第六章點(diǎn)估計(jì)

1、第六章 點(diǎn)估計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)與要求掌握求矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的方法，矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的性質(zhì)，估計(jì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。了解點(diǎn)估計(jì)的概念，最優(yōu)無偏估計(jì)的概念。二、 重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：兩種估計(jì)求法，估計(jì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。難點(diǎn)：估計(jì)量的評價(jià)。三、 教學(xué)內(nèi)容§6.1點(diǎn)估計(jì)的基本概念 針對總體的未知參數(shù)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，用作為的近似值（估計(jì)值），這種統(tǒng)計(jì)方法稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。稱統(tǒng)計(jì)量為的估計(jì)量。今后凡求的估計(jì)即求的估計(jì)量，不是求估計(jì)值。§6.2 矩估計(jì)和極大似然估計(jì)一. 矩估計(jì) 原理：（辛欽大數(shù)定律）步驟：1. 求 2. 令 3. 解方程組2.得解，此即的矩陣估計(jì)。例1.是來自母體的樣本，求的矩估計(jì)

2、。例2. ，求的矩估計(jì)。例3. ，求的矩估計(jì)。注：若是的矩估計(jì)，則是的矩估計(jì)。二. 極大似然估計(jì)（最大似然估計(jì)）1. 原理：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有等，若一次試驗(yàn)出現(xiàn)了結(jié)果，則認(rèn)為發(fā)生的概率在所有可能結(jié)果中出現(xiàn)的概率最大。（試驗(yàn)條件最有利于出現(xiàn)）設(shè)總體的分布律為，是樣本值，則發(fā)生事件的概率：。既然在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)結(jié)果（），根據(jù)極大似然原理，則認(rèn)為此概率應(yīng)達(dá)到最大。此時(shí)若有，使，則稱為的極大似然估計(jì)。2. 步驟：1) 寫出似然函數(shù)，為概率函數(shù)）；（概率函數(shù)：當(dāng)總體是離散型時(shí)為事件的概率；當(dāng)總體是連續(xù)型時(shí)為密度函數(shù)值。）2) 求，使，為的極大似然估計(jì)。i) 取對數(shù)ii) 令iii) 解上式得駐

3、點(diǎn)，檢驗(yàn)各駐點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)，若是，則該駐點(diǎn)為所求。例1 ，求的極大似然估計(jì)。例2 ，求的極大似然估計(jì)。例3 ，求的極大似然估計(jì)。例4（）3 極大似然估計(jì)的性質(zhì)定理：是極大似然估計(jì)，存在單值反函數(shù)，則是的極大似然估計(jì)。（此定理對參數(shù)向量也成立）證：（略）例5 （）例6 設(shè)12，15，9，18，13，9，7，11，13，10是來自總體的樣本值，求的極大似然估計(jì)。§6.3估計(jì)量的評價(jià)1、無偏性：定義：是的估計(jì)量，若，則稱是的一個(gè)無偏估計(jì)。如是的無偏估計(jì)，是的無偏估計(jì)。不是總體方差的無偏估計(jì)，因?yàn)椋强傮w方差的無偏估計(jì)。2、有效性：定義：都是的無偏估計(jì)，如果，都存在，且，則稱較更有效。如：，它們都是總體均值的無偏估計(jì)，=，所以較有效?？梢宰C明樣本均值是總體均值的最小方差無偏估計(jì)。3、一致性（相合性、相容性）：定義：是的估計(jì)量，若，則稱是的一致估計(jì)。矩估計(jì)都是一致估計(jì)。如是總體均值的一致估計(jì)