勾股定理(1)(20100408)

1、18.1 勾股定理（1）（20100408）（公開課教案） 福清市高山育才中學(xué)：陳惠增 一、教學(xué)內(nèi)容 本節(jié)課主要內(nèi)容是學(xué)習(xí)勾股定理的內(nèi)容、證明及其簡(jiǎn)單應(yīng)用（人教八下課本P64P66） 二、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能 體驗(yàn)勾股定理的探索過程并理解勾股定理所反映的直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系. 2過程與方法讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)過程，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法. 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀（1）在探索與驗(yàn)證勾股定理的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神通過獲得成功的經(jīng)驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心. （2）使學(xué)生在定理探索的過程中，感受數(shù)學(xué)

2、之美，探究之趣.（3）在數(shù)學(xué)活動(dòng)中使學(xué)生了解勾股定理的歷史，感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情（4）通過介紹勾股定理在中國(guó)古代的歷史，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感. 三、重點(diǎn)難點(diǎn)1重點(diǎn)：（1）探索和驗(yàn)證勾股定理. （2）通過數(shù)學(xué)活動(dòng)體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的感受. 2難點(diǎn)：在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理及用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理 四、 教學(xué)準(zhǔn)備 1.教師準(zhǔn)備：制作課件，設(shè)計(jì)好拼圖（用紙片制作）. 2.學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容 五、教學(xué)方法 引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)法、問題教學(xué)法 六、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境 激趣引新問題1：2002年在北京召開了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧

3、運(yùn)會(huì)”，右上圖就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案.老師點(diǎn)拔：這個(gè)大會(huì)會(huì)徽的圖案的中間幾何圖形見過沒有？在我們的數(shù)學(xué)書中（八下）能否找到？問題2：右上圖是1995年希臘發(fā)行的一枚紀(jì)念一位數(shù)學(xué)家的郵票.你見過郵票上的圖案嗎？（二）實(shí)驗(yàn)操作 探求新知問題3：（了解歷史）相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系 問題4：（探究發(fā)現(xiàn)）讓我們一起探究1：等腰直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)的面積B的面積C的面積圖1圖2ABC圖1ABC圖2（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）得出結(jié)論：等腰直角三角形兩條直角邊上的小正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.（即：等

4、腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）讓我們一起再探究2：任意整數(shù)邊的直角三角形三邊關(guān)系A(chǔ)BC圖4ABC圖3A的面積B的面積C的面積圖3圖4abC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）得出結(jié)論：直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.（即：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）.猜想：任意直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號(hào)語言：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么“割”“補(bǔ)”“拼”老師點(diǎn)拔：在上述兩個(gè)探究問題的過程中要注意兩點(diǎn)：第一，正方形面積C的計(jì)算方法（割、補(bǔ)、拼）；第二，引導(dǎo)最終要聚焦到三個(gè)正方形所圍的直角三角形

5、的三邊數(shù)量關(guān)系上來.cba問題5：（拼圖驗(yàn)證）（課前預(yù)習(xí)、小組討論、匯報(bào)交流）（4人一小組合作探究）ccccba圖1拼一拼:你能利用4塊全等的直角三角板拼出含有兩個(gè)正方形的圖形嗎？有幾種擺法？并利用拼好的圖形對(duì)上述猜想進(jìn)行驗(yàn)證拼圖1：（弦圖的另一種證法）證明：s大正方形=c2 s大正方形=4×ab+(b-a)2ccccab圖2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 c2=a2+b2 拼圖2：證明： s大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2 s大正方形=c2+4×ab=c2+2ab s大正方形=s大正方形 a2+2ab+b2=c2+2ab a2+b2=c2拼圖3：（

6、趙爽利用弦圖證明法）證明：s左圖形= a2+b2 b圖3-1ccaaabb-acc圖3-2ccs右大正方形 = c2s左大正方形= s右大正方形 拼圖4：（傳說中的畢達(dá)哥拉斯證法）acbabc圖4-1證明：s左大正方形=4×ab + a2+b2 =2ab+ a2+b2bc圖4-2as右大正方形=4×ab + c2 =2ab+ c2s左大正方形= s右大正方形 2ab+ a2+b2=2ab+ c2 ba圖5ccba拼圖5：（總統(tǒng)證法-茄菲爾德證法）證明：s梯形= (a+b)(a+b)= (a2+2ab+b2) = （a2+2ab+b2) s梯形=2×ab+ c2=（

7、2ab+c2)s梯形=s梯形（a2+2ab+b2) =（2ab+c2) a2+b2=c2美國(guó)第二十任總統(tǒng)茄菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話. 老師點(diǎn)拔：注意兩點(diǎn)：第一；拼圖1與拼圖3；拼圖2與拼圖4兩兩區(qū)別是：過程與結(jié)果（過程復(fù)雜但證明簡(jiǎn)單，反之圖形簡(jiǎn)單但證明復(fù)雜）;第二，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、面積法；第三，拼圖3的證明過程的兩種圖形變換.（三）得出結(jié)論 應(yīng)用鞏固問題6：文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號(hào)語言：如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么abC結(jié)論變式： 問題7：1、如圖，a=3,b=4.則c=_.2、在ABC中，C=900 ，BC=3，AC=

8、4，,則AB=_.863、在直角三解形中，兩邊長(zhǎng)分別為3、4，,則第三邊長(zhǎng)為_.4、如圖,一個(gè)高6米,寬8米的大門,需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條,則木條的長(zhǎng)為( )A.6米 B.8 米 C.10米 D.12米老師點(diǎn)拔：第一，勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；第二，三種語言的轉(zhuǎn)化；第三，數(shù)學(xué)思想方法的滲透.（四）勾股史話 反思小結(jié)問題8：勾股定理的名稱 勾股定理是我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的一大法寶.在我國(guó)幾何體系中占有十分獨(dú)特的地位.而且它也是中國(guó)兩千多年來數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要的生長(zhǎng)點(diǎn).中國(guó)數(shù)學(xué)中的精髓，如開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等等的產(chǎn)生與發(fā)展，追根溯源都與勾股定理有這樣或那樣的關(guān)系.不僅對(duì)中國(guó)，它的啟示和影響對(duì)世界

9、許多重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)也都很重要.如在西方無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)就應(yīng)直接歸功于勾股定理的發(fā)現(xiàn).在其它文明古國(guó)如古代印度、古代巴比倫、古代埃及等的數(shù)學(xué)發(fā)展史上這一定理也都發(fā)揮過不可估量的作用.毫不夸張地說，它是世界各大文明古國(guó)最早認(rèn)識(shí)也是最廣泛使用的數(shù)學(xué)定理之一.有人把它提為人類科學(xué)史上的十大發(fā)現(xiàn)之一，天文學(xué)家開普勒亦把它稱為幾何定理中的“黃金”，應(yīng)該說勾股定理實(shí)在是受之無愧的！在西方國(guó)家，一般稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理，因?yàn)槿藗兿嘈攀钱呥_(dá)哥拉斯最早提出并證明了這一定理.并且據(jù)說，他在發(fā)現(xiàn)這一結(jié)論時(shí)，欣喜若狂，殺牛百只以供奉神靈.因而這一定理又有了“百牛定理”的稱法.在法國(guó)和比利時(shí)這個(gè)定理被稱為“驢橋定理”.

10、在中世紀(jì)的阿拉伯國(guó)家和印度，這一定理還有一個(gè)綽號(hào)，叫“新娘圖”.至于綽號(hào)由來，現(xiàn)代人眾說紛紜，莫衷一是.在我國(guó)以前也稱這一定理為畢達(dá)哥拉斯定理.五十年代初，曾展開過關(guān)于這一定理命名的討論.有人主張叫“商高定理”.因這一結(jié)論的在我國(guó)最早是由西周初的商高提出的.在數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)一書中，記載有商高與周公的對(duì)話，其中商高提出了“勾三股四弦五”的說法.不過據(jù)推斷，他還只是了解三邊滿足3：4：5關(guān)系的特例情況，普遍性的結(jié)論，由陳子提出.他說：“勾股各自乘，并而開方除之”這是普遍勾股定理在我國(guó)的最早記載.故有人主張應(yīng)稱為“陳子定理 ”.后來決定不用人名，而稱為 “勾股定理”.單就名稱之多，勾股定理就可創(chuàng)下

11、一項(xiàng)平面幾何之最了.問題9：1勾股定理：RtABC中，C=90°，則a2+b2=c22勾股定理適用于任何形狀的直角三角形，在直角三角形中，已知任意兩邊的長(zhǎng)都可以求出第三邊的長(zhǎng).3.了解數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、分類討論、由特殊到一般的思想方法、面積法、割補(bǔ)法.（五）分層作業(yè) 各有所獲必做題：P69-70 第1、2題 選做題：看書中P71-72的證明，上網(wǎng)查閱其他證明方法.（六）課外拓展 全面提升勾股定理的證明 在西方國(guó)家，一般認(rèn)為是由畢達(dá)哥拉斯最早證明的，但他的證明早已失傳，無人知曉.后來的證明是由歐幾里德在幾何原本一書中給出的.在我國(guó)，這一定理的最早證明記載于周髀算經(jīng)一書，書中由公元三世紀(jì)的趙爽給出了定理的一種巧妙證法.關(guān)于中西方勾股定理不同證法，全日制初中義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材(人教版)一共介紹了6種證法，讓學(xué)生開闊眼界，并讓他們感受到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用勾股方圓圖證明勾股定理是多么巧妙，多么的簡(jiǎn)捷，融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，真可謂獨(dú)具匠心.勾股定理除了教材中介紹的6種證法外，還有許多巧妙的證明.千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng).也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單又實(shí)用，更容易吸引人，