ch5 大數(shù)定律與中心極限定理

1、第5章大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律、中心極限定理主要討論隨機變量序列的極限穩(wěn)定性和極限分布，內容很豐富本章介紹幾個最簡單的結果這些結果在數(shù)理統(tǒng)計中常用到5.1切比雪夫不等式切比雪夫(Chebyshev)不等式：設隨機變量X的數(shù)學期望與方差 都存在， 則 ，有 ，或證：只對連續(xù)隨機變量簡證之 o x設X的概率密度為，則 ；此不等式將被用于大數(shù)定律和中心極限定理的論證中例1一家飲料廠生產(chǎn)某種規(guī)格的飲料，使用機器包裝，額定標準為每瓶凈含量550凡凈含量在543557 之間被認為包裝合格以往的統(tǒng)計結果表明，凈含量的標準差為2試估計此種飲料包裝的合格率解：用X表示每瓶飲料的凈含量X的分布情況未明，利用

2、切比雪夫不等式作估計可以認為 ， 于是，包裝的合格率 一般地對于隨機變量X，記 ， 由切比雪夫不等式知：， 取 時， 有 ；取 時， 有 5.2 大 數(shù) 定 律大數(shù)定律研究依概率收斂：設 是一個隨機變量序列，簡記為，a為實常數(shù)若 ， 有 ， 則稱 依概率P收斂于a， 記作 ( ) 0 1 Xn a Xn Xn x 依概率收斂的意義是，當 n充分大時，幾乎可以肯定 取值于區(qū)間 定理一 (切比雪夫大數(shù)定律) 設隨機變量序列 相互獨立，即任意有限多個隨機變量 相互獨立，存在期望與方差，且方差有界C： 記 ， 則 ， 有 證： ， 利用切比雪夫不等式得 ，從而 俄國數(shù)學家切比雪夫于1866年證明了此定

3、理，它是大數(shù)定律中相當普遍的結論推論設 相互獨立，服從同一分布，簡稱為獨立同分布存在期望與方差：， 則 ， 含義：在進行精密測量時，為了減少隨機誤差，通常要重復測量多次，測得實測值 ，然后取平均值 來替代真值當 n很大時，的值接近于測量真值的概率愈來愈大它描述了測量時大量測量值的算術平均值的穩(wěn)定性定理二 (伯努利大數(shù)定律) 設在n重伯努利試驗中事件 A發(fā)生了次，記 為事件 A發(fā)生的頻率，概率 ， 則 ， 即 ，有 證：令 則 ， 且相互獨立，服從同一個分布， 由推論得 ，定理二的意義在于，隨著試驗次數(shù) n的增加，隨機事件A發(fā)生的頻率必然會穩(wěn)定于概率，從而以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性在實際

4、應用中，當試驗次數(shù)很多時，就可用頻率來估計概率定理三 (辛欽大數(shù)定律) 設隨機變量序列獨立同分布，存在數(shù)學期望 ， 則 , (在獨立同分布的條件下，只要期望存在，而方差可以不存在，與定理一有區(qū)別)例1.設獨立同分布， 試問 依概率收斂于什么值？解：滿足定理三的條件， 故 ， 即 ， 有 5.3 中心極限定理中心極限定理討論相互獨立的隨機變量序列的極限分布，即依分布收斂下面定理表明，一個隨機變量是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成，其中每一個因素在總的影響中所起的作用都很微小，且相對均勻，則它近似地服從正態(tài)分布這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景定義設隨機變量序列相互獨立，存在期望與方差：

5、， 記和 ， 為的標準化隨機變量，的分布函數(shù) 若 ， 有， 則稱 服從中心極限定理定理四 (獨立同分布的中心極限定理) 設隨機變量序列 獨立同分布，存在期望與方差：， 令 ， 分布函數(shù) 則 ， 成立 定理四表明，對于標準化隨機變量 ，當 n充分大時，漸近地有（近似地服從）， 或 (利用特征函數(shù)法即的Fourier變換可證明定理)得到近似計算公式： ， 這里 定理五 (棣莫弗拉普拉斯(De MoivreLaplace)中心極限定理) 設隨機變量序列， 常數(shù) 記 ， 則成立 ， 0 1P p證：這是定理四的特殊情況， 獨立同分布， 由定理四得 ，定理五表明，若 ，則當 n充分大(一般要求)時有近似

6、計算公式：， (*) 這里關于式(*)的說明： 因為二項分布是離散分布，而正態(tài)分布是連續(xù)分布，經(jīng)驗表明，對于正整數(shù)，若采用連續(xù)性修正公式 進行近似計算，可提高精度例1. 一家電子管廠生產(chǎn)36W規(guī)格的日光燈管， 由于生產(chǎn)過程中隨機因素的影響， 每支燈管的功率在區(qū)間34W, 38W上均勻分布 在一路電線上并聯(lián)著此種燈管100支，它們的功率相互獨立試問它們的總功率在3575W3625W之間的概率是多少？解：將100支燈管編號以 表示第 i支燈管的功率，則， 獨立同分布， 記總功率 ， 由于 很大，據(jù)定理四， 所求概率為 例2. 某城市有三萬人參加一家保險公司的人壽保險，每人每年付保險費十元若投保人一年內死亡，則保險公司向其家屬理賠一千元假設該城市人口的年死亡率為6.4 試