數(shù)列與數(shù)學歸納法專題

1、.數(shù)列與數(shù)學歸納法專題上海市久隆模范中學 石英麗經(jīng)典例題【例1】已知數(shù)列的前項和為，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).解：(1) 當時，；當時，所以.又，所以數(shù)列是以15為首項，為公比的等比數(shù)列.(2) 由(1)知：，得從而；由得， ，最小正整數(shù).【例2】 等差數(shù)列的前項和為（1）求數(shù)列的通項與前項和；（2）設(shè)，求證：數(shù)列中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列解：（1）由已知得，故（2）由（）得假設(shè)數(shù)列中存在三項（互不相等）成等比數(shù)列，則即，與矛盾所以數(shù)列中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列【例3】已知公差不為0的等差數(shù)列的首項為a,設(shè)數(shù)列的前n項和為

2、成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）記，當時，試比較與的大小解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得.因為，所以所以.（2）因為，所以.因為，所以.當，即.所以，當.【例4】已知，點在函數(shù)的圖象上，其中=1，2，3，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求及數(shù)列的通項；（3）記，求數(shù)列的前項和Sn，并證明=1.解：（1）由已知，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列.（2）由（）知（*）=由（*）式得（3）.又.又.【例5】已知數(shù)列滿足，且對任意都有.（1）求；（2）設(shè)，證明：是等差數(shù)列；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解：(1)由題意， 再令. (2)當時，由已知(以)可得.于是，即.所以是以6

3、為首項，8為公差的等差數(shù)列.(3)由(1)(2)解答可知.另由已知(令)可得.那么，于是.當時，；當時，.兩邊同乘以，可得.上述兩式相減得.所以.綜上所述，數(shù)列與數(shù)學歸納法專題檢測題一、填空題（每小題4分，滿分40分）1.列是首項為1，公比為的無窮等比數(shù)列，且各項的和為，則的值是.2.等比數(shù)列的前n項和為，已知，成等差數(shù)列，則的公比為_.3.函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若,則.4.知數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，設(shè)（），則數(shù)列的前10項和等于.5.知數(shù)列的首項，其前項的和為，且，則.6.知等比數(shù)列滿足，且，則當時，.7.差數(shù)列的前n項和為，已知，,則.8.全體正整數(shù)排成一個三角

4、形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個數(shù)為.9.是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，則=. 10.知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），若，則所有可能的取值為_.二、解答題（本大題共有5題，解答下列各題必須在規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟）11.設(shè)數(shù)列滿足.（1）求的通項公式； （2）設(shè)，記,證明.12.等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和.13.設(shè)為非零實數(shù)，.（1）寫出并

5、判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.14.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且方程有一根為（1）求； （2）的通項公式15.已知有窮數(shù)列：，().若數(shù)列中各項都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列，定義如下操作過程：從中任取兩項，將的值添在的最后，然后刪除,這樣得到一個項的新數(shù)列(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列). 若還是數(shù)列，可繼續(xù)實施操作過程，得到的新數(shù)列記作，,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.（1）設(shè)請寫出的所有可能的結(jié)果；（2）求證：對于一個項的數(shù)列操作T總可以進行次；（3）設(shè)求的可能結(jié)果，并說明理由.數(shù)列與數(shù)學歸納法專題檢測題答案一、填空題1. 2 ；

6、2.； 3.6； 4. 85； 5. ；6.；7.10 ；8.；9.9 （提示 81，54，36，24）；10.4 5 32；二、解答題11.設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項公式； （2）設(shè)，記,證明解：（1）由題設(shè)即是公差為1的等差數(shù)列。 又，故所以（2）由（I）得，12.等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項和解：（1）當時，不合題意；當時，當且僅當時，符合題意；當時，不合題意.因此所以公式， 故（2）因為=所以當n為偶數(shù)時，當n為奇數(shù)時

7、，綜上所述，13.設(shè)為非零實數(shù)，（1）寫出并判斷是否為等比數(shù)列。若是，給出證明；若不是，說明理由；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和解：（1），因為為常數(shù)，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列。（2） (1)錯位相減法得.14.設(shè)數(shù)列的前n項和為，且方程有一根為（1）求； （2）的通項公式解：(1)當時，有一根為，于是，解得.當時，有一根為于是，解得(2)由題設(shè)，.當時，代入上式得由(1)知由可得由此猜想下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論(i)時已知結(jié)論成立(ii)假設(shè)時結(jié)論成立，即.當時，由得故時結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知對所有正整數(shù)都成立于是當時，.又n1時，所以的通項公式15.已知有窮數(shù)列：，

8、().若數(shù)列中各項都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列，定義如下操作過程：從中任取兩項，將的值添在的最后，然后刪除,這樣得到一個項的新數(shù)列(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列). 若還是數(shù)列，可繼續(xù)實施操作過程，得到的新數(shù)列記作，,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.（1）設(shè)請寫出的所有可能的結(jié)果；（2）求證：對于一個項的數(shù)列操作T總可以進行次；（3）設(shè)求的可能結(jié)果，并說明理由.解：（1）有如下的三種可能結(jié)果：（2），有且所以，即每次操作后新數(shù)列仍是數(shù)列.又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，所以對數(shù)列每操作一次，項數(shù)就減少一項，所以對項的數(shù)列可進行次操作（最后只剩下一項）（3）由（2）可知中僅有一項.對于滿足的實