五章節(jié)固體電子論基礎ppt課件

1、第五章 固體電子論根底特魯特以為:金屬中的價電子 電子氣體 同離子碰撞 到達熱平衡 電子挪動 電流 電導,熱導.洛倫茲以為:電子氣體服從麥克斯韋 玻爾茲曼統(tǒng)計.經(jīng)典電子氣的實際計算結果: N個價電子,3N個自在度,總能量 ,只計算動能 , . 經(jīng)典物理困難:實驗值只需實際值的1%.索末菲以為:電子不服從經(jīng)典統(tǒng)計分布而遵守量子3BNK T32VBENK T3()2VVVBECNKT統(tǒng)計分布Fermi-Dirac統(tǒng)計,從而計算出電子氣體的 ,獲得了勝利.布洛赫和布里淵闡明了在周期場中運動的電子的根本特征,為能帶實際的建立奠定了根底.近自在電子模型:自在電子+微擾 能帶 ,根據(jù)禁帶寬度的大小(金屬,

2、絕緣體,半導體) VC5.1電子氣的能量形狀金屬中的價電子好比理想氣體,無相互作用.取平均勢能為能量零點, .電子逸出體外相當于在一定深度的勢阱中運動的粒子所具有的能量.三維無限深勢阱中運動的粒子: ( )0U r22( , )( )( , )( , )2,(0,),( )0 x y zU rx y zEx y zmrrLU rr 阱外（箱外）（0L)阱內(nèi)（箱內(nèi)） 0L取箱內(nèi)勢能,其薛定諤形狀方程為:2212322222( , , )( , , )2( , , )()22xyzx y zEx y zmx y zkkkkmm 2分離變量：（x) （y) （z）令E=222,222mvpEpmv

3、EPkmkm2令E=2222222222222( , , )()( , , )22xyzx y zkkkx y zmmxyz 兩邊同除分別變量:312231312222222123( )( )( )( )( )( )( )( )( )() ( )( )( )xyzzxyyzxzxydxdydzkkkxyz222ddd原式=123( )( )( )xyz222231222222123( )( )( )()( )( )( )xyzdydzdxdydxdzkkkxyz221122222233()()0()()0( )( )0 xyzdxkxdykydzkz方程的解:221122222222332(

4、)( )( )( )( )( )xyzdxkxdxdykydydzkzdz 123( )( )( )xxyyzzik xik xxxik yik yyyik zik zzzxA eB eyA eB ezA eB e邊境條件:在勢箱中運動的電子.10,0 0, 00cossincossinsinsinsin0 xxxxxLxxxxik Lik Lxxxxik Lik Lxxik LikxxxxxxxxxxxLxABABxLA eB eABA eA eA eA ek Lik Lk Lik Lik Lik Lk L 在及處 ， （ x） =0(駐 波 條 件 )當，當用代 入移 項 ：只 有 當si

5、n0sin0,(,0)yzxxxxyyyyxyzzzzzk Lk LnkLk Lnnk LnknnnLk LnnkL同理：任意正整數(shù)123123()()()()s in()s in()s ins ins ins inxxyyzzxyzxyyxAkxyAkyzAkzAkxkykz 只剩下正弦項,余弦項為零.A為歸一化常數(shù),電子能量:推行到無限個線度都是L的勢阱各個勢阱相應位置波函數(shù)相等:2222222222222222()()22()8()8xyzxyzxyzhEkkkmhEnnnmLhEnnnmLxyz粒子的狀態(tài)由一組正整數(shù)（n ,n ,n ）來確定，11( )()xxL()()()1coss

6、in12222xxxxxxxik xik xikxLikxLxxxxik xikxLik LxxxxxxyyzzA eB eA eB eeeek Lik Lk LnnkLnkLnkL即 ：電子波函數(shù):波函數(shù)歸一化:電子能量:()xyzi k x k y k zi k rAeAe 2000212321,11,1LLxxxxxxyzAe dxALALAAAAL 22222222222222222222()2444()8()2xyzyxzxyzEkkkmnnnhmLLLhEnnnL m電子動量:電子速度:駐波:電子的平均動量,平均速度為零,波矢在k空間,由一組量子數(shù) 表示. 為坐標的空間稱為波矢空間

7、也叫k空間.每個點代表一個形狀. km vkvmsinsinsinxyzAk xk yk z2,0sin0 xxxnLkLAk x 當( , , )xyzn n n,xyzk kk 軸相鄰的兩個代表點間的間距為 ,沿 軸相鄰點的間隔也是 .因此k空間每個形狀的代表點占有體積:K空間單位體積含有的形狀點數(shù)目:平面波形狀波矢 由一組量子數(shù) 確定,K空間: 為坐標軸的空間.點:每個答應的形狀可用一個點來代表. xk2L,yykk2L32222()LLLL3()2Lk(,)xyzn n n,xyzkkk222,yxzxyznnnkkkLLL相鄰兩個代表點間距:波矢空間每個形狀代表點占有的體積:K空間單

8、位體積中含有形狀數(shù)目:從 中含有的形狀數(shù):每個 波矢形狀可包容自旋相反的兩個電子,所以體積元中可包容的電子數(shù): 2 (1)22xxnnLLL32222()vLLLL331(2 )Lvxyzkkd kdkdk dk dk體積元3()2Ldk3332 (),:24CCVLdZdkdk LV 晶體體積自在電子能量:2212,2121222kEmmEmdEEdEE122球 面 方 程 .微 分 得 ：自 由 電 子 能 量 等 于 定 植 的 球 面 半 徑2mEk=()2mdk=24EEdEdkk dk2C3能 量之 間 區(qū) 域半 徑 kk+dk球 殼 層體 積 4kV狀 態(tài) 數(shù) ： dZ=4323

9、1222322442(2 )2CCVmEm dEEVmEdE322322,2224(2)24()CChhmdZVEdEmdZVEdEh3122232224()24()CCdZmVEC EdEhmCVh能級密度EdZdE能級密度與能量關系，能量越大，也越大dZdE.電子氣的費米能量Fermi energy of electron gas電子氣體中的粒子：電子，e滿足：泡利不相容原理Paulis exclusion principle 服從費米狄拉克統(tǒng)計Fermi-Dirac statistics電子處在能量為E形狀的幾率：11( ),FBBE Ek Tf Eke為玻爾茲曼常數(shù).是費米能量，或者化

10、學勢意義：體積不變的條件下，系統(tǒng)添加一個電子所需求的自在能是溫度和電子數(shù)的函數(shù)當意義：表示在費米能級 ,被電子填充的幾率和不被電子填充的幾率是相等的 FE( ,)FFEET N01()2FFTEEf E的時候，在能級處，F(xiàn)E費米分布函數(shù)f(E)在不同溫度時的圖像.(1)T=0 k絕對溫度,( )1( )0(,( )0)FEEf Ef Eef E -F1時，（分母e0，即0）eEE 時，分母(2)(3)溫度上升,函數(shù)f(E)發(fā)生大變化的能量范圍變寬,但在任何情況,此能量范圍約為求費米(Fermi)能級根據(jù)能級密度:0, ()( )1FFFFTEEf Ef EEEEEF發(fā)生陡直變化，如果溫度很低，

11、從接近于的數(shù)值下降到時的接近零的數(shù)值。函數(shù)在E=E 附近發(fā)生很大變化。FBEk T附近FE3122232224()24()CCdZmVEC EdEhmCVh能級密度和熱平衡時,電子處于能量為E的形狀的幾率:以及能量EE+dE之間的電子數(shù)(1)當:11( ),FBBE Ek Tf Eke為玻爾茲曼常數(shù).3222( ),4()CmdNC E f E dE CVhFFf(E)=1,當EE根據(jù)T=0f(E)=0,當EE0302,2()3FFFEEdNC EdEEdEC E0FE0設為絕對零度系統(tǒng)的費米能量電子數(shù)：N=CE令 代表系統(tǒng)電子濃度,求數(shù)值估計 CNnV03333000222222302222

12、2222222223023332230.22228()4() ()()33328()333(2)32()()(3)8282222FFFCFCFCFTEmEmNC EVEVhhmENnVhnhnnEnmmmm時,費米能由系統(tǒng)電子濃度：283010/,Fnkg EneV n-31米 ，質量m=9 10個電子伏特.電子氣系統(tǒng)每個電子的平均動能(2) 每個電子的平均動能, 的解釋: 13502220030250023022()52()323()552()3FFEEkinFFkinFFFEdNCCCEE E dEE dEENNNNNC ECEEEC E代入,0FEEdN 030,5kinFTEE即使在絕

13、對零度,電子仍有相當大的平均能量。根據(jù)熱力學溫度是平均動能的標志,T=0時,應該有 , 但是根據(jù)泡利不相容原理,每個形狀只能包容兩個自旋方向相反的電子,因此在絕對零度不能夠一切的電子都填在最低能態(tài). 當此時能量E大于 的能級能夠有電子,能量小于 0kinE0(),01,.BBFFFK TBFBTK TEbEEEEK TEK TEFE-E時，曲線1（1）f(E)=eFEFE的能級能夠是空的,系統(tǒng)總電子數(shù)N.第一項:所以,令120332200( )()22( )33|NCf E E dEfCf E ECEdEE應用分步積分E 時，f(E)0,該項為0.E=0時，該項也為0， 第一項為0.32023

14、fNCEdEE 322( )3g ECE012001020()(),()()()()1()2!BFFFFFFf EIg EdEEfk TEEEg EI gEI gEfIdEEfIEEdEEfIEEdEE F0F計算積分：由于只在附近有較大值g(E)在E=E 附近用泰勒級數(shù)展開：I=I121( )1( ),10,( ),(1),( )FBE Ek TFBBFFBf EeEEfek TEk TEfeeEEEk TffdEdE 令時，積分限發(fā)生變化022012(1)(1)(1)10( 1)1(1)(1)|BBfedeIddeeIefeIk Tk Tde 此為奇函數(shù)此為偶函數(shù)12222220 ,1()

15、2()2(1)BBIfIkTdkTede 22222()2(1)()6BBk Tedek T223211221122( )()( )62( )323( )321( )22BIg Ek Tg Eg ECEg ECEC ECg ECEE 求 的關系:在絕對溫度時系統(tǒng)的總電子數(shù): 3132222222320033222222()22()362312( )()221() 33812BBBBFFFFC k TCICEk TECEEffCEdEg EdEIEEC k Tk TNCECEEE 2系統(tǒng)總電子數(shù)N=-30FFEE和0302033202222()322()() 1() 338FEFBFFFNCEd

16、EC Ek TC EC EE當溫度升高時, 比 小, 金屬的費米能量:幾個幾十個 eV費米溫度: 232023222023020202020()1() 81() ,()821() 381() 12BFFFBFFBFFBFFFBFFFk TEEEk TEEk TEEk TEEEk TEEE根據(jù)FE0FE45,10 10FFBETkk普通溫度下,自在電子能級:當 時, 等能面的半徑為: 23001.380662 10/ ,BBFFFkJ kk TEEE與數(shù)值非常接近.222kEmFEE222FFkEm2212FFFmEkmE物理意義(1)在絕對零度T=0k時,費米面以內(nèi)的形狀都被電子所占據(jù),球外沒

17、有電子. (2) 時,費米球面半徑 ,在 范圍內(nèi)能上的電子被激發(fā)到 之上約 的范圍的能級. 0Tk0FFkkFBFEkT EFEBk T5.3金屬中電子氣的熱容The thermal capacity of electron gas in metal洛倫茲自在電子論,N個自在電子,3N個自在度.服從經(jīng)典的統(tǒng)計規(guī)律:實驗結果，電子比熱只需這個數(shù)值的百分之一.索末菲以為:電子不遵守麥克斯韋-玻爾茲曼分布,而是遵守費米-狄拉克分布.自在電子構成電子氣,有N個自在電子.32BENk T3()2VVBECNkT每個電子平均能量:323020552200( )( )( )( )22( )|( )55EdN

18、ENCf E E dENdNC E f E dEE CE f E dECEf E E dENNCCEf EEfE dENN52520520012,( )01( )0,01252( )5()()()()FBE Ek TFFFFEf Ef EEEeCfEE dENECg EENfEg EdEEE g EE g EE g E 2201252321252002201,0,()62(),5(),3()22( )5()()()()2!()() ()()()2!BFFFFFFFFFFFFFFFFEEEk TCg EENCg EENCg EENCffEE dEg EdENEEg EEEEEEEg EEEEg

19、EEEE F有前節(jié)計算：在點展開：g(E)=g(E )+g代入：gfdEE5122223022020522525022222233000022520222023()562()1() 12251() 58()351() 1() 51282()()3351() 1(5128FBFFBFFFBFFFBBFFFFBFFCCEEk TENNC Ek TEEEk TCEEEk Tk TEEEC EEk TkEE2系統(tǒng)參數(shù)代換，系統(tǒng)電子數(shù)N=320) BFTE :絕對零度每個電子平均能量.2022200022220002202200,3551() 1() 52 1283551()() 5824351() 5

20、1251() 12FBBFFFBBFFFBFFBFTEk Tk TEEEEk Tk TEEEk TEEk TEEB又因為k展開冪級數(shù)，0E每個的電子對熱容量的奉獻:這是費米狄拉克統(tǒng)計方法計算的電子比熱結果.2000220000205()021253(),652BBVVFFBFFBBFk TkECETEEkET EEEk TkE 004528,10 101.38 10/ ,FFBBETkkkj k電子氣對熱容量的貢獻很少.只需費米面附近 范圍的電子受熱激發(fā)才躍遷到較高的能級.每個電子的能量 之間的電子才干被激發(fā).根據(jù)費米統(tǒng)計f(E)曲線可知,電子的能量范圍約為 附近的 .受激發(fā)的電子數(shù)(下頁)B

21、k T003() 2FBFEk TEFEBk T000132230233330000222233330022220003330002220233223223() ()32332333222(1) ,(1)133223 22229933344FFBFEEk TFBFFBFFBBBBFFFFFBBFFFFENCE dECEEk TC EEk TCEC Ek Tk Tk Tk TCECEEEEk Tk TNCECECENE 展開0FE30202() 394FBFNC Ek TNE系統(tǒng)總的電子數(shù)，N受激發(fā)電子數(shù). 每個電子具有熱能每個電子的平均能量是:每個電子對熱容的奉獻:討論:(一)常溫:32Bk

22、T2020()3 932 4()2728BBFBFk TNNk TEk TENNE220022727()84BBVVFFk Tk TECTEE0,1,BFNk TEN闡明對添加系統(tǒng)熱能有奉獻的電子僅占總電子數(shù)的一小部分.所以通常溫度下,金屬的比熱服從杜隆-珀替定律.為了與實驗結果相比較,計算金屬沒摩爾中自在電子對熱容量的奉獻: 每個原子有Z個自在電子(價電子),00202BBBFNN kk TkEV為每摩爾中的原子數(shù)，=R為氣體普適常數(shù).電子氣的摩爾熱容量是：根據(jù)Fermi-Dirac方法計算電子比熱：C常溫晶格對熱容量奉獻為: 電子對比熱奉獻很小.當電子氣與晶格振動對熱容量的奉獻之比:220

23、0020222eBVBFFFk TRZTCN ZkTETRZT2金屬電子比熱常數(shù),數(shù)量級：毫焦耳/摩 開25 /J mol k43433,1212()()()55DaVVBDDTETTCNkRbTT 德拜模型：3205()24eVBDaVFCk TZCET只需當溫度很低時,才思索電子對熱容量的奉獻.二.溫度甚低:金屬的摩爾熱容是兩部分之和:截距r,斜率為b.4312,5eaVVVDRCCCTbTb22VVCbTTCTT與成直線關系2TVCT5.4功函數(shù)和接觸勢差一.功函數(shù):電子在勢阱內(nèi),勢阱深度為 ,費米能級為 電子分開金屬至少需求從外界得到：稱脫出功當電子獲得能量時，電子逸出金屬，產(chǎn)生熱電子

24、發(fā)射電流 發(fā)射電流密度查孫杜師曼公式0EFEFEE 00EFETkBeATj2二接觸電勢差：兩塊不同的金屬和接觸或用導線結合會彼此帶電，產(chǎn)生不同的電勢推導接觸電勢差：TkBBBBTkBBeTmkeJmkeAkTTjTkTjAeTj2222222244,1ln,ln,為斜率直線關系每秒從金屬單位面積逸出電子數(shù)：每秒從金屬單位面積逸出電子數(shù)：假設，金屬逸出的電子數(shù)比金屬多，金屬帶正電，金屬帶負電荷V10,V20.附加靜電勢能：e V1, e V2.發(fā)射的電子數(shù)分別變?yōu)椋篢kBBeTkmI1321)(4TkBBeTkmI2322)(4平衡時： ，由此得： 所以接觸電勢差：此式闡明：接觸電勢差來源于兩

25、塊金屬的脫出功不同脫出功闡明：真空能級與費米能級之差所以，接觸電勢差來源于兩塊金屬的費米能級不一樣高TkeVBBeTkmI/ )(32111)(4TkeVBBeTkmI/ )(32222)(421II 2211eVeV)(11221eVV電子從費米能級高的金屬流到費米能級低的金屬到達平衡時，兩塊金屬的費米能級到達同一高度121FE2FEFE2121VV .布洛赫波晶體電子在規(guī)那么陳列的正離子勢場中運動，勢場具有晶格周期性一維周期勢場：在周期場中運動的電子必需滿足薛定諤方程：布洛赫定理：為任意整數(shù)為一維原胞長度nanaxVxV)()()()()()(2222xkExxVdxdmkk必定是按晶格周期函數(shù)調幅的平面波，即可以寫為此種方式的波函數(shù)稱為布洛赫函數(shù)證明布洛赫定理：平移算符：)()()()(naxuxuxuexkkkikxkT)()()2()()()(2