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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 選修22綜合測(cè)試時(shí)間120分鐘,滿分150分一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1計(jì)算:()A1iB1iC1i D1i答案B解析1i.2用反證法證明命題“若a,bN,ab能被3整除,那么a,b中至少有一個(gè)能被3整除”,假設(shè)應(yīng)為()Aa,b都能被3整除 Ba,b都不能被3整除Ca,b不都能被3整除 Da不能被3整除答案B解析“至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”3用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212,從nk到nk1時(shí),等式左邊應(yīng)添加的式子是()A(k1)22k2 B(k1)2k2C
2、(k1)2 D(k1)2(k1)21答案B解析當(dāng)nk時(shí),左邊1222(k1)2k2(k1)22212,當(dāng)nk1時(shí),左邊1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212,從nk到nk1,左邊應(yīng)添加的式子為(k1)2k2.4已知函數(shù)f(x),則yf(x)的圖象大致為()答案B解析當(dāng)x1時(shí),y<0,排除A;當(dāng)x0時(shí),y不存在,排除D;當(dāng)x從負(fù)方向無限趨近于0時(shí),y趨近于,排除C.故選B.5已知bn為等比數(shù)列,b52,則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列,a52,則an的類似結(jié)論為()Aa1a2a3a929 Ba1a2a929Ca1a2a92×9 Da1a2a92×
3、9答案D解析由等差數(shù)列的性質(zhì)知,a1a9a2a82a5,故D成立6做直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意位置x處,所受的力F(x)1ex,則質(zhì)點(diǎn)從x10,沿x軸運(yùn)動(dòng)到x21處,力F(x)所做的功是()AeBC2eD答案B解析由W(1ex)dx1dxexdxx|ex|11.7已知復(fù)數(shù)(x2)yi(x,yR)對(duì)應(yīng)向量的模為,則的最大值是()A B C. D答案C解析由|(x2)yi|,得(x2)2y23,此方程表示如圖所示的圓C,則的最大值為切線OP的斜率由|CP|,|OC|2,得COP,切線OP的斜率為,故選C.8設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值,則函數(shù)yxf(x)
4、的圖像可能是()答案C解析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的圖象由f(x)在x2處取極小值知f(2)0且在2的左側(cè)f(x)<0,而2的右側(cè)f(x)>0,所以C項(xiàng)合適函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式結(jié)合命題,對(duì)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)能力提出了較高要求9.觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù),則第6個(gè)圖中有_個(gè)小正方形,第n個(gè)圖中有_個(gè)小正方形()A28, B14,C28, D12,答案A解析根據(jù)規(guī)律知第6個(gè)圖形中有123456728.第n個(gè)圖形中有12(n1).10.給出定義:若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo),即f(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上也可導(dǎo),則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù),記f(x)(f(x),若f(x)<
5、0在D上恒成立,則稱f(x)在D上為凸函數(shù)以下四個(gè)函數(shù)在(0,)上不是凸函數(shù)的是()Af(x)sinxcosx Bf(x)lnx2xCf(x)x32x1 Df(x)xex答案D解析若f(x)sinxcosx,則f(x)sinxcosx,在x(0,)上,恒有f(x)<0;若f(x)lnx2x,則f(x),在x(0,)上,恒有f(x)<0;若f(x)x32x1,則f(x)6x,在x(0,)上,恒有f(x)<0;若f(x)xex,則f(x)2exxex(2x)ex.在x(0,)上,恒有f(x)>0,故選D.二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)11(2014
6、83;北京理,9)復(fù)數(shù)()2_.答案1解析復(fù)數(shù)i,故()2i21.12用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1能被14整除時(shí),當(dāng)nk1時(shí),對(duì)于34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_答案34·34k152·52k1解析nk時(shí),34k152k1能被14整除,因此,我們需要將nk1時(shí)的式子構(gòu)造為能利用nk的假設(shè)的形式.34(k1)152(k1)134·34k152·52k134·52k134·52k134(34k152k1)(5234)52k1,便可得證13在ABC中,D是BC的中點(diǎn),則(),將命題類比到四面體中去,得到一個(gè)類比命題:_.答案在四面
7、體ABCD中,G為BCD的重心,則()14已知函數(shù)f(x)x3ax23ax1在區(qū)間(,)內(nèi)既有極大值,又有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(,0)(9,)解析由題意得y3x22ax3a0有兩個(gè)不同的實(shí)根,故(2a)24×3×3a>0,解得a<0或a>9.15.如圖為函數(shù)f(x)的圖像,f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則不等式x·f(x)<0的解集為_答案(3,1)(0,1)解析x·f(x)<0或(3,1)是f(x)的遞增區(qū)間,f(x)>0的解集為(3,1)(0,1)是f(x)的遞減區(qū)間,f(x)<0的解集為(0
8、,1)故不等式的解集為(3,1)(0,1)三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分)16(2015·山東青島)已知復(fù)數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|.(2)若|z|1,求|zz1|的最大值解析(1)|z1|i(1i)3|i|·|i1|32.(2)如圖所示,由|z|1可知,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是半徑為1,圓心為O(0,0)的圓而z1對(duì)應(yīng)著坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z1(2,2),所以|zz1|的最大值可以看成是點(diǎn)Z1(2,2)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓的半徑)21.17設(shè)函數(shù)f(x)kx33x21(k
9、0)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)的極小值大于0,求k的取值范圍解析(1)當(dāng)k0時(shí),f(x)3x21,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,0),單調(diào)減區(qū)間為(0,)當(dāng)k>0時(shí),f(x)3kx26x3kx(x)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,0),(,),單調(diào)減區(qū)間為(0,)(2)當(dāng)k0時(shí),函數(shù)f(x)不存在極小值當(dāng)k>0時(shí),由(1)知f(x)的極小值為f()1>0,即k2>4,又k>0,k的取值范圍為(2,)18.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù):sin213°cos217°sin13°cos17&
10、#176;;sin215°cos215°sin15°cos15°;sin218°cos212°sin18°cos12°;sin2(18°)cos248°sin(18°)cos48°;sin2(25°)cos255°sin(25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論解析解法一:(1)選擇(2)式,計(jì)算如下:sin215°cos2
11、15°sin15°cos15°1sin30°1.(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sincos(30°).證明如下:sin2cos2(30°)sincos(30°)sin2(cos30°cossin30°sin)2sin(cos30°cossin30°sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二:(1)同解法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30°)sincos(30°).證明如下:sin2cos2
12、(30°)sincos(30°)sin(cos30°cossin30°sin)cos2(cos60°cos2sin60°sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.19.設(shè)a>0且a1,函數(shù)f(x)x2(a1)xalnx.(1)當(dāng)a2時(shí),求曲線yf(x)在(3,f(3)處切線的斜率;(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)解析(1)由已知得x>0.當(dāng)a2時(shí),f(x)x3,f(3),所以曲線yf(x)在(3,f(3)處切線的斜率為.(2)f(x)x(a1).由f(x)0,得x1或xA當(dāng)
13、0<a<1時(shí),當(dāng)x(0,a)時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(a,1)時(shí),f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)xa時(shí)f(x)的極大值點(diǎn),x1是f(x)的極小值點(diǎn)當(dāng)a>1時(shí),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,a)時(shí),f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x(a,)時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)x1是f(x)的極大值點(diǎn),xa是f(x)的極小值點(diǎn)綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),xa是f(x)的極大值點(diǎn),x1是f(x)的極小值點(diǎn);當(dāng)a>
14、;1時(shí),x1是f(x)的極大值點(diǎn),xa是f(x)的極小值點(diǎn)20.(2014·廣東理)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足Sn2nan13n24n,nN*,且S315.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析(1)a1S12a23×124×12a27a1a2S24a33×224×24(S3a1a2)204(15a1a2)20,a1a28聯(lián)立解得,a3S3a1a21587,綜上a13,a25,a37.(2)由(1)猜想an2n1,以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:由(1)知,當(dāng)n1時(shí),a132×11,猜想成立;假設(shè)當(dāng)nk時(shí),猜想成立,即ak2k1,則當(dāng)nk1時(shí),ak1ak·(2k1)332k32(k1)1這就是說nk1時(shí),猜想也成立,從而對(duì)一切nN*,an2n1.21.如圖,某地有三家工廠,分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B及CD的中點(diǎn)P處,已知AB20 km,CB10 km,為了處理三家工廠的污水,現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上(含邊界),且與A,B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠,并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為y km.(1)設(shè)BAOrad,將y表示成的函數(shù)關(guān)系式;(2)確定污水處理廠
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