2015北京中考數(shù)學(xué)試卷與答案word版

1、2015 年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)考試學(xué)校 姓名 準(zhǔn)考證號(hào) 考 1本試卷共 8 頁(yè)，共三道大題，29 道小題，滿(mǎn)分 120 分考試時(shí)間 120 分鐘 生 2在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫(xiě)學(xué)校名稱(chēng)、姓名和準(zhǔn)考證號(hào) 須 3試題答案一律填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效 知 4在答題卡上，選擇題、作圖題用 2B 鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答 5考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回一、選擇題（本題共 30 分，每小題 3 分） 下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的1截止到 2015 年 6 月 1 日，北京市已建成 34 個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水能力達(dá)到 1 40 000

2、立方米，將 1 40 000 用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為A14 ´104B1.4 ´105C1.4 ´106D 0.14 ´1062實(shí)數(shù) a, b, c, d 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，絕對(duì)值最大的是abcd-4 -3 -2 -101234A a B b C c D d3一個(gè)不透明的盒子中裝有 3 個(gè)紅球，2 個(gè)黃球和 1 個(gè)綠球，這些球除了顏色外無(wú)其他差 別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，恰好是黃球的概率為A 16B 13C 12D 234剪紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的為5如圖，直線(xiàn) l1 , l2 , l3 交于一點(diǎn)，直

3、線(xiàn) l4 l1 ，若 Ð1 = 124° ，Ð2 = 88° ，則 Ð3 的度數(shù)為l3 l2l31A 26° B 36° 24C 46° D 56° 1l6如圖，公路 AC, BC 互相垂直，公路 AB 的中點(diǎn) M 與點(diǎn)C A被湖隔開(kāi)，若測(cè)得 AM 的長(zhǎng)為1.2 km，則 M , C 兩點(diǎn)間的M距離為A 0.5 kmB 0.6 kmB CC 0.9 km D1.2 km7某市 6 月份日平均氣溫統(tǒng)計(jì)如圖所示，則在日平均氣 溫這組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)和中位數(shù)分別是A21，21 B21， 21.5C21，22 D22

4、，228右圖是利用平面直角坐標(biāo)系畫(huà)出的故宮博物院的主要 建筑分布圖，若這個(gè)坐標(biāo)系分別以正東、正北方向?yàn)?x 軸、 y 軸的正方向，表示太和門(mén)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,- 1) ，表示九龍壁的點(diǎn)的坐標(biāo)為 (4,1) ，則表示下 列宮殿的點(diǎn)的坐標(biāo)正確的是A景仁宮 (4, 2) B養(yǎng)心殿 (-2, 3) C保和殿 (1, 0)D武英殿 (-3.5, -4)9一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 30 元/次，若購(gòu)買(mǎi)會(huì)員年卡，可享受如下優(yōu)惠：會(huì)員年卡類(lèi)型辦卡費(fèi)用（元）每次游泳收費(fèi)（元）A 類(lèi)5025B 類(lèi)20020C 類(lèi)40015例如，購(gòu)買(mǎi) A 類(lèi)會(huì)員年卡，一年內(nèi)游泳 20 次，消費(fèi) 50 + 25 ´ 20

5、 = 550 元，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于 4555 次之間，則最省錢(qián)的方式為A購(gòu)買(mǎi) A 類(lèi)會(huì)員年卡B購(gòu)買(mǎi) B 類(lèi)會(huì)員年卡C購(gòu)買(mǎi) C 類(lèi)會(huì)員年卡D不購(gòu)買(mǎi)會(huì)員年卡10一個(gè)尋寶游戲的尋寶通道如圖 1 所示，通道由在同一平面內(nèi)的 AB, BC, CA, OA, OB, OC 組成為記錄尋寶者的行進(jìn)路線(xiàn)，在 BC 的中點(diǎn) M 處放置了一臺(tái)定位儀器設(shè)尋寶者行 進(jìn)的時(shí)間為 x ，尋寶者與定位儀器之間的距離為 y ，若尋寶者勻速行進(jìn)，且表示 y 與 x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖 2 所示，則尋寶者的行進(jìn)路線(xiàn)可能為A A ® O ® BB B ® A ® CC B

6、 ® O ® CD C ® B ® OAyOOxBMC圖1圖2二、填空題（本題共 18 分，每小題 3 分）D11分解因式： 5x3 -10x2 + 5x = 3C212 右圖是由射線(xiàn) A B, B C,1+2+3+4+5= C D,D E,組成的平面圖形，則4B 1 E 5 A13九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架它的代數(shù)成就主要包括開(kāi)方術(shù)、正負(fù)術(shù) 和方程術(shù)其中，方程術(shù)是九章算術(shù)最高的數(shù)學(xué)成就九章算術(shù)中記載：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五， 直金八兩問(wèn)：牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有 5 頭牛、2 只羊，值金

7、10 兩；2 頭牛、5 只羊，值金8 兩問(wèn)：每頭牛、每只羊各值金多少兩？”設(shè)每頭牛值金 x 兩，每只羊值金 y 兩，可列方程組為 14關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + 1 = 0 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出一組滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)4a, b 的值： a = , b = 15北京市 20092014 年軌道交通日均客運(yùn)量統(tǒng) 計(jì)如圖所示根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息，預(yù) 估 2015 年北京市軌道交通日均客運(yùn)量約 萬(wàn) 人 次 ， 你 的 預(yù) 估 理 由 是 16閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問(wèn)題：尺規(guī)作圖：作一條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)已知：線(xiàn)段 AB A B小蕓的作法如下：如圖，C（1）分別以點(diǎn)

8、A 和點(diǎn) B 為圓心，大于 1 AB 的長(zhǎng)為半2 A B徑作弧，兩弧相交于 C, D 兩點(diǎn)；D（2）作直線(xiàn) CD 老師說(shuō)：“小蕓的作法正確”請(qǐng)回答：小蕓的作圖依據(jù)是 三、解答題（本題共 72 分，第 1726 題，每小題 5 分，第 27 題 7 分，第 28 題 7 分，第29 題 8 分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程17計(jì)算：18已知 2a2 + 3a - 6 = 0 求代數(shù)式 3a (2a + 1) - (2a + 1)(2a -1) 的值 19解不等式組 ，并寫(xiě)出它的所有非負(fù)整數(shù)解 A20如圖，在ABC 中， AB = AC ， AD 是 BC 邊上的中線(xiàn)，BE AC 于E點(diǎn)

9、 E BDC求證： ÐCBE = ÐBAD 21為解決“最后一公里”的交通接駁問(wèn)題，北京市投放了大量公租自行車(chē)供市民使用到2013 年底，全市已有公租自行車(chē) 25 000 輛，租賃點(diǎn) 600 個(gè)預(yù)計(jì)到 2015 年底，全市將 有公租自行車(chē) 50 000 輛，并且平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量是 2013 年底平均每個(gè)租賃點(diǎn)的公租自行車(chē)數(shù)量的1.2 倍預(yù)計(jì)到 2015 年底，全市 將有租賃點(diǎn)多少個(gè)？DFC22在口 ABCD中，過(guò)點(diǎn) D 作 DE AB 于點(diǎn) E ，點(diǎn) F 在邊 CD 上，DF = BE ，連接 AF ， BF .AEB（1）求證：四邊形 BFDE 是矩形；（2

10、）若 CF = 3 ， BF = 4 ， DF = 5 ，求證： AF 平分 ÐDAB .23在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線(xiàn) y = kx + b(k ¹ 0) 與雙曲線(xiàn) y = 8 的一個(gè)交點(diǎn)為 P(2 ，m) ，x與 x 軸、 y 軸分別交于點(diǎn) A ， B .（1）求 m 的值；（2）若 PA = 2AB ，求 k 的值.24如圖，AB 是 O 的直徑，過(guò)點(diǎn) B 作 O 的切線(xiàn) BM ，弦 CD BM ，M交 AB 于點(diǎn) F ，且= 連接 AC ， AD ，延長(zhǎng) AD 交 BM 地DE點(diǎn) E .OAFB（1）求證：ACD 是等邊三角形；（2）連接 OE ，若 DE

11、= 2 ，求 OE 的長(zhǎng).C25閱讀下列材料：2015 年清明小長(zhǎng)假，北京市屬公園開(kāi)展以“清明踏青，春色滿(mǎn)園”為主題的游園活動(dòng)，雖然氣溫小幅走低，但游客踏青賞花的熱情很高，市屬公園游客接待量約為 190 萬(wàn)人次.其 中，玉淵潭公園的櫻花、北京植物園的桃花受到了游客的熱捧，兩公園的游客接待量分別為38 萬(wàn)人次、 21.75 萬(wàn)人次；頤和園、天壇公園、北海公園因皇家園林的厚重文化底蘊(yùn)與滿(mǎn)園 春色成為游客的重要目的地，游客接待量分別為 26 萬(wàn)人次、20 萬(wàn)人次、17.6 萬(wàn)人次；北京 動(dòng)物園游客接待量為 18 萬(wàn)人次，熊貓館的游客密集度較高.2014 年清明小長(zhǎng)假，天氣晴好，北京市屬公園游客接待量

12、約為 200 萬(wàn)人次，其中，玉 淵潭公園游客接待量比 2013 年清明小長(zhǎng)假增長(zhǎng)了 25%；頤和園游客接待量為 26.2 萬(wàn)人次， 比 2013 年清明小長(zhǎng)假增加了 4.6 萬(wàn)人次；北京動(dòng)物園游客接待量為 22 萬(wàn)人次.2013 年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園、陶然亭公園、北京動(dòng)物園游客接待量分別為 32 萬(wàn)人次、13 萬(wàn)人次、14.9 萬(wàn)人次.根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：（1）2014 年清明小長(zhǎng)假，玉淵潭公園游客接待量為 萬(wàn)人次；（2）選擇統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖，將 2013-2015 年清明小長(zhǎng)假玉淵潭公園、頤和園和北京動(dòng)物園 的游客接待量表示出來(lái).26有這樣一個(gè)問(wèn)題：探究函數(shù) y = 1 x2 + 1

13、 的圖象與性質(zhì).2 x小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù) y = 1 x2 + 1 的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究.2 x下面是小東的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）函數(shù) y = 1 x2 + 1 的自變量 x 的取值范圍是 ；2 x（2）下表是 y 與 x 的幾組對(duì)應(yīng)值.x-3-2-1- 12- 131312123y25632- 12- 158- 531855181783252m求 m 的值；（3）如下圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，描出了以上表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn).根據(jù)描出的點(diǎn)，畫(huà)出該函數(shù)的圖象；y654321-4 -3 -2 -1O 1 2-1-2-3-43 4 x（4）進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)圖象在

14、第一象限內(nèi)的最低點(diǎn)的坐標(biāo)是（1， 3 ），結(jié)合函2數(shù)的圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的其它性質(zhì)（一條即可）： .27在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，過(guò)點(diǎn)（0，2）且平行于 x 軸的直線(xiàn)，與直線(xiàn) y = x - 1 交于點(diǎn)1A ，點(diǎn) A 關(guān)于直線(xiàn) x = 1 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B ，拋物線(xiàn) C y = x2 + bx + c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A ， B .（1）求點(diǎn) A ， B 的坐標(biāo)；（2）求拋物線(xiàn) C1 的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；2（3）若拋物線(xiàn) C y = ax2 (a ¹ 0) 與線(xiàn)段 AB 恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求 a 的取值范圍.y4321-4 -3 -2 -1 O1-1-2-3-4備用圖2 34

15、x28在正方形 ABCD 中， BD 是一條對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn) P 在射線(xiàn) CD 上（與點(diǎn) C 、 D 不重合），連接 AP ，平移 ADP ，使點(diǎn) D 移動(dòng)到點(diǎn) C ，得到 BCQ ，過(guò)點(diǎn) Q 作 QH BD 于 H ， 連接 AH ， PH .（1）若點(diǎn) P 在線(xiàn)段 CD 上，如圖 1.依題意補(bǔ)全圖 1；判斷 AH 與 PH 的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；（2）若點(diǎn) P 在線(xiàn)段 CD 的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 ÐAHQ = 152° ，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 1，請(qǐng) 寫(xiě)出求 DP 長(zhǎng)的思路.（可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）ABABDPC圖1DC備用圖29在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，C 的半

16、徑為 r ， P 是與圓心 C 不重合的點(diǎn)，點(diǎn) P 關(guān)于 O的反稱(chēng)點(diǎn)的定義如下：若在射線(xiàn)CP 上存在一點(diǎn) P¢ ，滿(mǎn)足 CP + CP¢ = 2r ，則稱(chēng) P¢ 為點(diǎn) P關(guān)于 C 的反稱(chēng)點(diǎn)，下圖為點(diǎn) P 及其關(guān)于 C 的反稱(chēng)點(diǎn) P¢ 的示意圖.特別地，當(dāng)點(diǎn) P¢ 與圓心 C 重合時(shí)，規(guī)定 CP¢ = 0 .yP1CO1x（1）當(dāng) O 的半徑為 1 時(shí).分別判斷點(diǎn) M (2 ，1) ，N ( 3 ，0) ，T (1， 3) 關(guān)于 O 的反稱(chēng)點(diǎn)是否存在，若存在？2求其坐標(biāo)；點(diǎn) P 在直線(xiàn) y = -x + 2 上，若點(diǎn) P 關(guān)于 O 的反

17、稱(chēng)點(diǎn) P¢ 存在，且點(diǎn) P¢ 不在 x 軸上，求點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）C 的圓心在 x 軸上，半徑為 1，直線(xiàn) y = -3 x + 2 3 與 x 軸，y 軸分別交于點(diǎn) A ，3B ，若線(xiàn)段AB 上存在點(diǎn) P ，使得點(diǎn) P 關(guān)于 C 的反稱(chēng)點(diǎn) P¢ 在 C 的內(nèi)部，求圓 心 C 的橫坐標(biāo)的取值范圍.2015 年北京市高級(jí)中等學(xué)校招生考試一、選擇題數(shù) 學(xué) 考參考答案題號(hào)12345678910答案BABDBDCBCC二、填空題題號(hào)11121314答案5x ( x - 1)2360°ì5x + 2 y = 10íî2

18、x + 5 y = 8ìa = 1íîb = 1（滿(mǎn)足 b2 = a ，a ¹ 0 即可，答案不唯一）15參考答案：1038，按每年平均增長(zhǎng)人數(shù)近似相等進(jìn)行估算參考答案：980，因?yàn)?2012-2013 年發(fā)生數(shù)據(jù)突變，故按照 2013-2014 增長(zhǎng)進(jìn)行估算（因?yàn)轭}目問(wèn)法比較靈活，只要理由合理均可給分估計(jì)學(xué)生答出 980 至 1140 之間均可 給分）16到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上；兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)17解：原式 = 4 - 1 + 2 -3 + 4 ´ 32= 5 -3 + 2 3= 5 + 318解：原式 = 3a(2a

19、 + 1) - (2a + 1)(2a -1)= 6a2 + 3a - 4a2 + 1= 2a2 + 3a + 1 2a2 + 3a - 6 = 0 2a2 + 3a = 6原式 = 7ì4( x + 1) 7 x + 1019解： ï x 8í -ï x - 5 < î 3由 4x + 4 7x + 10-3x 6x -2由 3x -15 < x - 82x < 7x < 72 -2 x < 72非零整數(shù)解為0，1，2，3.20證： AB = AC ÐABC = ÐC又 AD 是 BC 邊上的

20、中線(xiàn) AD BC ÐBAD + ÐABC = 90° . BE AC . ÐCBE + ÐC = 90° ÐCBE = ÐBAD .21解：設(shè) 2015 年底全市租賃點(diǎn)有 x 個(gè).50000 = 1.2 ´ 25000xx = 1000600經(jīng)檢驗(yàn)： x = 1000 是原方程的解，且符合實(shí)際情況.答：預(yù)計(jì)到 2015 年底，全市將有租賃點(diǎn) 1000 個(gè).22解 四邊形 ABCD 為平行四邊形 DC AB即 DF BE又 DF = BE 四邊形 DEBF 為平行四邊形 又 DE AB ，即 ÐD

21、EB = 90° 四邊形 DEBF 為矩形四邊形 DEBF 為矩形 ÐBFC = 90° CF = 3 ， BF = 4 BC =32 + 42 = 5 AD = BC = 5 AD = DF = 5 ÐDAF = ÐDFA ÐDFA = ÐFAB ÐDAF = ÐFAB即 AF 平分 ÐDAB23解：（1）點(diǎn) P(2 ，m) 在 y = 8 上.x m = 8 = 42m = 4（2） P （2，4）在 y = kx + b 4 = 2k + bb = 4 - 2k y = kx + b 與

22、x 、 y 軸交于 A 、 B 兩點(diǎn) A(2 - 4 ，0) ， B(0 ，4 - 2k)k PA = 2AB如圖PB = AB ，則 OD = OA = 2 . 4 - 2 = 2 .k k = 1如圖PA = 2AB ， PD = 2OB = 4 OB = 2 ， 2k - 4 = 2k = 3 k = 1 或 k = 324證：（1） BM 是O 切線(xiàn)， AB 為 O 直徑 AB BM BM CD AB CD= AD = AC D= DC = AD AD = CD = AC ACD 為等邊三角形.證：（2）ACD 為等邊三角形， AB CD ÐDAB = 30°連結(jié)

23、BD ， BD AD .ÐEBD = ÐDAB = 30° DE = 2 BE = 4 ， BD = 2 3AB = 4 3 , OB = 2 3在 RtOBE 中OE =OB2 + BE2 =12 + 16 = 2 725（1）40（2）2013-2015 清明小長(zhǎng)假公園游客接待量統(tǒng)計(jì)表公園人數(shù)（萬(wàn)）年份玉淵潭頤和園動(dòng)物園20133221.614.920144026.22220153826182013-2015 清明小長(zhǎng)假公園游客接待量統(tǒng)計(jì)圖26（1） x ¹ 0（2）令 x = 3 y = 1 ´ 32 + 12 3= 9 + 1 = 29

24、2 3 6 m = 296y654321（3）如圖-4 -3 -2-1O 1 2 3 4 x-1-2-3-4（4）該函數(shù)沒(méi)有最大值該函數(shù)在 x = 0 處斷開(kāi)該函數(shù)沒(méi)有最小值該函數(shù)圖像沒(méi)有經(jīng)過(guò)第四象限27解：當(dāng) y = 2 ，則 2 = x - 1 ， x = 3 A （3，2） AB 關(guān)于 x = 1 對(duì)稱(chēng) B(-1，2)把（3，2）（ -1 ，2）代入得：ì2 = 9 + 3b + cîí2 = 1 - b + c，解得 ìb = -2îíc = -1 y = x2 - 2x - 1如圖，當(dāng) C2 過(guò) A 點(diǎn)， B 點(diǎn)時(shí)為臨界代入

25、 A(3，2) 則 9a = 2 ， a = 29-12代入 B(-1，2) 則 a = 2 2 a < 2928（1）ABH法一：軸對(duì)稱(chēng)作法判斷： AH = PH ， AH PH證：連接 CH得：DHQ 等腰 Rt DPCQ又 DP = CQ ，HDP HQC PH = CH ， ÐHPC = ÐHCPBD 為正方形 ABCD 對(duì)稱(chēng)軸 AH = CH ， ÐDAH = ÐHCP AH = PH ， ÐDAH = ÐHPC ÐAHP = 180° - ÐADP = 90° AH = PH 且 AH PH法二：四點(diǎn)共圓作法.同上得： ÐHPC = ÐDAH A 、 D 、 P 、 H 共同 ÐAHP = 90° ， ÐAPH = ÐA