輸油管線的鋪設(shè)模型

1、一、問題的提出在進(jìn)行輸油管道工程布置中，一般從技術(shù)成熟度、經(jīng)濟(jì)合理性、安全可靠性、健康環(huán)保、功能使用、節(jié)能高效、管理方便為導(dǎo)則。題中提出在鐵路線一側(cè)要建設(shè)兩家煉油廠，同時在鐵路線上建造一個車站，用以運(yùn)送成品油，模式具有一定的普遍性。設(shè)計(jì)中遇到在鐵路線一側(cè)兩個煉油廠的定位問題，以及鐵路線上車站的選址問題。以經(jīng)濟(jì)合理性、功能使用、節(jié)能高效為導(dǎo)則。既要考慮兩煉油廠所在的位置，又要考慮到輸油管線是否共用，還要考慮到城區(qū)輸油管線的附加費(fèi)用問題。而在附加費(fèi)用問題上，又與三個公司的不同評估值有關(guān)。根據(jù)問題中不同的題設(shè)條件，我們要設(shè)計(jì)出相應(yīng)地輸油管線的鋪設(shè)模型，以實(shí)現(xiàn)鋪設(shè)總費(fèi)用最省的目標(biāo)。二、模型假設(shè)1.所有

2、管線的單位鋪設(shè)路線的鋪設(shè)費(fèi)用為統(tǒng)一定值。2.對于所選的任意兩點(diǎn)間的鋪設(shè)路線為直線。3.所有鋪設(shè)管線的技術(shù)、安全有很好的保障。4.煉油廠、車站分別用點(diǎn)表示5.鐵道路線用直線表示三、符號說明A表示郊區(qū)的煉油廠 B表示城區(qū)的煉油廠C表示車站S表示鋪距設(shè)油管線的總長度P表示到A、B、C三點(diǎn)離之和最小的點(diǎn)M表示建設(shè)運(yùn)輸油管所用總費(fèi)用L表示鐵路線表示每單位非共用鋪設(shè)油管的鋪設(shè)費(fèi)用表示每單位共用鋪設(shè)油管的鋪設(shè)費(fèi)用表示B、C兩點(diǎn)間的距離表示A、C兩點(diǎn)間的距離表示A、B兩點(diǎn)間的距離表示A、P兩點(diǎn)間的距離表示B、P兩點(diǎn)間的距離表示C、P兩點(diǎn)間的距離表示公司收取的單位附加費(fèi)用四、問題分析本文以運(yùn)輸油管線鋪設(shè)費(fèi)用最省

3、為指導(dǎo)思想進(jìn)行分析，在兩個煉油廠的定位問題及鐵路線上車站的選址問題上。首先由幾何知識分析出車站相對于兩個煉油廠應(yīng)設(shè)的最優(yōu)位置，其次針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形進(jìn)行分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。鋪設(shè)管線費(fèi)用最省，實(shí)際上相當(dāng)于鋪設(shè)管線長度的總和最短。從而引申為最短網(wǎng)路問題，即連接個點(diǎn)的最短網(wǎng)絡(luò)路徑可能是連接它們的最小生成樹。17世紀(jì)初，費(fèi)馬（Fermat）提出過如下問題：給定的平面上三個點(diǎn)A、B、C，求第四點(diǎn)P，使P到三點(diǎn)的距離最小。托里塞利給出了解答：若A、B、C組成的三角形中存在一內(nèi)角大于或等于,則不必添加P，A、B、C的最小生成樹（的周長）即是最短網(wǎng)絡(luò)。若三角形的各內(nèi)角

4、均小于，此時最小生成樹（費(fèi)馬點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離之和）即是最短網(wǎng)絡(luò)，費(fèi)馬點(diǎn)指的是以三角形的各邊為底邊向三角形的外側(cè)作等邊三角形，所得三個等邊三角形的各頂點(diǎn)與該等邊三角形底邊對應(yīng)的原三角形的頂角連線的交點(diǎn)。由此只需找出“費(fèi)馬點(diǎn)”,初步解決鋪設(shè)管線長度最短的問題。進(jìn)而依次對題中的三個問題提出不同的假設(shè)條件，結(jié)合各題所提出的條件建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并求解，最后對所得結(jié)果進(jìn)行對比分析找到最佳模型。五、模型的建立與求解問題一模型一：兩煉油廠到鐵路線距離相等模型ABCP圖1.1L當(dāng)兩煉油廠到鐵路線距離相同時的模型時L ,過A作其關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)，則，連接交L于點(diǎn)連接若非公用管道，則最短路徑 ， ；若公用管道

5、，則需進(jìn)一步求解費(fèi)馬點(diǎn)P，當(dāng)距離一定，C位置未定時，根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：當(dāng)時，P與C重合，最短路徑 ， ；反之，當(dāng)時，P在的內(nèi)部，最短路徑 ，此時就必須要考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)的相同與否：共用管線費(fèi)用相同時 ;則管線建設(shè)費(fèi)用 M共用管線費(fèi)用相同的情形則 ；則管線建設(shè)費(fèi)用 M 模型二： 兩煉油廠與鐵路線距離不相等模型ABL若非公用管道，則與模型一作出最小路徑點(diǎn)的方法一致， 若公用管道，則需要討論在上游動時，因費(fèi)馬點(diǎn)的變化直接決定著所對應(yīng)三角形的最短路徑，所有三角形的費(fèi)馬點(diǎn)所決定的最短路徑就形成了一個較為復(fù)雜的最短路徑網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)，當(dāng)在和變動時，存在費(fèi)馬點(diǎn)，且在三角形內(nèi)部，同模型一，當(dāng)時；反之

6、，時， ;當(dāng)在左側(cè)，費(fèi)馬點(diǎn)與重合， ，同模型一，當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；當(dāng)在之間時，費(fèi)馬點(diǎn)與重合，此時不存在公用管線的可能， ；當(dāng)在右側(cè)時，費(fèi)馬點(diǎn)與重合， ，同模型一，當(dāng)時， ；當(dāng)時， 由費(fèi)馬點(diǎn)的知識得出，3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)P與C點(diǎn)重合,存在非共用管道鋪設(shè)時的總路線 S ，又有三角形的定理不難證明出 當(dāng)，從圖1.1中通過作圖，求出A、B、C，3個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)P。則最短網(wǎng)絡(luò)距離,即存在有共用管道鋪設(shè)時的總路線 S 由于在問題一中，考慮到了共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形，段鋪設(shè)距離確定之后則費(fèi)用也不難得出，結(jié)果亦為以上兩種情況，如上所求。模型二：兩煉油廠到鐵路線距離不相同的

7、情形類似于模型一中，在兩煉油廠到鐵路線距離不相同時的模型,則兩煉油廠到鐵路線的距離不相等，即 與L不平行 ,在此情形中隨著B點(diǎn)與A點(diǎn)之間的距離發(fā)生亦能發(fā)生變動，則也在變動的過程中。同樣，在確定最短網(wǎng)絡(luò)距離之后也就與鋪設(shè)所花費(fèi)用有關(guān)，以下就此問題做出模型分析。ABCP1.3L在兩煉油廠到鐵路線距離不相同時的模型,同樣類似地給定的平面上三個點(diǎn)A、B、C求出一點(diǎn)到點(diǎn)A、B、C距離之和最小點(diǎn)P，求出費(fèi)馬點(diǎn)P得出最短網(wǎng)絡(luò)。模型如下圖： 由于兩煉油廠到鐵路線距離不相同,與模型一求解類似，只是實(shí)際距離的確定存在差別。則 ，存在共用管線的情況，即鋪設(shè)油管總路線長S 考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的

8、情形共用管線費(fèi)用相同的情形則 ;管線建設(shè)費(fèi)用 M 共用管線費(fèi)用相同的情形則 ；管線建設(shè)費(fèi)用 M ，存在非共用管線的情況，即鋪設(shè)油管總路線長 模型三：兩煉油廠間距不定模型圖1.4 由于模型一求解費(fèi)馬點(diǎn)的過程較為復(fù)雜，現(xiàn)實(shí)生活中操作起來較為麻煩，此時就將問題引入怎樣簡單方便又精確的作出費(fèi)馬點(diǎn)?！耙宰钚∏笞钚　奔丛谥荛L最小的三角形中作最短路徑的費(fèi)馬點(diǎn)。故，以為頂點(diǎn)，以為動點(diǎn)，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，過作直線與的夾角為當(dāng)順時針旋轉(zhuǎn)時，費(fèi)馬點(diǎn)與重合，此時不存在公用管線的可能， ； 反之，存在費(fèi)馬點(diǎn), ，費(fèi)用討論同模型一，當(dāng)時; ,當(dāng) 時， 模型四：兩煉油廠位置固定時車站定位模型介于模型一二在確定車站最優(yōu)位置是具

9、有較大的不確定性和繁瑣性，通過分析前兩模型的形成過程以及研究費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)，再對此進(jìn)行大量推導(dǎo)證明，我們得到一種極為簡單的確定費(fèi)馬點(diǎn)所在位置的方法，進(jìn)而確定無所謂公用與非公用的確定路徑的方法。ABL.圖2.1.2通過研究費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)得出,故，若路徑最短等價(jià)于最小。以為邊作正，過作直線并交于，則 點(diǎn)即為車站的最優(yōu)位置。 通過對模型一定分析過過程中，發(fā)現(xiàn)在確定點(diǎn)A、B后，確定車站站點(diǎn)C，對求最小網(wǎng)絡(luò)距離十分關(guān)鍵，從而結(jié)合模型一引出對C點(diǎn)的確定問題。模型如下： ABCPL圖 2.1.1F模型四的證明： 兩點(diǎn)到直線間的距離相等時證明： PA+PB+PC= 與都為正三角形即又將按順時針旋轉(zhuǎn)，使與重合，在上

10、取一點(diǎn)F，使=PC,連接BF,則;可得 則此時為正三角形即 PB+PA+PC= 由費(fèi)馬點(diǎn)知識可知： 同理可得： 進(jìn)而可求得： 推廣可知 ：同理可以證明兩點(diǎn)間的距離到同一直線不相等時結(jié)論依然成立。 問題二：圖2.1圖中各字母表示的距離（單位：千米） 由勾股定理求得 則有余弦定理得0.8048 20.9955千米 千米所以存在共用鋪設(shè)管線的總路徑比非共用鋪設(shè)管線總路徑短，因此，所采取的最優(yōu)方案為存在共用鋪設(shè)管線。因?yàn)樗泄芫€的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元，在城區(qū)管線鋪設(shè)另有附加費(fèi)用。下面求的在城區(qū)在此情況下所要鋪設(shè)的長度 鋪設(shè)管線的總費(fèi)用 附加費(fèi)用 總費(fèi)用 所有鋪設(shè)費(fèi)用 就資質(zhì)而言，因公司二、三具

11、有相同資質(zhì)，就附加費(fèi)用的高低而言，因公司二高于公司三，則直接排除公司二的被選擇權(quán)，則只在公司一和公司三之間進(jìn)行選擇。1.就資質(zhì)而言，不考慮附加費(fèi)用的多少，因公司一的資質(zhì)高于公司三，則選擇對象為公司一 在此模型下選擇公司一的總費(fèi)用 2.擇取另一種選擇，選擇公司三 在此模型下選擇公司三的總費(fèi)用 方案二：圖中各字母表示的距離（單位：千米） 由勾股定理得 由余弦定理得 由半角定理得 千米 所以存在共用鋪設(shè)管線的總路徑比非共用鋪設(shè)管線總路徑短，因此，所采取的最優(yōu)方案為存在共用鋪設(shè)管線。因?yàn)樗泄芫€的鋪設(shè)費(fèi)用均為每千米7.2萬元，在城區(qū)管線鋪設(shè)另有附加費(fèi)用。下面求的在城區(qū)在此情況下所要鋪設(shè)的長度 鋪設(shè)管線

12、的總費(fèi)用 附加費(fèi)用 總費(fèi)用 就資質(zhì)而言，因公司二、三具有相同資質(zhì)，就附加費(fèi)用的高低而言，因公司二高于公司三，則直接排除公司二的被選擇權(quán)，則只在公司一和公司三之間進(jìn)行選擇。就資質(zhì)而言，不考慮附加費(fèi)用的多少，因公司一的資質(zhì)高于公司三，則選擇對象為公司一 鋪設(shè)過程中總花費(fèi) 若選擇公司三 對比可知，方案二中采取共用且聘請公司三總花費(fèi)較低，為276.4677萬元 對兩方案分析可知:欲使附加費(fèi)用降到最低，相應(yīng)的所鋪設(shè)總路線也在隨著增加。相比之下，有以上兩種方案數(shù)據(jù)可知 而節(jié)省下來的附加費(fèi)用 兩種方案中的總花費(fèi)差值 ： 276.4677- 256.2876=20.180萬元由此說明相應(yīng)附加費(fèi)用減少沒有為總花費(fèi)降低，而對應(yīng)的鋪設(shè)總費(fèi)用的增加速度要比減少附加費(fèi)用的速度大。即：方案一為最優(yōu)方案，鋪設(shè)總費(fèi)用為151.1676萬元；附加總費(fèi)用，如果選擇有甲等資質(zhì)的公司一的附加費(fèi)用為 110.3760萬元，如選擇有已等資質(zhì)低的公司三的附加費(fèi)用為 105.12萬元。問題三:在問題三種提出了，進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。由問題二的求解不設(shè)防設(shè)：PA為A廠到A、