歷年全國高考數(shù)學(xué)真題歸納解析考點(diǎn)5函數(shù)與方程函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、溫馨提示：高考題庫為Word版，請(qǐng)按住Ctrl，滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄?！究键c(diǎn)5】函數(shù)與方程、函數(shù)模型及其應(yīng)用2009年考題1.（2009福建高考）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。據(jù)此可推測，對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)a，b，c，m，n，p，關(guān)于x.0的方程的解集不可能是（ ）A. B C D 【解析】選D.本題用特例法解決簡潔快速，對(duì)方程中分別賦值求出檢驗(yàn)即得. 2. （2009福建高考）若函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25， 則可以是（ ）A. B. C. D. 【解析】選A.的零點(diǎn)為x=,的零點(diǎn)為x=1, 的零點(diǎn)為x=0, 的零點(diǎn)為x=.現(xiàn)在我們來估算的

2、零點(diǎn)，因?yàn)間(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零點(diǎn)x(0, ),又函數(shù)的零點(diǎn)與的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過0.25，只有的零點(diǎn)適合。3. （2009海南寧夏高考）用mina,b,c表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值,設(shè)f（x）=min, x+2,10-x (x 0),則f（x）的最大值為（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【解析】選C.畫出y2x，yx2，y10x的圖象，如右圖，觀察圖象可知，當(dāng)0x2時(shí)，f（x）2x，當(dāng)2x3時(shí)，f（x）x2，當(dāng)x4時(shí)，f（x）10x，f（x）的最大值在x4時(shí)取得為6，故選C。4. （2009湖南高考）設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)取函數(shù)

3、。當(dāng)=時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）A B C D 【解析】選C.函數(shù)，作圖易知，故在上是單調(diào)遞增的. 5. （2009江西高考）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋羲悬c(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則的值為（ ）A B C D不能確定w. 【解析】選B.設(shè)為和軸的交點(diǎn)，則在D內(nèi)由題意得，。6、（2009重慶高考）已知以為周期的函數(shù)，其中。若方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（ ）ABCD【解析】選B.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，將函數(shù)化為方程，實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓，其圖像如圖所示，同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)?shù)脠D像，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖像，由圖易知直線與第二個(gè)橢圓相交，而與第三個(gè)半橢圓無公共點(diǎn)時(shí)，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，將代入得令由同

4、樣因?yàn)榕c第三個(gè)橢圓無公共點(diǎn)，由可計(jì)算得綜上知7.（2009山東高考）若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .【解析】設(shè)函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個(gè)零點(diǎn), 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn),由圖象可知當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),不符合,當(dāng)時(shí),因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直線所過的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方,所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案：.w8. （2009山東高考）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,則 【解析】因?yàn)槭嵌x

5、在R上的奇函數(shù)，且滿足,所以。所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上是增函數(shù),所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù).如圖所示, 那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè)由對(duì)稱性知，所以答案：-89. （2009上海高考）已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足. 若方程有2009個(gè)實(shí)數(shù)解，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為 .【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)得f(0)=0,其余2008個(gè)實(shí)數(shù)解互為相反數(shù)，則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為0。答案：0.10.（2009山東高考）兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，

6、其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.（1）將y表示成x的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。A B C x 【解析】方法

7、一（1）如圖,由題意知ACBC,其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函數(shù)為（2）,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.方法二（1）同上.（2）設(shè),則,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).設(shè)0<m1<m2<160,則 ,因?yàn)?<m1<m2<160,所以4>4×240×2409 m1m2<9×160×160,所以,所以即所以函數(shù)在(

8、0,160)上為減函數(shù).同理,證明函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m1<m2<400,則因?yàn)?600<m1<m2<400,所以4<4×240×240, 9 m1m2>9×160×160所以,所以即所以函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.11. （2009上海高考）有時(shí)可用函數(shù) 描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a

9、與學(xué)科知識(shí)有關(guān)。（1） 證明：當(dāng)時(shí)，掌握程度的增加量總是下降；（2） 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,。當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%，請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科?！窘馕觥浚?）當(dāng)而當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，且>0.3分故單調(diào)遞減當(dāng)，掌握程度的增長量總是下降.6分（2）由題意可知0.1+15ln=0.85.9分 整理得解得.13分由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科.14分w.w.w.2008年考題1.（2008廣東高考）某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48

10、x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為f（x）元，則, 令 得 當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)，因此 當(dāng)時(shí)，f（x）取最小值；答：為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。BCDAOP2.（2008江蘇高考）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處AB20km，BC10km為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)O處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO記鋪設(shè)管道的總長度為ykm

11、（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：（i）設(shè)（rad），將表示成的函數(shù)；（ii）設(shè)（km），將表示成的函數(shù)； （2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短。【解析】（1）（i）由條件知做PQ 垂直平分AB，交AB于點(diǎn)Q，若BAO=(rad) ，則, 故，又OP，所以， 所求函數(shù)關(guān)系式為（ii）若OP=(km) ，則OQ10，所以O(shè)A =OB=所求函數(shù)關(guān)系式為（2）選擇函數(shù)模型（i），令0 得sin ，因?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)， ，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，。這時(shí)點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離AB 邊km處。2007年考題1

12、.（2007湖南高考）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）A4B3C2D1【解析】選B.由圖像易知交點(diǎn)共有3個(gè)。2.（2007安徽高考）定義在R上的函數(shù)f (x)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),T是它的一個(gè)正周期.若將方程f (x)=0在閉區(qū) 間-T,T上的根的個(gè)數(shù)記為n,則n可能為（ ）A. 0B. 1C. 3D. 5【解析】選D定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期，則可能為5。（毫克）（小時(shí)）3.（2007湖北高考）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為

13、常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（II）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么， 藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室【解析】（I）由題意和圖示可知，當(dāng)時(shí)，可設(shè)（為待定系數(shù)），由于點(diǎn)在直線上，；同理，當(dāng)時(shí)，可得（II）由題意可得，即得或或，由題意知至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室答案：（I）（II）4.（2007上海高考）某工程由四道工序組成，完成它們需用時(shí)間依次為天四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：可以同時(shí)開工；完成后，可以開工；完成后，可以開工若該工程總時(shí)數(shù)為9天，則完成工序需要的天數(shù)最大是 【解析】因?yàn)橥瓿珊螅趴梢蚤_工，C完成后，才可以開工，完成A、C、D需用時(shí)間依次為天，且可以同時(shí)開工，該工程總時(shí)數(shù)為9天，。答案：35.（2007上海高考）方程的解是【解析】 （舍去），。答案： 6.（2007上海高考）方程的解是 【解析】答案：7.（2007廣東高考） 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.【解析】(1)若 , ,顯然在上沒有零點(diǎn), 所以 .(2)若 令 , 解得 當(dāng) 時(shí), 恰有一個(gè)零點(diǎn)在上; 當(dāng)，即時(shí)，在上也恰有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí), 則 或解得或綜上所求實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 8.（20