第五節(jié)對面積的曲面積分2ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分二、對面積曲面積分的計算法二、對面積曲面積分的計算法一、曲面面積一、曲面面積（第十章（第十章 第四節(jié)）第四節(jié)）G 表示的幾種幾何形體以及其上的積分：表示的幾種幾何形體以及其上的積分：D閉區(qū)間閉區(qū)間a,bL(平面有界平面有界 閉區(qū)域閉區(qū)域)（平面有限 曲線段）（有限曲（有限曲 面片）面片）( (空間有界空間有界 閉區(qū)域閉區(qū)域) )( (空間有限空間有限 曲線段曲線段) )二重積分二重積分三重積分三重積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分幾何形體上的積分幾何形體上的積分 GfP dg ,;Dfx y d , ,fx y z

2、 dv ,;Lfx y ds , ,fx y z ds 重積分重積分對弧長的第一類曲線積分對弧長的第一類曲線積分對面積的第一類曲面積分對面積的第一類曲面積分( , , )f x y z dS 當(dāng)幾何形體當(dāng)幾何形體G為一光滑曲面為一光滑曲面 時時,相應(yīng)相應(yīng)的積分的積分 ( , , )f x y z dS 曲面面積元素曲面面積元素積分曲面積分曲面 , ,fx y z 就就是是函函數(shù)數(shù)在在曲曲面面 上上的的對面積的曲面積分對面積的曲面積分( (或第一類曲面積分或第一類曲面積分) )若積分曲面是封閉的，則相應(yīng)的曲面積分若積分曲面是封閉的，則相應(yīng)的曲面積分記為記為( , , )f x y z dS (

3、, , )f x y z dS 計算對面積的曲面積分計算對面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分 , ,x y z 在在 上上變變化化？曲面面積元素曲面面積元素設(shè)設(shè)有有界界閉閉曲曲面面xyDxoy 為為 在在面面上上投投影影區(qū)區(qū)域域， ,xyz x yD在在上上偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù). .對應(yīng)的投影區(qū)域為對應(yīng)的投影區(qū)域為,d ,dS 在在 上上任任取取小小曲曲面面塊塊M xyzoxyDdS一、曲面的面積一、曲面的面積 d),(yx :,xyzz x yx yD ，( , , ( , ),M x y z x ydS為為上上任任一一點點( , , ( , ).TdSM x y z x y為為上上過

4、過的的切切平平面面dz 以以邊邊界界為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線，母母線線平平行行于于 軸軸的的( , )zz x y d),(yxMdSxyz To TdA截截切切平平面面為為， .dSdA 曲面塊曲面塊切平面塊切平面塊dS 小小柱柱面面截截曲曲面面為為；dA()dSdAxoyd 與在面上的投影均為與在面上的投影均為當(dāng)當(dāng) 很小時，很小時，d 則有則有 的面積元素：的面積元素： ,ddAxoy 為為在在面面上上的的投投影影cos ,ddA221cos,1xyzz 221xydSzz d d dAn z 221xydAzz d 切平切平(曲曲)面的法向量面的法向量(,1),xynzz (02 ）dSdA SdS

5、 221xydSzz d 的面積元素：的面積元素： 曲面曲面 的面積公式為：的面積公式為： 221xyxyDzzd 計算對面積的曲面積分計算對面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分 , ,x y z 在在 上上變變化化( , , )f x y z dS ？ ,zz x y 221xydSzz d xyxoyD 向向面面投投影影曲面積分元素為曲面積分元素為對面積的曲面積分的計算公式為對面積的曲面積分的計算公式為化為二重積分化為二重積分 22, , ,1xyxyDfx y z dSfx y z x yzz d 221,xydSzx yzx y d :,zz x y 如果曲面 的方程由 x=x(y

6、,z) 或 y=y(x,z)給出，也可類似地把對面積的曲面積分化為yoz面或xoz面上的二重積分。 22, , ,1yzyzDfx y z dsfx y zy zxx d 22, ,1xzxzDf x y z dsfx y x zzyy d :,xx y z :,yy x z 22221dSxyzaz 計計算算，其其中中 ：hOxyzaaaxyD例例1 1被平面被平面 截出的頂部截出的頂部. . , 0zhha 曲面面積元素曲面面積元素它在它在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域222zaxy 的的方方程程為為解解2222:xyDxyah 222221xyadSzz ddaxy Oxyzaaah

7、xyD222adSdaxy 的面積元素=22222211xyDadSdzaxyaxy 222xyDadxdyaxy 2222200ahadda 22Dad da 2lnaah 2222:xyDxyah 222:,zaxyxyz111OxyD,xyzdS 計計算算其其中中 是是三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面和和1xyz 平平面面圍圍成成的的四四面面體體的的整整個個邊邊界界曲曲面面. .例例2 2解解 邊界曲面邊界曲面 由四塊組成：由四塊組成：1234 它們的表達(dá)式分別是它們的表達(dá)式分別是1200:,:,xy1 3 2 4 3401:,:zxyz 于是于是1234xyzdSxyzdS 由于在由于在 , ,0

8、fx y zxyz 所以所以30:z 上上, ,1230 xyzdS 10:,x20:,y xyz111OxyD1 3 2 4 圍成的三角形圍成的三角形. .41,zxy 在在上上：2213xydSzz dd 4又又 在在xoy面上的投影區(qū)域面上的投影區(qū)域xyD001,xyxy是由是由xyz111OxyD4 1xy10 ,10: xxyDxy4xyzdSxyzdS 110031xxdxyxy dy 1231003123xyyxxdx 3101336120 xxdx 2213xydSzz dd 41,zxy 在在上上：0101:,xyDyxx 13xyDxyxyd 例例3 3 計算計算 ，其中其

9、中 為圓柱面為圓柱面 介于平面介于平面 z z =0 =0 和和 z =H(H0)z =H(H0)yzD222dSxyz 這樣就需投影到這樣就需投影到y(tǒng)oz面上，面上，解解 由于由于 不能表示成不能表示成 z=z(x,y) 的形式的形式,且在第一卦限的部分且在第一卦限的部分. 22xRy現(xiàn)寫成現(xiàn)寫成xyzOHR投影區(qū)域投影區(qū)域 為矩形為矩形:yzDHzRy 0 ,0222Ryx 又又有有于是于是0,22 zyxyRyx22221yzRdSxx ddydzRy 22: xRy22222221yzDdSRdydzxyzRzRy 2222001RHRdydzRzRy 02201arctanRHRzd

10、yRRRy 2201arctanRHdyRRy 而而所以所以2201RdyRy 2arcsinlim11 RRRR222arctan.2dSHxyzR 瑕積分瑕積分1112201lim()RRRdy RRRy 小小 結(jié)結(jié)計算對面積的曲面積分計算對面積的曲面積分 化為二重積分化為二重積分1.1.把積分曲面把積分曲面 代入被積函數(shù)；代入被積函數(shù)； 2.2.根據(jù)積分曲面根據(jù)積分曲面 的不同的表示形式，的不同的表示形式，求出曲面面積元素求出曲面面積元素. . 3. 3. 將將 向相應(yīng)的坐標(biāo)面投影，得到二重向相應(yīng)的坐標(biāo)面投影，得到二重積分的積分區(qū)域積分的積分區(qū)域. . ( , , )f x y z dS ,zz x y 代代入入221xydSzz d xyxoyD 向向面面投投影影 :,zz x y 若若 22, , ,1xyxyDf x y z dSf x y z x yzz d 22, , ,1yzyzDf x y z dSf x y zy zxx d 22