基本不等式應(yīng)用,利用基本不等式求最值的技巧,題型分析

1、1y=x+ _ =-（-x值域?yàn)椋?a, 2U2,解題技巧：技巧一：湊項(xiàng)5例 1 :已知x，求函數(shù) y 4x 2 當(dāng)xv0 時(shí),x- x)一2+m)1的最大值。4x 53. 若x0,則x12（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“=”）；若x 0,1則x 2 （當(dāng)且僅當(dāng)xxx取a、=”若x0，則1x -12 即 x 2或X1-2（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）xxx3. 若ab0，則 a b2（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）b a若ab0, 則ab2即 -2或ab-2（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）bab aba4.若a,bR,則2、b)2 22a b（當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“=”）2 2注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它

2、們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它 們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3） 均值定理在求最值、應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值例 1:求下列函數(shù)的值域21（1）y=3x+ 衣l3x2右 =誦 值域?yàn)镼6 , +)(2)當(dāng)x0 時(shí),一.基本不等式1.（ 1） 若a,b R，則a2b2時(shí)取“二”）2. （1）若a,b R*，則 Sab22ab若a, b R，則ab若a,bR*，則a當(dāng)且僅當(dāng)a2則ab a_22L（當(dāng)且僅當(dāng)a bb 2. ab（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）b時(shí)取“=”)比較大小、求變量的取值范圍、 證明不等式、解決實(shí)際問題方面有

3、廣泛的(2)y=x+1x解：(1)y= 3x2+ 右湊項(xiàng),Q x5554x 0,y 4x 2154x 132 3 144x 55 4x當(dāng)且僅當(dāng)5 4x1即x 1時(shí), 上式等號(hào)成立，故當(dāng)x 1時(shí)，ymax1。5 4x評注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例 1.當(dāng)時(shí)，求y x(82x)的最大值。解析：由I，.二知一，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè) 式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (82x)8為定值，故只需將y x(82x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x= 2 時(shí)取等號(hào)當(dāng)x= 2 時(shí)，y x(8 2x)的最大值為 8。評注：本題無

4、法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最 大值。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令1 m時(shí),y 2 t4評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分 子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式解：因4x 50,所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又1(4x 2)不是常數(shù)，所以對4x 2要進(jìn)行拆、變式：設(shè)0I，求函數(shù)y4x(3 2x)的最大值。解：02x2x 3 2x0 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)2當(dāng)且僅當(dāng)2x3 2x,即x30,3時(shí)等號(hào)成立。42技巧三:分離2x7x 10(xx 1解析一：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配

5、方湊出含有(例 3.求y1)的值域。x+ 1)的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng)，1,即 一1 I時(shí)，y 2(x 1)4459(當(dāng)且僅當(dāng)x= 1 時(shí)取“=”號(hào))。x 1t=x+ 1，化簡原式在分離求最值。當(dāng)，1,即t =-A求最值。即化為y mg(x)B(A 0, B 0),g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等g(x)式來求最值。a技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x) x的單xx25調(diào)性。例：求函數(shù)y的值域。jx245解：令、x24 t(t 2)，則 y：54 E11 x4tl(t2)廠11因t 0,t - 1，但t-解得t1不在區(qū)間2,，故等號(hào)不成立，考慮單

6、調(diào)性。t1因?yàn)閥 t在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù),所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?練習(xí)求下列函數(shù)的最小值,并求取得最小值時(shí),x的值.(1)yx23x 1(x 0)(2)y 2x(3)y 2sin xsin xX (0,)2 .已知0 x 1,求函數(shù)y、.x(1 x)的最大值.；3.2x3，求函數(shù)x(2 3x)的最大值條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足a b 2，則3a3b的最小值是分析:“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解:3a和3b都是正數(shù),3a3b2 3a3b2 3a b6當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)成立，由ab 2及3a3b得a b1即當(dāng)a是 6.

7、變式：右log4xlog4y2，求1的最小值并求x,y的值xy技巧六：整體代換:多次連用最值定理求最值時(shí)， 要注意取等號(hào)的條件的- 致性2 :已知x 0, y0,且191,求x y的最小值。xy錯(cuò)解：Q x0,y 0,且191,x y19xxyxy，否則就會(huì)出錯(cuò)。b 1時(shí)，3a3b的最小值12故X ymin12。錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式,x y 2 xy等號(hào)成立條件是等號(hào)y，在丄9x y成立條件是-即y 9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用基本不等式處理問題x y52x,y為正實(shí)數(shù)，且x2+y2 = 1 ,分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，單調(diào)性或基本不等式

8、求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。由a0 得，0vbv151正解：Q x0,yc 19彳0,1，x yx y19_y9x10 6 10 16x yx yxy當(dāng)且僅當(dāng)y9x時(shí)，上式等號(hào)成立，又1 91, 可得x4,y12時(shí)，x y16。xyx y時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。變式：（1）若x, y R且2x y1，求1x丄的最小值y已知a, b,x, y R且ax1，求xy的最小值分析：因條件和結(jié)論分別是二

9、次和一次，故采用公式2 . 2a+b ab16t abw18 y當(dāng)且僅當(dāng)t= 4,即b= 3,a= 6 時(shí)，等號(hào)成立。18法二：由已知得：30-ab=a+ 2bva+ 2b22ab30 -ab2 2ab令u=.ab則u2+ 2 ,2u-30w0, - 5.”2Wu 右點(diǎn)評：本題考查不等式 王上.ab（a,b R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已2R）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由知不等式ab a 2b 30(a,ba b此想到不等式ab (a,b R)，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范3x+2yw2(3x)2+(2y)2=2 3x+2y=

10、2 5解法二： 條件與結(jié)論均為和的形式， 設(shè)法直接用基本不等式， 應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式， 再向 “和為定值”條件靠攏。W0,20評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件。 總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“積極創(chuàng)造條件利用基本不等式。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問題19例：已知x 0, y 0且1，求使不等式x y m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。圍變式：1.已知a0,b0,ab (a+b) = 1，求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為 1，求它的面積最大值。技巧九、5、已知

11、解法一:取平方x,y為正實(shí)數(shù)，3x+ 2y= 10,求函數(shù)W=3x+2ya+bw若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,2 2的最值.2 2a+b，本題很簡單W=3x+2y+23x2y=10+2 3x2yw10+(3x)2(2y)2=10+(3x+2y)=變式: W 20 = 2 5求函數(shù) y .歷厲拆莎(丄 x5)的最大值。2 2注意到2x 1 與 5 2x的和為定值。解析：又y 0，所以0 y 2、23當(dāng)且僅當(dāng)2x 1 = 5 2x，即x時(shí)取等號(hào)。2故ymax2 2。正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧,1.已知a, b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2ab bcca1)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c= 1,求證：(1 a)(1-b)(1c) 8abc例 6：已知a、b、cR，且a b c 1。求證:分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)12”連乘，又2 bc，可由此變形入手。a解:Qa、b、c1。2、acb1111112體2壇2云a b c當(dāng)且僅當(dāng)a b c1時(shí)取等號(hào)。3x y19解：令x y k,x 0, y 0,1,x