重標(biāo)極差分析法估計(jì)指數(shù)的有效性檢驗(yàn)

1、R/S類方法估計(jì)Hurst指數(shù)的有效性檢驗(yàn)黃詒蓉中山大學(xué)管理學(xué)院，廣州510275，中國(guó)關(guān)鍵詞Hurst指數(shù)；經(jīng)典R/S分析；修正R/S分析；V/S分析；有效性。TestingtheEfficiencyofHurstIndexEstimationBasedonR/STypeMethodYirongHuangSchoolofBusiness,SunYat-SenUniversity,Guangzhou510275,ChinaAbstract:ThispaperstudiestheefficiencyofestimatingHurstindexwithR/Stypeincludingclassic

2、alrescaledrangeanalysis,modifiedrescaledrangeanalysisandrescaledvarianceanalysisbysimulatingFGNserieswithDHM.Thereareevidentdifferencesbetweentheeffectsofthelengthofseries,thetypeofdealingwithshort-rangdependence,strengthofaddedwhitenoiseinseriesonthreeestimators,moreover,theyhaveseparateapplicablei

3、ntervalofestimatingHurstindex.Keywords:HurstIndex;ClassicalRescaledRangeAnalysis;ModifiedRescaledRangeAnalysis;RescaledVarianceanalysis;Efficiency.資助項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目名稱：資本市場(chǎng)的分形結(jié)構(gòu)及其應(yīng)用研究，項(xiàng)目編號(hào)：70501034，項(xiàng)目負(fù)責(zé)人：黃詒蓉）。-1-1引言Hurst（1951）1在長(zhǎng)期的水文研究工作中發(fā)現(xiàn)，河流流量存在較強(qiáng)的長(zhǎng)記憶性。后來(lái)，許多研究發(fā)現(xiàn)，該特性不僅存在于自然界，而且廣泛存在于經(jīng)濟(jì)與管理領(lǐng)域的數(shù)據(jù)中。金融時(shí)間

4、序列長(zhǎng)記憶性的檢測(cè)與建模目前已經(jīng)成為金融計(jì)量領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容。長(zhǎng)記憶性通常從具有雙曲率緩慢衰減形式的自相關(guān)函數(shù)和在零頻率處趨于無(wú)限值的譜密度函數(shù)等兩個(gè)角度進(jìn)行刻畫(huà)，而且均通過(guò)Hurst指數(shù)（下文簡(jiǎn)稱H指數(shù)）來(lái)表征長(zhǎng)記憶性程度。因此，H指數(shù)的估計(jì)與檢驗(yàn)是長(zhǎng)記憶性研究的關(guān)鍵工作，其估計(jì)與檢驗(yàn)的有效性直接影響對(duì)長(zhǎng)記憶性的甄別。盡管現(xiàn)有文獻(xiàn)提出多種估計(jì)H指數(shù)的方法，但是R/S類方法由于其簡(jiǎn)潔性而一直受到研究者的青睞，迄今為止仍是估計(jì)H指數(shù)最常用的方法。該類方法最早是由Hurst（1951）1和Mandelbrot&Wallis（1969）2提出的經(jīng)典R/S分析方法（ClassicalRescaled

5、Range，下文簡(jiǎn)稱CRS），后來(lái)Lo（1991）3通過(guò)考慮序列的短期相關(guān)性對(duì)CRS進(jìn)行了修正而提出修正R/S分析方法（ModifiedRescaledRange，下文簡(jiǎn)稱MRS），Giraitisetal.（2003）4利用部分和序列的方差替代部分和序列的極差對(duì)CRS進(jìn)行了修正而提出V/S分析方法（RescaledVariance，下文簡(jiǎn)稱VS）。雖然MRS和VS均是從不同方面對(duì)CRS進(jìn)行了某種程度的修正，但是能否真正提高H指數(shù)的估計(jì)有效性呢？盡管許多研究文獻(xiàn)對(duì)R/S類分析方法的有效性提出許多質(zhì)疑，但是目前大多數(shù)的研究都是這些估計(jì)方法在某些領(lǐng)域的直接應(yīng)用，而對(duì)它們估計(jì)H指數(shù)的有效性的關(guān)注和研

6、究卻很少。R/S類分析方法由于產(chǎn)生于Hurst的長(zhǎng)期實(shí)踐工作過(guò)程而沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，因此，我們難以使用嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明來(lái)檢驗(yàn)其有效性，但是可以通過(guò)模擬研究方法來(lái)綜合評(píng)價(jià)它們的有效性。鑒于此，為檢驗(yàn)R/S類方法估計(jì)H指數(shù)的有效性，下面將通過(guò)預(yù)先設(shè)定不同的H真實(shí)值并模擬出一系列的FGN序列，然后利用CRS、MRS和VS三種方法分別估計(jì)H指數(shù)，從H估計(jì)值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差兩方面反映序列長(zhǎng)度、短期相關(guān)性處理、白噪聲成分等因素對(duì)H指數(shù)估計(jì)的影響，并綜合比較三種估計(jì)量的有效性，為R/S類分析方法使用者提供有益的參考。-2-2研究方法2.1R/S類分析方法通常將CRS、MRS和VS統(tǒng)稱為R/S類分析方法，原因在于

7、它們具有共同的基本原理，我們可將它們估計(jì)H指數(shù)的基本步驟概括如下：第1步，將原始序列劃分成若干子序列。合適選定某標(biāo)度長(zhǎng)度n，將原始序列ytT劃分成M個(gè)互不重疊的長(zhǎng)度為n的子序列：(y1,y2,yn)，t=1(yn+1,yn+2,y2n)，(y(M1)n+1,y(M1)n+2,yMn)，其中，M=T/n，表示取整，下同；第2步，計(jì)算出與標(biāo)度長(zhǎng)度n所對(duì)應(yīng)的標(biāo)度統(tǒng)計(jì)量。首先計(jì)算出根據(jù)標(biāo)度長(zhǎng)度n所劃分出的所有子序列的局部統(tǒng)計(jì)量LSn,m，然后利用所有局部統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出標(biāo)度長(zhǎng)度n對(duì)應(yīng)的標(biāo)度統(tǒng)計(jì)量SSn，此處標(biāo)度統(tǒng)計(jì)量是所有局部統(tǒng)計(jì)量的平均1M值，即為SSn=LSn,m；Mm=1第3步，改變標(biāo)度長(zhǎng)度n，重復(fù)

8、前面的步驟，這樣得到一系列的標(biāo)度長(zhǎng)度n及其相應(yīng)的標(biāo)度統(tǒng)計(jì)量序列SSn；第4步，若標(biāo)度統(tǒng)計(jì)量序列與標(biāo)度長(zhǎng)度序列存在如下的標(biāo)度關(guān)系：SSnCnH，其中，C為某常數(shù)，則可以采用如下的雙對(duì)數(shù)回歸方式估計(jì)H指數(shù)：log(SSn)=log(C)+Hlog(n)。（1）CRS（Hurst，19511；Mandelbrot，19692）使用如下的局部統(tǒng)計(jì)量為：(R/S)n,m=Rn,m/Sn,m，其中，Rn,m=max（2）1kn(yt=1kt,mn,m)min1kn(yt=1kt,mn,m)為第m個(gè)子樣本的極差，Sn,m=1n1n2(yt,mn,m)為第m個(gè)子樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，n,m=yt,m為第mnt=1nj

9、=1個(gè)子樣本的均值。-3-MRS（Lo，1991）3使用如下的局部統(tǒng)計(jì)量：（R/)n=Rn,m/n,m(q)，（3）其中，Rn,m同上述CRS中的定義，n,m(q)由下式定義：2n,mn1n2q2(q)=(yt,mn,m)+j(q)(yt,mn,m)(ytj,mn,m)nt=1nj=1t=j+1，（3）=+2j(q)2yqjj=11n=(yt,mn,m)2，其中，當(dāng)qn時(shí)，j(q)1j為Bartlett權(quán)重，2n,mnt=1q+12y和j為第m個(gè)子樣本yt,mn的樣本方差和j階樣本自協(xié)方差。q(n)的選擇至關(guān)重t=1要，其直接影響到檢驗(yàn)效果。Lo建議使用如下的q值最優(yōu)選擇公式：2/33n1/3

10、2qopt=，21（4）其中，n為子樣本長(zhǎng)度，為一階自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)值，表示取整。當(dāng)q=0時(shí)，MRS與CRS方法一致。VS（Giraitisetal.，2003）4使用的局部統(tǒng)計(jì)量為：(V/S)n,mVn,m，=Sn,m（5）其中，Vn,m為第m個(gè)子序列部分和序列Skn的方差，具體展開(kāi)形式為：k=122nknk1112=(Skn)=(yt,mn,m)(yt,mn,m)，其它與nk=1nk=1t=1nk=1t=1nVn,m上述MRS中的定義相同。2.2模擬設(shè)計(jì)5由Mandelbrot&VanNess（1968）提出的分形高斯噪聲（FractionalGaussianNoise，簡(jiǎn)稱FGN）是第一

11、個(gè)完整的長(zhǎng)記憶模型，通常定義為具有H指數(shù)的分形布朗運(yùn)動(dòng)BH(t)的一階差分過(guò)程yt|yt=BH(t+1)BH(t)，其第k階自協(xié)方差t=0-4-函數(shù)為：2y(k)=(|k1|2H2|k|2H+|k+1|2H)，2其中，k=,1,0,1,，2=Var(yt)為任意正數(shù)，0H1為H指數(shù)。為模擬上述定義的FGN序列，許多學(xué)者提出了多種模擬算法，比如，基于條件分布的Durbin-Levinson方法（Brockwell&Davis，19916）、基于循環(huán)嵌入矩陣和傅立葉變換的模擬方法（Davies&Harte，19877；Wood&Chan，19948）、基于小波的合成模擬方法（Abtry&Sella

12、n，19969）等。我們通過(guò)反復(fù)模擬比較發(fā)現(xiàn)，這些模擬方法的效果基本一致。因此，本文選擇Davies&Harte（1987）7提出的算法（Davies&HarteMethod，簡(jiǎn)稱DHM）模擬FGN序列。在式（1）給定自協(xié)方差序列kTk=0的條件下，DHM算法模擬長(zhǎng)度為T(mén)的FGN樣本序列的基本步驟如下：ytTt=1T1第1步，計(jì)算序列Ak,T2：k=0T2T1（6）Ak,T=jej=0ikj/T+j=T+12Tjeikj/T，（7）其中，i2=1，該步其實(shí)是對(duì)自協(xié)方差序列0,1,T1,T,T1,1實(shí)施離散傅立葉變換（DFT）；第2步，檢查非負(fù)條件：對(duì)所有k，Ak,T0，該步也很重要，若不滿足非

13、負(fù)條件，則模擬序列是無(wú)效的；T1第3步，模擬產(chǎn)生均值為0、方差為1的獨(dú)立高斯隨機(jī)變量序列Zt2t=0；T1第4步，計(jì)算復(fù)值序列Vk2k=0：TA0,TZ0,k=0,k,T(Z2k1+iZ2k),1kT,Vk=，TAT,TZ2T1,k=T,*V2Tk,Tk2T1,其中，V2*Tk表示V2Tk的共軛復(fù)數(shù)。（8）-5-第5步，通過(guò)離散傅里葉逆變換（IDFT）可得到模擬序列ytT：t=11yt=2T2T1k=0Veki2k(t1)/T，t=1,T。（9）為綜合對(duì)比3種估計(jì)量估計(jì)H指數(shù)的有效性，首先需要對(duì)模擬參數(shù)做出設(shè)定。我們選擇0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9等9

14、個(gè)數(shù)值作為H指數(shù)的真實(shí)值，這些取值范圍基本覆蓋了序列的各種特性：當(dāng)H真實(shí)值介于0與0.5之間時(shí)，序列具有反持續(xù)性（或均值回復(fù)）；當(dāng)H真實(shí)值等于0.5時(shí)，序列沒(méi)有記憶性；當(dāng)H真實(shí)值介于0.5與1之間時(shí)，序列具有長(zhǎng)記憶性（或狀態(tài)持續(xù)性）。當(dāng)考察序列長(zhǎng)度對(duì)H估計(jì)值的影響時(shí)，我們選定27、2、2、2、2、212、2、214等8種長(zhǎng)度，這些長(zhǎng)度基本可覆蓋目前大多數(shù)分析數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度范圍，當(dāng)考察89101113相關(guān)性處理、白噪聲成分對(duì)H估計(jì)值的影響時(shí)，模擬序列長(zhǎng)度均選擇為211，相關(guān)性處理僅考慮一階短期相關(guān)性剔除的情況，白噪聲成分考慮根據(jù)在FGN序列追加的白噪聲成分標(biāo)準(zhǔn)差與FGN序列標(biāo)準(zhǔn)差之間的4個(gè)比值0、0

15、.33、0.66、1.0劃分的4種情況。本文的所有運(yùn)行結(jié)果均是在Matlab7.0軟件中自行編寫(xiě)程序得到的，如需源程序可向作者索取。首先，在上述模擬參數(shù)的設(shè)定下，每種情況均模擬出100個(gè)序列，利用3種估計(jì)量分別估計(jì)出每個(gè)序列的H估計(jì)值，這樣每種情況均得到H估計(jì)值序列H100ii=1；其次，分別估計(jì)出在每種情況下H估計(jì)值的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和均方誤差，10011001分別定義為：MHHiMHHi、SDH=100i=199i=1()21100、MSEHHiHT=100i=1()2，從而評(píng)價(jià)序列長(zhǎng)度、相關(guān)性處理和白噪聲成分等每種因素對(duì)3種估計(jì)量估計(jì)H指數(shù)的影響；然后，利用統(tǒng)計(jì)分析中常用的直方圖、JB和KS

16、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)H估計(jì)量的正態(tài)分布特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。-6-3研究結(jié)果3.1序列長(zhǎng)度對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響為反映序列長(zhǎng)度對(duì)H估計(jì)值的影響，我們對(duì)于每個(gè)H真實(shí)值均模擬出100個(gè)序列，然后分別利用CRS、MRS和VS三種估計(jì)量估計(jì)出每個(gè)序列的H指數(shù)，并且計(jì)算其均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別如圖1和圖2所示。是當(dāng)H真實(shí)值介于0至0.6之間時(shí)，估計(jì)偏差較小，VS和MRS所得到的H估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差沒(méi)有顯著差異，但均比CRS要小，因此表明，VS更具有小樣本特性。HHHSDSDHHH2序列長(zhǎng)度對(duì)H估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差的影響3.2相關(guān)性處理對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響我們知道，MRS和VS均在估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差中考慮了序列的短期相關(guān)性，那么-7-在估計(jì)前對(duì)序列進(jìn)行

17、短期相關(guān)性處理是否會(huì)對(duì)這些方法估計(jì)H指數(shù)仍產(chǎn)生顯著的影響呢？這里我們僅考慮剔除一階短期自相關(guān)性的情況。HHMMMHHHH3相關(guān)性處理對(duì)H估計(jì)值均值的影響HHHSDHHH4相關(guān)性處理對(duì)H估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差的影響3.3白噪聲成分對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響在考慮白噪聲成分方面，在利用DHM方法模擬得到的FGN序列基礎(chǔ)上追加各種白噪聲成分，這里以白噪聲成分標(biāo)準(zhǔn)差與FGN序列標(biāo)準(zhǔn)差之間的比值大小表明序列包含白噪聲成分的強(qiáng)弱，選取0、0.33、0.66、1.0等4種情況作為研究對(duì)象。從圖5可看出，隨著白噪聲成分標(biāo)準(zhǔn)差與FGN序列標(biāo)準(zhǔn)差的比值逐漸增加，三種估計(jì)量得到的H估計(jì)值均值均逐漸隨之發(fā)生顯著變化，而且當(dāng)H真實(shí)值處于低

18、端時(shí)，序列所包含的白噪聲成分越強(qiáng)，三種估計(jì)量高估H指數(shù)的程度將逐漸顯著地變大，而當(dāng)H真實(shí)值處于高端時(shí)，序列所包含的白噪聲成分越強(qiáng)，低估H指數(shù)的程度將逐漸變大。從圖6可看出，序列所包含的白噪聲成分-8-的增加將增大H估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差，從而使H指數(shù)的估計(jì)結(jié)果穩(wěn)定性下降?？傮w上，三種估計(jì)量受白噪聲成分的影響大致相同。HHMMMHHHH5白噪聲成分對(duì)H估計(jì)值均值的影響HHHSDHHH6白噪聲成分對(duì)H估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差的影響3.4H估計(jì)量的分布特性本文以統(tǒng)計(jì)分析中常用的直方圖、JB、KS為檢驗(yàn)H估計(jì)量的正態(tài)分布特性。檢驗(yàn)結(jié)果表明，幾乎所有情況下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均是顯著的，具體檢驗(yàn)結(jié)果此處從略。三種H估計(jì)量的抽樣分布形式均與正態(tài)分布存在較大差異，但是VS的H估計(jì)量的差異要小一些。由此表明，R/S類方法得到的H估計(jì)量并不具有正態(tài)分布特性，利用正態(tài)分布對(duì)H指數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)將產(chǎn)生不正確的結(jié)論。3.5三種方法估計(jì)結(jié)果的綜合比較前面我們考察了各種因素對(duì)三種估計(jì)量估計(jì)H指數(shù)的影響。這里在選擇序列長(zhǎng)度為211、不進(jìn)行短期相關(guān)性處理和不追加白噪聲成分的情況下，著重考察在