需利用正交條件消除低階彈性線成分，否則計算錯誤收斂較快，一階臨界轉(zhuǎn)速結(jié)果較為準(zhǔn)確高階臨界轉(zhuǎn)速精

3、度差，計算復(fù)雜逐段推算法（傳遞矩陣法）（Prohl-Myklestad）1. 劃分轉(zhuǎn)軸為若干等截面段，選擇試算轉(zhuǎn)速2. 從轉(zhuǎn)軸的一端算起，計算另一端的四個狀態(tài)參數(shù)（撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力）3. 根據(jù)與其相鄰軸段在該截面處的約束條件，得到下個軸段的狀態(tài)參數(shù)4. 換個轉(zhuǎn)速重復(fù)計算，直到計算得到的狀態(tài)參數(shù)滿足邊界條件，此時的轉(zhuǎn)速即為臨界轉(zhuǎn)速將四個狀態(tài)參數(shù)寫成矩陣的形式，計算方便，在各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械制造業(yè)中是最為通用、發(fā)展最為完善的方法根據(jù)經(jīng)驗或有關(guān)的計術(shù)資料選擇計算轉(zhuǎn)速，比較盲目能量法（Rayleigh-Ritz）1. 以能量守恒原理為理論基礎(chǔ)，根據(jù)軸系中的最大應(yīng)變能等于最大的動能，建立微分方程，據(jù)動能

4、是轉(zhuǎn)速的函數(shù)計算轉(zhuǎn)速原理簡單，易于理解如果假設(shè)的振型不準(zhǔn)確會帶來誤差特征方程法將通用的指數(shù)解帶入微分方程，得到以臨界轉(zhuǎn)速為解的多項式方程難以求解，應(yīng)用不多數(shù)值積分法（前進(jìn)法）以數(shù)值積分的方法求解支撐系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程，從初始條件開始，以步長很小的時間增量時域積分，逐步推算出軸系的運(yùn)動唯一能模擬非線性系統(tǒng)的計算方法，在校核其他方法及研究非線性對臨界轉(zhuǎn)速的影響方面很有價值計算量較大，必須有足夠的積分步數(shù)注：1.Stodola 斯托多拉法 2.Prohl-Myklestad莫克來斯塔德法 傳遞矩陣法基本原理：傳遞矩陣法的基本原理是，去不同的轉(zhuǎn)速值，從轉(zhuǎn)子支撐系統(tǒng)的一端開始，循環(huán)進(jìn)行各軸段截面狀態(tài)參數(shù)

5、的逐段推算，直到滿足另一端的邊界條件。優(yōu)點：對于多支撐多元盤的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，通過其特征值問題或通過建立運(yùn)動微分方程的方法求解系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)，矩陣的維數(shù)隨著系統(tǒng)的自由度的增加而增加，計算量往往較大：采用傳遞矩陣法的優(yōu)點是矩陣的維數(shù)不隨系統(tǒng)的自由度的增加而增大，且各階臨界轉(zhuǎn)速計算方法相同，便于程序?qū)崿F(xiàn)，所需存儲單元少，這就使得傳遞矩陣法成為解決轉(zhuǎn)子動力學(xué)問題的一個快速而有效的方法。缺點：求解高速大型轉(zhuǎn)子的動力學(xué)問題時，有可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。今年來提出的Riccati傳遞矩陣法，保留傳遞矩陣的所有優(yōu)點，而且在數(shù)值上比較穩(wěn)定，計算精度高，是一種比較理想的方法，但目前還沒有普遍推廣。軸段劃分

6、：首先根據(jù)支撐系統(tǒng)中剛性支撐（軸承）的個數(shù)劃分跨度。在整個軸段內(nèi)，凡是軸承、集中質(zhì)量、輪盤、聯(lián)軸器等所在位置，以及截面尺寸、材料有變化的地方都要劃分為軸段截面。若存在變截面軸，應(yīng)簡化為等截面軸段，這是因為除了個別具有特殊規(guī)律的變截面軸段外，其他的變截面軸段的傳遞矩陣特別復(fù)雜。傳遞矩陣：4. 軸段傳遞矩陣每段起始狀態(tài)參數(shù)和終端狀態(tài)參數(shù)的轉(zhuǎn)換方程，根據(jù)是否考慮轉(zhuǎn)軸的分布質(zhì)量，可以建立兩種軸段傳遞矩陣當(dāng)考慮軸段的分布質(zhì)量時：起始和終端的轉(zhuǎn)換方程是均質(zhì)等截面桿的振動彈性方程：不考慮轉(zhuǎn)軸的分布質(zhì)量時建立的傳遞矩陣其中，a11,a12,a21,a22為該軸段的影響系數(shù)，根據(jù)材料力學(xué)：，a11和a12是終端

7、的剪力和彎矩在終端引起的撓度，a21和a22是終端的剪力和彎矩在終端引起的轉(zhuǎn)角4. 各軸段間的傳遞矩陣從前一軸段的終端到下一軸段的始端，如果中間沒有獨(dú)立的結(jié)構(gòu)單元，則狀態(tài)參數(shù)不發(fā)生變化，傳遞矩陣是單位矩陣；兩者之間有獨(dú)立的結(jié)構(gòu)單元時，用前一軸段的終端矩陣乘以此單元的矩陣，即的下一單元的始端矩陣。獨(dú)立的結(jié)構(gòu)單元大概可以分為以下四種：通過點質(zhì)量時為：，其中，mi為點質(zhì)量，p為系統(tǒng)的固有頻率通過轉(zhuǎn)動盤時為，其中，mi盤的質(zhì)量，Ip盤的極轉(zhuǎn)動慣量，Id盤的直徑轉(zhuǎn)動慣量，w盤的轉(zhuǎn)動角速度a. 通過彈性鉸鏈時為，其中，ch為鉸鏈的力矩剛性系數(shù)通過具有彈性約束的彈性支座時為，其中，co彈性支座的剛性系數(shù)，如

8、果沒有彈性約束則ch=0.4. 各跨度間的傳遞矩陣通過剛性支座的傳遞剛性支座是一個跨度的結(jié)束，在支座處的橫向位移為0，所以：其中，Ri為支座的反作用力，在以后整個跨度的計算中，此反作用力代替前一跨度中被消除的參數(shù)（撓度），而未知參數(shù)的個數(shù)不變。通過球頭聯(lián)軸器的傳遞球頭聯(lián)軸器也是一個跨度的結(jié)束，在此處的彎矩為0.所以：其中，球頭聯(lián)軸器未知的相對轉(zhuǎn)角，在以后此跨度的計算中，用代替上個跨度中消除的參數(shù)，從而使未知變量的個數(shù)不變。4. 初始條件：第一跨度0截面的初始條件根據(jù)約束條件和軸的載荷分析來確定，在所有四個狀態(tài)參數(shù)中，或有兩個為零，兩個是未知的，或只有兩個是獨(dú)立的，其他的參數(shù)可以用這兩個獨(dú)立參數(shù)

9、表示。這就意味著在計算過程中所有各段的起始端和末端的狀態(tài)參數(shù)都是兩個未知數(shù)的線性函數(shù)。最主要的是末端的狀態(tài)參數(shù)也總是或兩個為0，或可以用兩個參數(shù)來表示，因此末端的四個參數(shù)方程可以簡化為兩個具有兩個未知數(shù)的齊次方程。5. 臨界轉(zhuǎn)速的確定：轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的確定可以用“瞎子爬山”、對分法等來確定。選取某個P值，寫出所有軸段的傳遞矩陣，然后根據(jù)初始端的邊界條件選取合適的初始參數(shù)矩陣。從轉(zhuǎn)子的起始端逐段推算其狀態(tài)參數(shù)，在每個跨度的終端，按照條件進(jìn)行參數(shù)的消除和變換，最終遞推到末端時，可以得到兩個含有兩個未知數(shù)的齊次方程。假設(shè)齊次方程的系數(shù)行列式為0，著計算轉(zhuǎn)速就是臨界轉(zhuǎn)速；若行列式不為零，則重新選取臨界轉(zhuǎn)

10、速計算。將各階臨界轉(zhuǎn)速帶入重新計算可得各段始、末端的參數(shù)，從而作出振型圖。計算過程中，可以將第一跨度的初始截面的某個狀態(tài)參數(shù)設(shè)為1，以后各截面的參數(shù)值是相對于1的比例值。臨界轉(zhuǎn)速計算：單圓盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)早期的旋轉(zhuǎn)機(jī)械比較簡單，可以把轉(zhuǎn)子看做是圓盤裝在無重的彈性轉(zhuǎn)軸上，而轉(zhuǎn)軸的兩端則由完全剛性即不變形的軸承及軸承座支撐，這種模型成為剛性支撐。渦動的定義通常轉(zhuǎn)軸的兩支點在同一水平線上，轉(zhuǎn)軸未變形時，轉(zhuǎn)子的軸線處于水平位置，（實際上由于盤的重力作用，即使在靜止時，轉(zhuǎn)軸也會變形，而不是處于水平位置），由于轉(zhuǎn)子的靜變形交小，對轉(zhuǎn)子的運(yùn)動的影響可以忽略不計。有時為了避開靜變形，可以考慮讓轉(zhuǎn)軸

11、的兩支點在同一垂直線上。假設(shè)轉(zhuǎn)子以角速度做等速轉(zhuǎn)動，當(dāng)處于正常運(yùn)轉(zhuǎn)時，軸線是直的，如果在他的一側(cè)添加一橫向沖擊，則因轉(zhuǎn)軸有彈性而發(fā)生彎曲振動，渦動就是研究這種性質(zhì)的運(yùn)動。假設(shè)圓盤的質(zhì)量為m，他所受到的力是轉(zhuǎn)軸的彈性恢復(fù)力F= -kr，其中k為轉(zhuǎn)軸的剛度系數(shù)，R=oo，圓盤的運(yùn)動微分方程： 由式1.4可知，圓盤或轉(zhuǎn)軸的中心o在相互垂直的兩個方向作頻率同為Wn的簡諧振動。在一般情況下，振幅X和Y是不相同的，式1.4確定點軌跡為一橢圓，o的這種運(yùn)動成為“渦動”，自然頻率Wn稱為進(jìn)動角速度。其中B1和B2都是復(fù)數(shù)，由起始的橫向沖擊決定。第一項是半徑為B1的反時針運(yùn)動，運(yùn)動方向和轉(zhuǎn)動角速度相同，成為正進(jìn)

12、動。第二項是半徑為B2的順時針運(yùn)動，運(yùn)動方向和轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動方向相反，成為反進(jìn)動。圓盤中心o的渦動就是這兩種進(jìn)動的合成。由于起始條件的不同，轉(zhuǎn)子中心的渦動可能出現(xiàn)以下情況：B1!=0，B2=0 渦動為正進(jìn)動，軌跡為圓，半徑為B1；. B1=0，B2!=0 渦動為正進(jìn)動，軌跡為圓，半徑為B2；. B1=B2軌跡為直線；B1!= B2軌跡為橢圓， B1>B2時為正渦動；B1<B2時為反渦動。由以上討論可知，圓盤或轉(zhuǎn)軸的中心的進(jìn)動或渦動屬于自然振動，他的頻率就是圓盤沒有轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)軸彎曲振動的自然頻率。1.2 圓盤的偏心質(zhì)量引起的振動、臨界轉(zhuǎn)速假設(shè)轉(zhuǎn)盤的質(zhì)量為m，偏心距為，角速度為w，設(shè)離心力

13、的初始相位為0，則在某一時刻t，離心力矢量和x軸的夾角為wt，此時離心力在X和Y向的投影為：Fx和Fy分別是各自方向上的周期性變化的力，頻率和轉(zhuǎn)盤的頻率相同，在這種交變力的作用下，轉(zhuǎn)子在X和Y方向也將做周期性運(yùn)動， 假設(shè)兩個方向上阻尼和剛度相同，則轉(zhuǎn)子的運(yùn)動微分方程：其解為：寇勝利鐘一諤結(jié)論：1. 只考慮強(qiáng)迫振動時，軸心的響應(yīng)頻率和偏心質(zhì)量的激振頻率相同，在轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn)速時且不考慮阻尼時，相位也相同，軸心和質(zhì)心在一條直線上；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時且不考慮阻尼時，相位相差180°。2. 當(dāng)考慮轉(zhuǎn)子的渦動時，運(yùn)動比較復(fù)雜；3. 不平衡矢量所在的位置成為重點，振動矢量所在的位置成為高點，高

14、點比重點滯后的角度成為滯后角，當(dāng)令阻尼比為0時，為0，說明滯后角是由阻尼引起的；4. 轉(zhuǎn)子存在偏心，運(yùn)行的過程中又出現(xiàn)動撓度，當(dāng)轉(zhuǎn)速小于臨界轉(zhuǎn)速時，撓度和F即偏心方向相同，使終偏心增大；當(dāng)轉(zhuǎn)速等于臨界轉(zhuǎn)速時，出現(xiàn)共振；當(dāng)轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時，撓度方向和偏心方向相反，使終偏心減小，轉(zhuǎn)子振動趨于平穩(wěn)，這種現(xiàn)象成為自動對心；1.3等截面轉(zhuǎn)子的振動并不是所有的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)都可以簡化為具有剛性支撐的單輪盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，對于均質(zhì)、等截面轉(zhuǎn)子，如果按照集中質(zhì)量處理，將不能反映真實振動特性。均質(zhì)、等截面轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律可以用一個偏微分方程表示，該偏微分方程含有時間和軸向位置兩個自變量，因此可以確定任意軸線位置在任

15、意時刻的位置，利用均質(zhì)、等截面轉(zhuǎn)子模型研究得出的結(jié)論對一般轉(zhuǎn)子也是適用的。運(yùn)動方程：如圖上圖所示的兩端簡支的等截面轉(zhuǎn)子，設(shè)其密度為P，截面面積為A，彎曲剛度為EI，分布干擾力在xoz和yoz平面分別為Fx(z,t) Fy(z,t)，則轉(zhuǎn)子的振動可以用以下一組微分方程組成：令分布干擾力為0，即可得到轉(zhuǎn)子的自由振動微分方程：其解為：由上式可知轉(zhuǎn)子的自由振動是一系列簡諧振動的合成，這些簡諧振動有以下特點：. 固有頻率和振型函數(shù)是一一對應(yīng)的；. 振型函數(shù)反映了轉(zhuǎn)子軸線上各點位移的相對比例關(guān)系，無論振幅Dn如何變化 ，這種比例關(guān)系不會變化；. 振型是由轉(zhuǎn)子-支撐系統(tǒng)自身的特點決定的，所以又稱為固有振型，

16、不同類型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振型函數(shù)不同，上述的是均質(zhì)等截面轉(zhuǎn)子的振型函數(shù)。有關(guān)振型的基本概念：a) 節(jié)點：軸線上某一點的振型函數(shù)值稱為該點的振型值，振型值為0的點成為節(jié)點，階數(shù)越高節(jié)點越多，N階振型的節(jié)點數(shù)為N-1；b) 對稱性：對于兩端簡支的等截面轉(zhuǎn)子，奇數(shù)階振型是對稱的，而偶數(shù)階振型是反對稱的。因此。在兩支座間，奇數(shù)階振型相位相同而偶數(shù)階振型相位相反；c) 正交性：轉(zhuǎn)子的不同階振型間具有正交性，即第m階振型和第n階振型的乘積在軸長上的積分為0。d) 理論上，轉(zhuǎn)子的1、2、3階固有頻率的比值是1：4：9，實際1、2階固有頻率間的比值為1：3左右；e) 理論上，轉(zhuǎn)子-支撐系統(tǒng)經(jīng)過臨界點時，相位變化1

17、80°，實際上由于阻尼的存在，在臨界轉(zhuǎn)速處相位一般變化90°，即振動矢量和不平衡矢量間的滯后角為90°。f) 如下圖所示，由于阻尼的存在，轉(zhuǎn)子中心對不平衡質(zhì)量的響應(yīng)在w=Wn處不僅不是無限大值，而且不是最大值，最大值發(fā)生在w略微大于Wn時。對于實際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，有時通過在升速或降速的過程中測量響應(yīng)的辦法來確定轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，常常把這個過程中的最大值即峰值的轉(zhuǎn)速作為臨界轉(zhuǎn)速。有圖可知，通過測量所獲得的臨界轉(zhuǎn)速在升速上略大于實際的臨界轉(zhuǎn)速，而在降速時這略小于實際的臨界轉(zhuǎn)速。1.3 陀螺力矩基本概念：1. 對質(zhì)點的動量距：質(zhì)點Q的動量對于點O的距定義為質(zhì)點對于點O的動量距

18、，其值為點O到質(zhì)點Q的矢量差乘以動量：Mo(mv)=Rxmv，方向按照右手定則判定。2. 對軸的動量距：質(zhì)點Q的動量在xoy面內(nèi)的投影mv(xy)對與O點的距定義為質(zhì)點Q對Z軸的動量距；3. 剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量：剛體的轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時慣性的度量，它等于剛體內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量與該質(zhì)點到軸的垂直距離平方的乘機(jī)的和。4. 賴柴定理：質(zhì)點系對固定點的動量距矢量斷點的速度等于外力系對同一點的主距。當(dāng)圓盤不在兩支撐的中點而偏于一邊時，轉(zhuǎn)軸變形后，圓盤的軸線和兩指點的連線AB有一夾角。設(shè)圓盤的自轉(zhuǎn)角速度為，極轉(zhuǎn)動慣量為Jp，則圓盤對質(zhì)心的動量距為：H=Jpw，根據(jù)右手定則，它與AB連線的夾角也為。設(shè)轉(zhuǎn)軸渦動

19、的頻率為Wn，則圓盤中心o與軸線AB所構(gòu)成的平面繞AB軸有進(jìn)動角速度。由于進(jìn)動，圓盤的動量距H將不斷變化，因此動量距矢量的終點將具有速度U，根據(jù)賴柴定理（質(zhì)點系對固定點的動量距矢量斷點的速度等于外力系對同一點的主距），而圓盤重力距等于0，顯然和動量距矢量終點的速度相等的外力距只可能是軸承的動反力F1、F2產(chǎn)生的力矩；力矩-M（根據(jù)作用和反作用）稱為陀螺力矩，它是圓盤施加與轉(zhuǎn)軸的力矩，相當(dāng)于彈性力矩。在正進(jìn)動（0<</2）時，它是轉(zhuǎn)軸的變形減小，從而提高了轉(zhuǎn)軸的彈性剛度，即提高了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速；在反進(jìn)動（/2<<）時，它是轉(zhuǎn)軸的變形增大，從而降低了轉(zhuǎn)軸的彈性剛度，即降低了

20、轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。當(dāng)機(jī)械中的高速轉(zhuǎn)動部件的對稱軸被迫在空間中改變方位時，即對稱軸被迫進(jìn)動時，轉(zhuǎn)動部件必須對約束作用一個附加力偶，這種現(xiàn)象稱為陀螺效應(yīng)。當(dāng)陀螺效應(yīng)嚴(yán)重時，可能使機(jī)械產(chǎn)生故障，尤其是軸承。1.4 彈性支撐對轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響Jeffcott轉(zhuǎn)子：這種轉(zhuǎn)子模型是對真實轉(zhuǎn)子的簡化，剛性支承的單盤轉(zhuǎn)子，單盤位于支承的中間，分析臨界轉(zhuǎn)速和陀螺力矩等，是轉(zhuǎn)子動力學(xué)的基礎(chǔ)。假設(shè)盤在平面內(nèi)運(yùn)動，不考慮輪盤的偏轉(zhuǎn)，軸是無重軸。臨界轉(zhuǎn)速計算：200000000000 0.0000000009821. 基本參數(shù)：截面慣性矩：J=4.91E-10，彈性模量E=2E11，右端質(zhì)量m3=0.096g=0.1kg，