定積分及其應用練習帶詳細答案

1、定積分及其應用題一題面：2求由曲線y (x 2)與x軸，直線y 4 x所圍成的平面圖形的面積.答案:32變式訓練一題面：x + 2 2 x0 ,函數(shù)心2cos x0 x j的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面5A.2C. 3積為()B. 2D . 4答案：D.詳解：畫出分段函數(shù)的圖象，如圖所示，貝夠圖象與x軸所圍成的封閉圖形的1 n面積為/淪+今2COS xdx二n2+ 2s in x2= 4.變式訓練二題面：由直線y = 2x及曲線y = 3 x2圍成的封閉圖形的面積為（）A. 2 .3B. 9 2 ,335 c 332D 3答案：詳解：注意到直線y= 2x與曲線y = 3 x2的交點A, B的

2、坐標分別是（一3 ,6）, （1,2）,因此結(jié)合圖形可知，由直線y二2x與曲線y二3 x2圍成的封閉圖形的面積為11 (3 x2 2x)dx = 3x 3X3 x23131=3 X1 一 X13 12 313 X 3_x 33332-3 2二，選 D.題二 題面: 如圖所示，在邊長為 1的正方形OABC中任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為().1 1 1變式訓練一題面：函數(shù)f(x) = sin(必+妨的導函數(shù)y = f (x)的部分圖象如圖所示，其中，P 為圖象與y軸的交點，A, C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點.若在曲線段ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，貝U該點在AB

3、C內(nèi)n答案：一4詳解:n設 A（x0,O），則必。+片 2，二 X。2 s-2 n又y= scos（ sx +妨的周期為：,n n n|ACUS，c 二s+s，0依題意曲線段ABC與x軸圍成的面積為 n n s+S2S Sscos( sx + )dx二2.T |AC| = S，|yB|= s，. nSABC =.2n.滿足條件的概率為一4變式訓練二題面：（2012?福建）如圖所示,在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為（）答案：C.詳解：根據(jù)題意，正方形 OABC的面積為1 X1=1 ,3?而陰影部分由函數(shù) y=x與y=M圍成， 其面積為尬1 （Ji- x） d

4、x=（衛(wèi)/ -） |01,326則正方形OABC中任取一點P,點P取自陰影部分的概率為 、丄；1|國故選C.金題精講題一題面：（識圖求積分，二星）已知二次函數(shù)y = f（x）的圖象如圖所示，則它與 x軸所圍圖形的面積為（）.2 n43nA .B.C.D.-5322答案:變式訓練一題面：1如圖求由兩條曲線y= x2,y = x2及直線y = 1所圍成的圖形的面4積.答案:詳解:得交點A( 1 , 1), B(1 , 1) 得交點 C( 2 , 1), D(2 , 1).y= 1,所求面積1 1 4 S 2 /1 x2 + x2 dx + 2 x2 + 1 dx - S =2-Q變式訓練二題面：例

5、1求在0,2 上，由x軸及正弦曲線 y sinx圍成的圖形的面積答案：-.詳解：y sinx與x軸交于0、2 ，所作出y si nx在0,2上的圖象如右A y求積 s 0sin xdx | 2 sin xdx| ( cosx) |0 ( cosx)|2-題二題面:（作圖求積分，四星）求曲線32y x 6x與曲線y x所圍成的圖形的面積.交點的橫坐標分別為2,0,3 , S2112.變式訓練一題面：2求曲線y x , y x及y 2x所圍成的平面圖形的面積作出y2x ,yx及y2x的圖如右y2xx2x0解方程組2得y2xy4y0yxx1x0解方程組得y2xy1y0所求面積 s0(2x x)dx

6、2x x2)dx10xdx 2(2x x2)dxI 2 12 I 32-x2|0 (x2 x3)|276答：此平面圖形的面積為 -6變式訓練二題面：求由拋物線y28x( y 0)與直線x y 6及y0所圍成圖形的面積答案:詳解:403作出y28x( y 0)及 xy6的圖形如右2y8xx2解方程組得xy 6 0y4解方程組xy 6 0得x6y0y0所求圖形的面積s 0.8xdx；（6 x）dxI2(6xx2)|6240題三題面:（1）由曲線yx，直線yx 2及y軸所圍成的圖形的面積為（2）由曲線2yx與直線yx 2所圍成的封閉圖形的面積為答案:169（1）；（2）32變式訓練一題面:I xE

7、o, i1 2- X, (L 2函數(shù)圖象與x軸圍成封閉區(qū)域的面積為（C.答案：C.詳解:5_一&3- 2變式訓練二題面：f (z)二C05K - x+ljB. 1已知函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（A. 1/2C. 2D . 3/2答案：D.詳解: 由題意圖象與x軸所圍成圖形的面積為1 0(x 1)dx cosxdx2z 121(-x x) Io SInx|2 2故選D .題四題面：2x 1，貝U(導數(shù)與積分結(jié)合，二星)設函數(shù)f(x) xm ax的導函數(shù)為 f(x)2f ( x)dx的值等于.1答案：5.6變式訓練一題面:設函數(shù)f(x) = xm + ax的導函數(shù)f (x)= 2x + 1

8、，貝u 變式訓練二題面：設函數(shù)f(x) = xm + ax的導函數(shù)f(x)= 2x + 1，貝U 2f(x)dx的值等于() 5 1A.B.6 2 10一D.f(x)dx的值等于iB.21D.6A.62c.3答案：A.詳解：由于f(x) = xm + ax的導函數(shù)f(x) = 2x + 1,所以f(x) = x2 + x,于是群(一1125x)dx = #(x2 x)dx = _x6答案：A.詳解： 一x2=一3216由于f(x) = xm + ax的導函數(shù)為f(x) = 2x + 1，所以f(x) = x2 + x,于是211x3 一 x2325if(-x)dx = 2 (x2 x)dx=i

9、題五 題面:（化簡后求積分，四星）（1 ）求2 X1 sin 2xdx0原式 2 sin x cosx dx0o (cosx sin x)dx2 (sinx cosx)dx 2 2 2.4(2)(sin 4 -0 2cos4 x)dx2變式訓練一題面：與定積分/ 0 71 -cos xdx相等的是（）x/ 0”sin；dxD .以上結(jié)論都不對C.x/3 %in 一dx2答案：B.詳解：x 1 cos x= 2si n 2一21 cos xdxxsin dx2變式訓練二題面：4 cosxdx0詳解:n4因為 4 cosxdx sin x00=sin=42所以嚴0s xdx題六題面:(定積分的運用

10、，三星)函數(shù)f(x) = sin( 3X+妨的導函數(shù)y = f (x)的部分圖象如圖所示,其中，P為圖象與y軸的交點，(1)若點P的坐標為0 ,6A, C為圖象與x軸的兩個交點,B為圖象的最低點.2，則若在曲線段 ABC與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在ABC內(nèi)的概率為c冗解析(1)函數(shù)f(x) = sin( 3X +妨求導得，f (x) = 3cos( wx +冊，把 $=_和點60 ,代入得wcos 0 + 6 =解得w= 3 2 6 2nn取特殊情況，在 的條件下，導函數(shù) f (x) = 3cos 3x+ 6，求得A 9 0 ,5 n臨，34 nCT，013 n n，故AABC的面

11、積為$礙=孑爲x 3 = ?曲線段與x軸所圍成的區(qū)域的面積s=4 nn4 n n3 n n頁=-sin -+6 +sin 7+6=2，所以該點在ABC內(nèi)的概率為S/ABCP=sn4.同類題一題面：設y = f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)= 0有兩個相等的實根，且f(x) = 2x 2.(1) 求y = f(x)的表達式；求y = f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.答案：(1) f(x) = x2 2x+ 1.1(2) .3詳解：(1)設 f(x)= ax2 + bx + c(a 和),則 f(x) = 2ax + b.又 f (x) = 2x 2 ,所以 a = 1 , b = 2，

12、即 f(x)=x2 2x+ c.又方程f(x) = 0有兩個相等實根,所以= 4 4c = 0，即 c= 1. 故 f(x) = x2 2x + 1.(2)依題意，所求面積為1(x2 2x + 1)dx=0(3x3-x2+ x)|1 =-同類題二題面： 設y=f (x)是二次函數(shù)，方程f (x) =0有兩個相等的實根，且 f (x) =2 x+2.(1 )求y=f (x)的表達式；(2)求y=f (x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積.(2)若直線x= t (0vt v 1 =把y = f (x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的 面積二等分，求t的值.答案：(1) f (x) =x2+2x+1.1

13、(2) 3.1(3) t=1 - 32.詳解：(1 )設 f (x) =ax2+ bx+c，則 f (x) =2 ax+ b，又已知 f (x) =2x+2 a=1，b=2. f (x) =x2+2x+c又方程f ( x) =0有兩個相等實根,判別式 Y4 4c=0，即 c=1.故 f( x)=x2+2 x+1.(2 )依題意,有所求面積=01(X22x 1)dx (- x332 0X x) | 1(3 )依題意,t 2i(x 2x 1)dxt(x2 2x 1)dx, (lx3 x23x)|(1x320X X) | tlt3+t2 1+ = -t3 t2+t, 2t3336t2+6t 1=0， 2 (t 1) 3= 1 ,于是t=1 3：思維拓展題一 題面:(幾何法求積分，四星)dx ,1 2x sin xdx1(2)求橢圓2X2 a2b 1的面積S 4 0 a - a2 x2dx4ba. a2 x2dx，轉(zhuǎn)化為圓的面積. 0同類題一題面：求定積分 （-.1 x2 ）dx的值.1答案： 2詳解：1圓的面積.因為S半圓-，又在x軸上方.1（-. 1 x ）dx表示圓x2+ y2