第四章數(shù)字特征

1、第四章隨機變量的數(shù)字特征 考試內(nèi)容 隨機變量的數(shù)學(xué)期望（均值）、方差、標(biāo)準差及其性質(zhì) 隨機變量簡單函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì) 考試要求1、理解隨機變量的數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望、方差，標(biāo)準差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)）的概念，會運用數(shù)字特征的基本性質(zhì)；掌握常用分布（二項分布、超幾何分布、泊松分布、一維和二維均勻分布、指數(shù)分布、一維和二維正態(tài)分布）的數(shù)字特征（解題時可以直接利用這些數(shù)字特征）2、會求隨機變量簡單函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一維隨機變量的數(shù)字隨特征一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望例1 某商店向工廠進貨，該貨物有四個等級：一、二、三和等外，產(chǎn)品屬于這些等級的概率依次是：0.50、0.30、0.15、

2、0.05. 若商店每銷出一件一等品獲利10.50元，銷出一件二、三等品分別獲利8元和3元，而銷出一件等外品則虧損6元，問平均銷出一件產(chǎn)品獲利多少元？解：假設(shè)該商店進貨量極大，則平均說來其中有一等品件，二等品和三等品和等外品數(shù)分別為件、件、件. 這件產(chǎn)品總的銷售獲利為（元）故平均獲利為（一）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義： 設(shè)隨機變量X的分布列為，若級數(shù)絕對收斂，則稱為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記作EX，即如果級數(shù)發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在. （二）連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分為X的數(shù)學(xué)期望，記為，即；若積分發(fā)散，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在. （

3、三） 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理：設(shè)X是一個隨機變量，為連續(xù)實函數(shù). （1）若X是離散型隨機變量，其概率分布為，若級數(shù)絕對收斂，則存在，且 （2）若X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則存在， 例2 某兩名射手在相同條件下進行射擊，其命中環(huán)數(shù)及其概率如下表，試問哪名射手的技術(shù)更好些？X (環(huán))8910甲0.10.40.5乙0.30.30.4解：甲、乙射手命中環(huán)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為：二、 方差和標(biāo)準差 表征隨機變量取值分散或集中程度的數(shù)字特征在上一節(jié)例2中若甲、乙兩射手在相同條件下射擊命中環(huán)數(shù)及其概率如下表X (環(huán))8910甲0.10.80.1乙0.20.60.2那么甲、乙射手命中環(huán)數(shù)

4、X的數(shù)學(xué)期望為：甲：=乙：=定義：設(shè)是一個隨機變量，如果存在，則稱為的方差，記作，即，稱為標(biāo)準差或均方差. 常用下面的公式： 例3 在有N個人的團體中普查某種疾病患病情況需逐個驗血，若血樣呈陰性則無此疾病，呈陽性則患有該疾病. 為了能減少逐個檢驗的工作量，統(tǒng)計學(xué)家想出一種方法：把k個人的血樣混合后再檢驗，若呈陰性，則k個人都沒有此疾病，這時k個人只需作一次檢驗；若呈陽性，則需要對這k個人逐一再進行檢驗，這時k個人共需要檢驗次. 若該團體中患該疾病的概率為p，且每個人是否患該疾病是相互獨立的. 問這種驗血方法能否減少驗血次數(shù)，若能減少，可以減少多少工作量？解：設(shè)X為以人一組檢驗時，該團體中每個人

5、需要驗血的次數(shù). 按題意，X是只可能取兩個值的隨機變量，其分布為 p 則每人平均的驗血次數(shù)為 時k4=0.5939例5 設(shè)X的概率分布如下表所示，求X012p 解：先求 則 例6 隨機變量X的分布密度為，求， ，解： 所以 常見的概率分布的數(shù)學(xué)期望和方差兩點分布（貝努里分布） 二項分布 ，0，1，n.同理可得 ，泊松分布 ，k = 0，1，2，其中為參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記作. 同理 均勻分布 則稱X服從上的均勻分布，記作. 指數(shù)分布一個隨機變量X，如果其密度函數(shù)為 其中為參數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作. 正態(tài)分布一個連續(xù)型隨機變量X，如果其密度函數(shù)為 其中為常數(shù)，則稱X服

6、從參數(shù)為和的正態(tài)分布，記作. 例1 某廠生產(chǎn)罐裝咖啡，每罐標(biāo)準重量為一磅，長期生產(chǎn)實踐表明自動包裝機包裝的每罐咖啡的重量X服從參數(shù)磅的正態(tài)分布. 為了使重量少于1磅的罐頭數(shù)不超過10%，應(yīng)把自動包裝線控制的平均值調(diào)節(jié)到什么位置上？解：由題設(shè)，若把自動包裝線控制的值調(diào)節(jié)到1磅位置，則有：即重量少于1磅的罐頭占全部罐頭數(shù)的50%，這顯然不符合要求（如圖2-14）. 所以應(yīng)該把自動包裝線控制的值調(diào)到比1磅大一些的位置，使得 或 查附表1可得 ，得 . 即將包裝控制的平均值調(diào)節(jié)到1.0645處，可使得少于1磅的罐頭數(shù)不超過10%. 例2 進行一次考試，如果所有考生的分數(shù)可近似地表示為正態(tài)分布，則通常認

7、為這次考試是可取的，教師經(jīng)常用考試的分數(shù)去估計正態(tài)分布的參數(shù)和，然后把分數(shù)超過的評為等，分數(shù)在到的評為等，分數(shù)在和之間的評為等，分數(shù)在和之間的評為等，分數(shù)小于評為等，試計算各等級所占的比例. 解：等比例：等比例：等比例：等比例：等比例：例3 一道選擇題，應(yīng)該有多少種選擇答案，答對者應(yīng)該給多少分，答錯者應(yīng)該罰多少分，才能使猜答案者沒有收獲呢？解：設(shè)一道題有個選擇答案，其中有一個答案是正確的，答對者給分，答錯者罰分，不答者得0分；以表示亂猜答案者所得的分數(shù)，那么的設(shè)計要滿足，這里以為標(biāo)準. 的分布列為 于是，當(dāng)時，即為選擇所要滿足的關(guān)系式，下面列出若干組具體的選擇數(shù)據(jù)： 3 4 5 3 4 5 2

8、 3 4 4 6 8 其中，第二組數(shù)據(jù)是目前流行的給分標(biāo)準. 例4（分賭本問題）數(shù)學(xué)期望的概念最早來源于賭博. 17世紀中葉一個賭徒向數(shù)學(xué)家帕斯卡（16231662）提出一個使他苦惱長久的分賭本問題：甲、乙兩位賭徒相約，用擲硬幣進行賭博，誰先贏三次就得全部賭本100法郎. 當(dāng)甲贏了二次而乙只贏一次時，他們都不愿意再賭下去了，問賭本應(yīng)如何分呢？1654年帕斯卡提出如下解決方法：在甲已贏二次而乙只贏一次時，最多只需再玩二次即可結(jié)束這場賭博，而再玩二次可能會出現(xiàn)的結(jié)果有以下四種： 結(jié)果次數(shù)1甲甲乙乙2甲乙甲乙帕斯卡的解法引出了數(shù)學(xué)期望的概念，從概率分布的觀點看，甲贏得的法郎數(shù)是一個隨機變量，它只能取

9、兩個值：，取這些值的概率分別為 ，這時甲能夠贏得的法郎數(shù)的期望值為：法郎. 例5 （報童的策略）假設(shè)報童銷售報紙每份0.4元，其成本為0.25元. 報社規(guī)定銷售者不能將賣不完的報紙退回. 如果報童每日的報紙銷售量服從區(qū)間200，400上的均勻分布，為使他的期望利潤達到最大，他每天應(yīng)定多少份報紙（假設(shè)一天只定購一次）？解：設(shè)報童每天定購a份報紙，銷售的份數(shù)為X，據(jù)題意X的概率密度為 用Y表示每日所獲得的銷售利潤，則Y是X的函數(shù)，有 因此，利潤期望值為 令 ，解得 又因為 所以，當(dāng)（份）時，期望利潤最大，且最大利潤約為35.6元. 二維隨機變量的數(shù)字特征定理：設(shè)為二維隨機變量，為二元連續(xù)實函數(shù)，令

10、(1)若是離散型隨機變量，其概率分布 則當(dāng)絕對收斂時，存在，且 (2)若是二維連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，則當(dāng)廣義積分絕對收斂時，存在，且 例1 設(shè)二維隨機變量的概率分布為 YX0 1 2 31 0 3/8 3/8 06/83 1/8 0 0 1/82/8 1/8 3/8 3/8 1/8 1 求 、和. 解：對于離散型分布，可先求出的邊緣分布，如表中所示，則 例2 設(shè)隨機變量和的聯(lián)合密度函數(shù)為求.解： (4.2a)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) (1) 對于任意常數(shù)c，有(2) 對于任意常數(shù)，有(3) 對于任意，有(4) 如果相互獨立，則方差的性質(zhì) (1) ，并且當(dāng)且僅當(dāng)（以概率）為常數(shù)；(2) 對于任意實

11、數(shù)，有；(3) 若兩兩獨立或兩兩不相關(guān)，則例3 利用期望和方差的性質(zhì)，求二項分布隨機變量的期望和方差. 解：表示重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，可以把看作是個相互獨立的、具有相同0-1分布的隨機變量之和，即 的概率分布為 而 則 例4 一機場送客車載20位旅客自機場出發(fā)，該車共設(shè)有10個車站若某站無人下車就不停車，令表示停車次數(shù)，求（假設(shè)每位旅客在各站下車是等可能的，且各旅客是否下車相互獨立）. 解：引入隨機變量 有 ，且根據(jù)題意，任一乘客在第站下車的概率為，則，因此 ，因而 （次）協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差定義： 是二維隨機變量，設(shè)和都存在，如果存在，則稱其為隨機變量與的協(xié)方差，記作，即 通常我們

12、將上式簡化為來計算協(xié)方差. 推論：設(shè)和為任意兩個隨機變量，如果其方差均存在，則的方差也存在，且 例1 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 計算和. 解：先計算、和 ， 又因為 ，所以 同理可得 根據(jù)方差的性質(zhì)，有 相關(guān)系數(shù)定義：是二維隨機變量，設(shè)和的方差均存在，且都不為零，則稱 為與的（線性）相關(guān)系數(shù). 由于，所以. 與協(xié)方差同號，當(dāng)時，稱與之間為正相關(guān)；當(dāng)時，稱與之間為負相關(guān). 例2 設(shè)和是兩個隨機變量，（為常數(shù)），存在且不為零，求. 解：據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)，有 于是 故：當(dāng). 定理：設(shè)是二維隨機變量，均存在且為正，則的充要條件是具有線性關(guān)系，即存在常數(shù)及常數(shù)，使得且當(dāng)當(dāng). 四個等價的結(jié)論：

13、（1）； （2）； （3）與不相關(guān)； （4）； 例3 設(shè)服從上的均勻分布，令，判斷與是否相關(guān)，是否獨立. 解：由于 ， 所以 即 ，從而與不相關(guān)；但很顯然，即與并不獨立. 協(xié)方差具有以下性質(zhì)： 設(shè)隨機變量和的方差存在，則它們的協(xié)方差也存在 （1）； （2） ，其中 為任意常數(shù)； （3）其中為任意常數(shù)； （4）； （5）如果與相互獨立，則. (6) 對于任意和，有(7) 對于任意和，有相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 相關(guān)系數(shù)的如下三條基本性質(zhì)，決定了它的重要應(yīng)用設(shè)是和的相關(guān)系數(shù)，(1) (2) 若和相互獨立，則=0；但是，當(dāng)=0時和卻未必獨立(3) 的充分必要條件是和（以概率）互為線性函數(shù)4、隨機變量的相關(guān)性

14、假設(shè)隨機變量和的相關(guān)系數(shù)存在若= 0，則稱和不相關(guān)，否則稱和相關(guān)(1) 若兩個隨機變量獨立，則它們一定不相關(guān)，而反之未必；(2) 若和的聯(lián)合分布是二維正態(tài)分布，則它們“不相關(guān)”與“獨立”等價矩與協(xié)方差陣定義：設(shè)與為隨機變量，如果存在，則稱為的階原點矩，記為；如果存在，則稱為的階中心矩，記為；如果存在，則稱之為與的階混合中心矩. 顯然，的數(shù)學(xué)期望是的一階原點矩，方差是的二階中心矩，協(xié)方差是與的二階混合中心矩. 一般地，設(shè)維隨機變量的二階中心矩 都存在，則稱矩陣 為維隨機變量的協(xié)方差陣. 根據(jù)協(xié)方差的性質(zhì)，有，因而協(xié)方差陣是對稱方陣. 記 稱為與的相關(guān)系數(shù)，其中，則稱矩陣為維隨機變量的相關(guān)陣，是主

15、對角元素都是1的對稱方陣. 典型例題分析例4.1（函數(shù)的方差） 已知隨機變量的分布函數(shù)為：則= 分析 由分布函數(shù)，可得隨機變量的概率分布例4.2（函數(shù)的期望） 設(shè)隨機變量分布函數(shù)為F(x)，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望 分析 隨機變量只有和1兩個可能值例4.4（函數(shù)的期望） 設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為0.5的泊松分布，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望= 分析 事實上，有例4.6（標(biāo)準差） 假設(shè)無線電測距儀無系統(tǒng)誤差，其測量的隨機誤差服從正態(tài)分布已知隨機測量的絕對誤差以概率0.95不大于20米，則隨機測量誤差的標(biāo)準差= 分析 由條件“無系統(tǒng)誤差”知，測量誤差服從正態(tài)分布，因此，例4.8(方差) 設(shè)隨機變量和獨立同正態(tài)分

16、布，則 = 分析 易見，= 0，= 1，故N(0,1)因此，例4.9 100次獨立重復(fù)試驗成功次數(shù)的標(biāo)準差的最大值等于 分析 100次獨立重復(fù)試驗成功的次數(shù)X服從參數(shù)為的二項分布由于當(dāng)p =0.5時，取最大值這時，可見標(biāo)準差的最大值等于5例4.11（二項分布） 有若干瓶超過保質(zhì)期的飲料，假設(shè)其中變質(zhì)的期望瓶數(shù)為18瓶，標(biāo)準差為4瓶則變質(zhì)飲料的瓶數(shù)的概率分布是 分析 假設(shè)總共有n瓶超過保質(zhì)期的飲料，p是其中變質(zhì)飲料的瓶數(shù)所占的比重顯然變質(zhì)飲料的瓶數(shù)X服從參數(shù)為（n,p）的二項分布現(xiàn)在求n和p由條件知例4.12（協(xié)方差） 假設(shè)隨機變量和的方差都等于1，和的相關(guān)系數(shù)為0.25，則隨機變量和的協(xié)方差為

17、 分析 已知 因此，有例4.19 對于任意隨機變量和，如果，則(A) 和獨立 (B) 和不獨立(C) (D) D 分析 由可見例4.23 設(shè)X在區(qū)間1,1上均勻分布，則和的相關(guān)系數(shù)等于(A) (B) 0 (C) 0.5 (D) 1 A 分析 由于和有明顯的線性關(guān)系：，可見和相關(guān)系數(shù)的絕對值等于1因為和增減變化趨勢恰好相反，所以立即可以斷定例4.26 假設(shè)試驗E以概率p成功，以概率失敗，分別以和表示在n次獨立地重復(fù)試驗中成功和失敗的次數(shù)，則和的相關(guān)系數(shù)等于(A) (B) 0 (C) 1/2 (D) 1 A 分析 因為+=n，即和互為線性函數(shù)，故和的相關(guān)系數(shù)=±1由于=n，可見和為負相關(guān)

18、，故計算題例4.29 (期望的應(yīng)用) 自動生產(chǎn)線加工的零件的內(nèi)徑X(mm)服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12mm的為不合格品，其余為合格品每件產(chǎn)品的成本為10元,內(nèi)徑小于10mm的可再加工成合格品，尚需費用5元全部合格品在市場上銷售，每件合格品售價20元問零件的平均內(nèi)徑取何值時，銷售一個零件的平均銷售利潤最大？解 每件產(chǎn)品的銷售利潤L與自動生產(chǎn)線加工的零件的內(nèi)徑X(mm)有如下關(guān)系：其中是標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)，標(biāo)準正態(tài)密度因此，有由此，可見當(dāng)mm時，平均利潤最大例4.31（函數(shù)的期望） 假設(shè)某季節(jié)性商品，適時地售出1kg可以獲利s元，季后銷售每千克凈虧損t元假設(shè)一家商店在季節(jié)內(nèi)該商品的銷售量X（

19、kg）是一隨機變量，并且在區(qū)間內(nèi)均勻分布問季初應(yīng)安排多少這種商品，可以使期望銷售利潤最大？解 根據(jù)條件隨機變量X的概率密度為：以表示銷售利潤，它與季初應(yīng)安排商品的數(shù)量h有關(guān)由條件，知為求使期望利潤最大的h，我們計算銷售利潤的數(shù)學(xué)期望為此，首先注意到：，銷售利潤的數(shù)學(xué)期望為：對求導(dǎo)并令其等于0，得于是，季初安排千克商品，可以使期望銷售利潤最大， 例4.34（數(shù)學(xué)期望） 獨立地重復(fù)進行某項試驗，直到成功為止，每次試驗成功的概率為p假設(shè)前5次試驗每次的試驗費用為10元，從第6次起每次的試驗費用為5元試求這項試驗的總費用的期望值a解 (1) 以X表示試驗的總次數(shù)，首先求X的概率分布設(shè)=第k次試驗成功（

20、k=1,2,），則；X的概率分布為，其中于是試驗的總次數(shù)X服從參數(shù)為p的幾何分布(2) 現(xiàn)在求試驗的總費用的期望值a由條件知，試驗的總費用為該項試驗的總費用Y是一隨機變量，其期望值為；例如，設(shè)p = 0.8, q = 0.2，得12.498元；設(shè)p = q = 0.5，得19.6875元；設(shè)p = 0.2, q = 0.8，得41.808元；設(shè)p = 0.1, q = 0.9，得70.4775元例4.35（變量和的期望） 假設(shè)n個信封內(nèi)分別裝有發(fā)給n個人的通知，但信封上各收信人的地址是隨機填寫的以X表示收到自己通知的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望和方差解 (1) 記=第k封信的地址與內(nèi)容一致第k個人的通

21、知隨意裝入n個信封中的一個信封，恰好裝進寫有其地址的信封的概率等于/n，故=/n同理引進隨機變量(k=1,n)，則從而，有 (2) 對于任意，乘積只有和兩個可能值，且 因此，對于任意，有(3) 最后求方差DX注 該題的解法具有典型性：求解時并沒有直接利用X的概率分布，僅利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)當(dāng)然，也可以先求X的概率分布，然后再根據(jù)定義求數(shù)學(xué)期望然而,求概率分布需要相當(dāng)繁雜的計算,并且由此概率分布求數(shù)學(xué)期望并非易事例4.38（函數(shù)的期望） 求，假設(shè)隨機變量服從柯西分布，其概率密度為解 由于可見例4.39（數(shù)學(xué)期望） 假設(shè)一種電器設(shè)備的使用壽命X（單位：小時）是一隨機變量，服從參數(shù)為=0.01的

22、指數(shù)分布使用這種電器每小時的費用為C1=3元，當(dāng)電器工作正常時每小時可獲利潤C2=10元此設(shè)備由一名工人操作，每小時報酬為C3=4元，并且按約定操作時間為h小時支付報酬問約定操作時間h為多少時，能使期望利潤最大？解 以Y表示銷售利潤，則由條件知由條件知，隨機變量X的分布函數(shù)和概率密度相應(yīng)為 和 其中期望銷售利潤為將C1=3元，C2=10元C3=4元，以及=0.01代入，得小時例4.45（相關(guān)系數(shù)） 假設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都等于，方差都等于2, 其相關(guān)系數(shù)為0.25，求隨機變量和的相關(guān)系數(shù)解 首先求U和V的數(shù)學(xué)期望和方差，由條件知， 注意到, ， , 有從而，隨機變量和的相關(guān)系數(shù)為例4.4

23、7(相關(guān)系數(shù)) 假設(shè)隨機變量獨立同分布，且方差存在求隨機變量 和 的相關(guān)系數(shù)解 記由于獨立，可見()和()獨立，以及()和()獨立因此于是，由DU= DV=6b，可見4.56（相關(guān)性和獨立性） 對于任意二隨機事件A和B，設(shè)隨機變量 試證明“隨機變量X和Y不相關(guān)” 當(dāng)且僅當(dāng)“事件A和B獨立”證明 易見事件A和B獨立當(dāng)且僅當(dāng)事件A與獨立記，有； 現(xiàn)在求EXY顯然，XY只有1和1兩個可能值 由此可見，隨機變量X和Y不相關(guān)的充分和必要條件是，事件A和獨立，即由獨立事件的性質(zhì)知，若事件A與獨立，則事件A與B也獨立從而隨機變量X和Y不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)事件A和獨立1（87數(shù)4）（8分）已知離散型隨機變量X的概率

24、分布為（1）寫出X的分布函數(shù)；（2）求X的數(shù)學(xué)期望和方差。 （2.3 0.61） 2（88數(shù)4）（7分）假設(shè)有十只同種電器元件，其中有兩只廢品。裝配儀器時，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只；若仍是廢品，則扔掉再取一只。試求在取到正品之前，已取出廢品只數(shù)的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差。()3（89數(shù)4）（3 分）隨機變量相互獨立，其中在區(qū)間0，6上服從均勻，服從正態(tài)分布，服從參數(shù)的泊松分布，記，則 。4(90數(shù)4)（3分）已知隨機變量服從二項分布，且，則二項分布的參數(shù)的值為（ ）。 （）； （）；（）； （）。5(92數(shù)4)（7分）一臺設(shè)備由三大部件構(gòu)，在設(shè)備運轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的

25、概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30。假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨立，以X表示同時需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差。(0.6 0.46)6(95數(shù)4)（3分）隨機變量的概率密度為，則方差= 。7(97數(shù)4) （3分）設(shè)隨機變量滿足，（是常數(shù)），則對于任意常數(shù)，必有（ ）。 （）； （）；（）； （）。8(98數(shù)4)（3分）設(shè)一次試驗成功的概率為p，進行100次獨立重復(fù)試驗，當(dāng)p= 0.5 時，成功次數(shù)的標(biāo)準差最大，其最大為 5 。（第一空2分，第二空1分）。9(00數(shù)4) （3分）設(shè)隨機變量X服從區(qū)間-1，2上均勻分布；隨機變量Y=，方差=。10 (91數(shù)4) （7分）一汽車沿一

26、街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈顯示紅或綠與其它信號燈顯示紅或綠相互獨立，且紅和綠兩種信號顯示時間相等，以X表示該汽車首次遇到紅燈前憶通過的信號燈的個數(shù)。（1）求X的概率分布；（2）求。11(99數(shù)4)（3分）隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，則 1 。12(01數(shù)4)（8分）隨機變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(0,1),(1,0),(1,1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機變量U=X+Y的方差。13(98數(shù)4)（7分）某一箱子裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10、10件，現(xiàn)從中隨機抽取1件，記：，求（1）隨機變量和的聯(lián)合分布；（2）隨機變量和

27、的相關(guān)系數(shù)。 14(01數(shù)4)（3分）將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面朝上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于（ A ） (A); (B)0; (C); (D)1.例(03數(shù)4) （3分）設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為： YX-1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20則X和Y的相關(guān)系數(shù)= 0 。15(03數(shù)4)（4分）隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)=0.5。，則=6。16(04數(shù)4) (4分)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= 。17(05數(shù)4)隨機變量（n>2）獨立同服從N(0,1)分布，記。求（1）的方差，i=1,2,n;(2)與的協(xié)方差；（3）。(13分)(,)18(99數(shù)4)（3分）設(shè)隨機變量的方差存在且不等于0，則是X和Y( C )(A) 不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件； (C) 不相關(guān)的充分必要條件；(B) 獨立的充分條件，但不是必要條件； (D )獨立的充分必要條件。19(00數(shù)4) （8分）設(shè)二維隨機變量的密度函數(shù)為，其中都是二維正態(tài)密度函數(shù)，且它們對應(yīng)的二維隨機變量的相關(guān)系數(shù)分別是和，它們的邊緣密度函數(shù)所對應(yīng)的隨機變量的數(shù)學(xué)期望都是0，方差都是1。（1）求隨機變量X和Y的密度函數(shù)和；（2）求隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)；（3）問X和Y是否獨立？為什么？20(8分)已知隨機變量的聯(lián)合概率分布為(x,