-推理與證明測試題

1、數(shù)學選修2-2推理與證明第I卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中， 只有一項是最符合題目要求的.）1、下列表述正確的是（）.歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理.A. B.2、分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)A .充分條件B 必要條件C.D.，逐步尋求使結(jié)論成立的（）C 充要條件D 等價條件3、在 ABC 中，sinAsinC cosAcosC ,則厶 ABC 一定是（）A.銳角三角形B 鈍角三角形C 直角三角形D 不確定4、 下

2、面使用類比推理正確的是（）A. 直線 a,b,c,若 a/b,b/c,則 a/c.類推出：向量 a,b,c,若 ab,bc,則 a/cB. 同一平面內(nèi)，直線a,b,c,若 a丄c,b丄c,則a/b.類推出：空間中，直線a,b,c,若 a丄c,b丄c,則a/b.C.實數(shù)a,b,若方程x2 ax 5=0有實數(shù)根，則a_4b.類推出：復數(shù)a,b,若方程2 2x ax 0有實數(shù)根，則a -4b .x2y2二r2.類推出:以點（0, 0, 0）為球D.以點（0, 0）為圓心，r為半徑的圓的方程為心,r為半徑的球的方程為 x2 y2 z r2.5、（1）已知pq3=2,求證p q < 2 ,用反證法

3、 證明時，可假設(shè)p q > 2 ;（2）已知a, R , a b ：1,求證方程x2ax F=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)方程有一根石的絕對值大于或等于 1,即假設(shè) > 1,以下結(jié)論正確的是（）A.(1)的假設(shè)錯誤,(2)的假設(shè)正確C.(1)的假設(shè)正確,(2)的假設(shè)錯誤6、觀察式子：1 4 ：3 ,1 * 122231 1 1 1S，1A .1 丐丐山二 -(n > 2)23n2n -11 112n 1、C .1222(n > 2)2 3n n7、已知扇形的弧長為l ,所在圓的半徑為B.（1）與的假設(shè)都正確D.（1）與（2）的假設(shè)都錯誤1117-2 :

4、-，則可歸納出式子為 （）441111-2-匕-（n > 2）23n2n11 11 2n 、2（n > 2）2 3n 2n 11r ,類比三角形的面積公式：S二-底 高，可得22232B .1D .1扇形的面積公式為（）A丄r22B丄|22D .不可類比8、定義A BB C, C D, D A的運算分別對應(yīng)下圖中的F圖中的（A）、（B）所對應(yīng)的運算結(jié)果可能是(1)、(2)、(3)、(4),那么D. C D, A " D9、觀察下列各式：1 =12,2 3 4 =32,3 4 5 6 7 =52,4 5 6 7 8 9 10 =72, 可以得出的一般結(jié)論是()2A. n (

5、n 1) (n 2)(3n 2) = n2B. n (n 1) (n 2)(3n 2)=(2n 1)22C. n(n1)(n2)山(3n -1)= n2D. n(n1)(n2)HI(3n -1)=(2n1)10、用數(shù)學歸納法證明（n +1）（n+2川|（n+n） =2n1 （2n1）,從k到k+1，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A. 2(2 k 1) B. 2k 1Cd2k 3k 111、正整數(shù)按下表的規(guī)律排列則上12510數(shù)應(yīng)丨4 3611II9 8 712I16 1514 1317181920起第2009行,左起第2010列的為（）A. 2009212、為 25 24 23 22 21B.20

6、102C.20092010D.2009 2010了保證信息安全傳輸，有一種秘密密鑰密碼系統(tǒng)（PrivateCryptosystem）,其加密、解密原解密密鑰密碼密文明文A.12B.13C.14D.15Key理如下圖：加密密鑰密碼發(fā)送明文密文現(xiàn)在加密密鑰為y=loga（x，2）,如上所示 朋文“6通過加密后得到密文“ 3再發(fā)送，接受方通過解密密鑰解密得到明文“ 6”問:若接受方接到密文為“4則解密后得明文為（）第H卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分把答案填在題中的橫線上.)13、數(shù)列2,5,11,20, x,47,中的x等于.1 11111314、 已知經(jīng)過計

7、算和驗證有下列正確的不等式:1,11 ,1,2 2323721111 .2廠，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，寫出一個一般性的不等式231515、已知命題：若數(shù)列:an 是等比數(shù)列 ，且 a. aO ,則數(shù)列 bn = Ja1a2 HI an (n 匕 N*)也是等比數(shù)列”可類比得關(guān)于等差數(shù)列的一個性質(zhì)為 .16、 若數(shù)列 a 匚的通項公式 an2(n NJ,記 f (n) = (1 a)(1 a?) (1 -&*),(n +1)試通過計算f(1), f(2), f (3)的值 推測出f(n) =.三、解答題(本大題共6小題，共74分,解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及 演算步驟.)17、(1

8、2 分)”20202。3已知:sin 30 sin 90 sin 150 :2sin 21O sin2 70 sin2130 =-23sin25 sin2 65 sin2125 :2通過觀察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出一般性的命題，并給出的證明18、(12 分)如圖(1),在三角形 ABC中，AB_AC,若AD_BC,則AB2=BDBC;若類比該命題，如圖 (2),三棱錐A - BCD中，AD _面ABC，若 A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為 M，則有什 么結(jié)論？命題是否是真命題.a, b, c, d 滿 足ab = 1, ac bd d，求證a, b, c, d中至少有一個是負數(shù)20、(1

9、2 分)已知數(shù)列 an滿足Sn+ an= 2n+ 1.(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論.21、(12 分)已知命題：若數(shù)列 a 1 為等差數(shù)列，且am =a, an =b (m式n,m, N )則am n =ma _nb ”現(xiàn)已知數(shù)列:bn/(bn0, nNJ為等比數(shù)列，m n且 bm 二 a, bn 二 b(m= n,m, n N ).(1)請給出已知命的證明；類比的方法與結(jié)論，推導出bm -n .22、(14 分)在中學階段，對許多特定集合(如實數(shù)集、復數(shù)集以及平面向量集等)的學習常常是以定義 運算(如四則運算)和研究運算律為主要內(nèi)容現(xiàn)設(shè)集合A

10、由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成，在A上定義一個運算，記為，對于A中的任意兩個元素=(a,b)： =(c,d),規(guī)定:-J -二(ad bc,bd -ac).(1) 計算：(2,3)(-1,4)；(2) 請用數(shù)學符號語言表述運算滿足交換律，并給出證明；若“A中的元素|=(x,y) ”是對Wo A,都有a 口 | = | 口 a = a成立”的充要條件,試求出元素I .參考答案1. D由歸納推理、演繹推理和類比推理的概念知正確2. A由分析法的定義知 A正確.3. B 由已知得 sin AsinC-cosAcosC - -cos(A C) 0, cos(A C) ： 0, A C為銳角，得B為鈍角， A

11、BC為鈍角三角形.4. D若向量b=0,則allc不正確;空間內(nèi)，直線a與b可以相交、平行、異面，故B不正確； 方程Xo2 ixo (-1 i) =0有實根，但 a2 4b不成立；設(shè)點P(x, y, z)是球面上的任一點，由OP = r，得 Jx2 +y2 + z2 = r ,d 正確.5. A用反證法證明時，假設(shè)命題為假，應(yīng)為全面否定.所以p q < 2的假命題應(yīng)為p q 2.6. C由每個不等式的不等號左邊的最后一項的分母和右邊的分母以及不等號左邊的最后一項的分母的底和指數(shù)的乘積減1等于右邊分母可知，選C.7. C三角形的高類比扇形半徑，三角形的底類比扇形的弧.8. B觀察知A表示“

12、| ”，B表示“”表示”，味示“O故選B.9. B等式右邊的底數(shù)為左邊的項數(shù).10. A 當 n =k 時，左邊=(k - 1)(k2)川(k k)當n =k 1 時，左邊二(k 1) 1(k 1) 2 | (k 1) (k 1)=(k2)(k3)(kk)(k k1)(kk 2)(k +k +1)(k +k +2)=(k1)(k2)(kk)'k +1=(k1)(k2)(kk)2(2 k1),從k到k 1,左邊需要增乘的代數(shù)式為2(2k 1).11. D由上的規(guī)律可知，第一列的每個數(shù)為所該數(shù)所在行數(shù)的平方，而第一行的數(shù)則滿足列數(shù)減1的平方再加1依題意有，左起第2010列的第一個數(shù)為200

13、92 1 ,故按連線規(guī)律可知，上起第2009行,左起第2010列的數(shù)應(yīng)為200922009 = 2009 2010 .12. C由其加密、解密原理可知，當x=6時,y=3,從而a =2;不妨設(shè)接受方接到密文為“ 4的明文”為 b,則有 4 =log2(b 2)從而有 b =24 -2 =14.13.325 -2 =3,11 -5 =6,20 -11 =9,. x - 20 =12,47 - x = 15 , x = 321 11n.14. 一般不等式為:1-(N ).2 32 -1215. 若數(shù)列fa-是等差數(shù)列，則數(shù)列b-'1比 山a-也是等差數(shù)列-證明如下：設(shè)等差數(shù)列 江的公差為d

14、 ,則/比山 2-(-_1)d2-d?(- -1)，所以數(shù)列ib-是以Q為首項，d為公差的等差數(shù)列.216. f (-)1 1 1 1a122，a223 ,a3(1+1)2(2+1)31 12 2(3 1)2421 113=(1二)(1 -) ,2 222111同理 f (2) =(1 _a1)(1 a?) =(1 _右)(1 _p)=-23211f(3)二(1 -aj(1 -a2)(1 -as) =(1-認(1 -孑)(123f(1) =1-a1 =1 _122324X X X 2331132435422233441 1 1伽尹虧)(-1)1111 1 1=(1- )(1 )" )

15、(1 ) (1 )(1 ) 2233n¥113243n n 2 n 2=X X X X X XX =22334n 1 n 1 2n 217.解:一般性的命題為 sin2(-60)in2鳥"sin2(二 >60'') =?2證明：左邊1-cos(2： T20°)21 -cos(2 :- -120°)1 -cos 2：2 23cos(2: -120°) cos2: cos(2: -120°)23-2所以左邊等于右邊18. 解:命題是：三棱錐A -BCD中，AD _面ABC若A點在三角形 BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則

16、有Sa abc Sbcm * bcd是一個真命題 證明如下： 在圖中連結(jié)DM，并延長交BC于E ,連結(jié)AE,則有DE _ BC . 因為AD _面ABC ”所以AD _AE.又 AM _DE，所以 AE2 =EM - ED .是 sAabc 二 1bcae2二 bc-em2BC' ED = Sa bcm ° Sabcd .19. 證明 假設(shè)a, b, c, d都是非負實數(shù)，因為a c d =1,所以 a, b, c, d - 0,1,所以 ac W ac W -_c , bd W bd W -_c 2 2所以 ac bd W -_c - =1 ,2 2這與已知ac bd .1

17、相矛盾，所以原假設(shè)不成立，即證得a, b, c, d中至少有一個是負數(shù).3715120. 解:(1) a1=, a2=, a3=，猜測 an=2 n2482n(2)由(1)已得當n = 1時，命題成立；1假設(shè)n= k時，命題成立，即ak= 2 k ,2k當 n = k+ 1 時,a1 + a2 + ak+ ak+1+ ak +1= 2(k+ 1) + 1,且 a1 + a2+ +ak = 2k+1 ak1 12k + 1 ak + 2ak +1 = 2(k + 1) + 1 = 2k + 3,- - 2ak + 1 = 2 + 2 - , ak + 1 = 2 2k 2即當n= k+1時，命題

18、成立.1根據(jù)得n N+ , an= 2 -都成立.a十n：,又aa,ab=an +md2n21. 解:(1)因為在等差數(shù)列an中，由等差數(shù)列性質(zhì)得amn" nd,得 mam.ma mnd,兩式相減得(m _ 門心ma - nb, am n = b mdnam n =nb mnd在等比數(shù)列；bn /中，由等比數(shù)列的性質(zhì)得bm n :=bmnqbm n :=bnmqnmm mnbm n = a qbm n = a qj彳曰m '得.nn cmnbm n =b qbm n =b q，兩式相除得m _n bm nbn又 * = a,b n = b)ma -nbam <1m n22解:(1) (2,3) O (_1,4) =(5,14) 交換律：- P=PQ« ，證明如下：設(shè)：=(a,b) , ： = (c,d)則：LI : = (ad bc, bd - ac),：U : =(c,d)LI (a,b) =(cb da,db - c