數(shù)學奧林匹克題解【A整數(shù)-A2求解021-030】

1、    A2021 設n是固定的正整數(shù)，求出滿足下述性質的所有正整數(shù)的和：在二進制的數(shù)字表示中，正好是由2n個數(shù)字組成，其中有n個1和n個0，但首位數(shù)字不是0【題說】 第二十三屆（1991年）加拿大數(shù)學奧林匹克題2【解】 n1，易知所求和S12n2時，首位數(shù)字為1的2n位數(shù)，在其余2n1位上，只要n個0的位置確定了則n1個1的位置也就確定了，從而這個2n位二進制數(shù)也隨之確定現(xiàn)考慮第k（2nk1）位數(shù)字是1的數(shù)的個數(shù)因為其中n個0的位置只可從2n2個位置（除去首位和第k位）中選擇，故這樣的將所有這樣的2n位二進制數(shù)相加，按數(shù)位求和，便有  

2、60; A2022 在1000，1001，1002，2000中有多少對相鄰的數(shù)滿足下列條件：每對中的兩數(shù)相加時不需要進位？【題說】 第十屆（1992年）美國數(shù)學邀請賽題67或 8時，則當n和n1相加時將發(fā)生進位再若b9而c9；a9而b9或c9則當n和n1相加時也將發(fā)生進位如果不是上面描述的數(shù)，則n有如下形式其中a，b，c0，1，2，3，4對這種形式的n，當n和n1相加時不會發(fā)生進位，所以共有535251156個這樣的n    A2023 定義一個正整數(shù)n是一個階乘的“尾”，如果存在一個正整數(shù)m，使得m！的十進位制表示中，結尾恰好有n個零，那么小于1992的正整數(shù)中

3、有多少個不是階乘的尾？【題說】 第十屆（1992年）美國數(shù)學邀請賽題15【解】 設f（m）為m！的尾則f（m）是m的不減函數(shù)，且當m是5的倍數(shù)時，有f（m）f（m1）f（m2）f（m3）f（m4）f（m5）因此，從f（0）0開始，f（m）依次取值為：0，0，0，0，0；1，1，1，1，1；2，2，2，2，2；3，3，3，3，3；4，4，4，4，4；6，6，6，6，6；1991，1991，1991，1991，1991容易看出如果存在m使f（m）1991，則因而m4×19917964由公式（1）可計算出f（7965）1988，從而f（7975）1991在序列（1）中共有7980項，不同的

4、值有7980/51596個所以在0，1，2，1991中，有19921596396個值不在（1）中出現(xiàn)這就說明，有396個正整數(shù)不是階乘的尾     A2024 數(shù)列an定義如下：a01，a12，an2an（an1）2求a1992除以7所得的余數(shù)【題說】 1992年日本數(shù)學奧林匹克預選賽題1【解】 考慮an以7為模的同余式：a011（mod 7）a122（mod 7）a112252（mod 7）a32（2）261（mod 7）a42（1）21（mod 7）a51（1）20（mod 7）a61021（mod 7）a70（1）21（mod 7）a81120（m

5、od 7）a91021（mod 7）a100121（mod 7）a111122（mod 7）所以，an除以7的余數(shù)以10為周期，故a1992a25（mod 7）    A2025 求所有的正整數(shù)n，滿足等式S（n）S（2n）S（3n）S（n2）其中S（x）表示十進制正整數(shù)x的各位數(shù)字和【題說】 1992年捷克和斯洛伐克數(shù)學奧林匹克（最后一輪）題 3【解】 顯然，n1滿足要求由于對正整數(shù)x，有S（x）x（mod 9），故當n1時，有nS（n）S（2n）2n（mod 9）所以9|n若n是一位數(shù)，則n9，又S（9）S（2×9）S（3×9）S（92）9

6、，故9滿足要求10kn10k1又9 10k，故10k1n10k1若n10k10k1101，則與已知矛盾，從而n10k10k1101（1）令n9m設m的位數(shù)為l（klk1），m1S（n）S（10k10k1101）n）S（10k11）m）S（10k1（m1）（10k110l）（10lm）其中9有k1l個，bici9，i1，2，l所以S（n）9（k1）                     

7、                      （2）由于n是 k1位數(shù)，所以 n99910k11另一方面，當 n99910k11時，S（n）S（2n）S（3n）S（n2）綜上所述，滿足要求的正整數(shù)為n1及n10k1（k1）    A2026 求最大正整數(shù)k，使得3k|（23m1），其中m為任意正整數(shù)【題說】 1992年友誼杯國際數(shù)學競賽十、十一年級題 2【解】

8、 當m1時，23m19，故k2又由于23m1（23）3m11（1）3m11（mod 9）0所以，對任意正整數(shù)m，9|（23m1）即所求k的值為2    最大整數(shù)【題說】 1993年全國聯(lián)賽一試題2（4），原是填空題【解】 因為109333（1031）333（10313）（1031）23×103132）（1031）（10313）91它的個位數(shù)字是8，十位數(shù)字是0     A2028 試求所有滿足如下性質的四元實數(shù)組：組中的任一數(shù)都等于其余三個數(shù)中某兩個數(shù)的乘積【題說】 第十九屆（1993年）全俄數(shù)學奧林匹克十一年級二

9、試題5【解】 設這組數(shù)的絕對值為abcd無論a為b，c，d哪兩個數(shù)的乘積，均有abc，類似地，dbc從而，bcabcdbc，即abcda2所以a0或1，不難驗證，如果組中有負數(shù)，則負數(shù)的個數(shù)為2或3所以，答案為0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1    A2029 對任意的實數(shù)x，函數(shù)f（x）有性質f（x）f（x1）x2如果f（19）94，那么f（94）除以1000的余數(shù)是多少？【題說】 第十二屆（1994年）美國數(shù)學邀請賽題3【解】 重復使用f（x）x2f（x1），有f（94）942f（93）942932f（92）942932922f（91）942932922202f（19）（9493）（9493）（9291）（9291）（2221）（2221）20294（94939221）3064561因此，f（94）除以1000的余數(shù)是561     A2030 對實數(shù)x，x表示x的整數(shù)部分，求使log21log22log