2015年高考數(shù)列創(chuàng)新題賞析

1、2015年高考數(shù)列創(chuàng)新題賞析 中南大學(xué)第一附屬中學(xué) （410083） 劉文生 （qq：1341467906） 2015年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)列創(chuàng)新題精彩紛呈，數(shù)列問(wèn)題的創(chuàng)新成為高考命題的一道亮麗的風(fēng)景。 數(shù)列內(nèi)容基本而且重要，它是普通高中數(shù)學(xué)模塊5中的一個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過(guò)學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法，并認(rèn)識(shí)到數(shù)列是一種特殊函數(shù)；學(xué)生應(yīng)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式，并體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；學(xué)生要能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。 數(shù)列內(nèi)容是每年高考必考的一

2、個(gè)重要內(nèi)容。基本題主要考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式及它們的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)。但高考試題中更多的數(shù)列問(wèn)題是創(chuàng)新題。新穎的數(shù)列模型、新穎的設(shè)問(wèn)方式、新穎的問(wèn)題情境層出不窮。數(shù)列問(wèn)題的創(chuàng)新讓人贊不絕口。 例1（2015，湖南（文）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且=-+3，。 （1）證明：； （2）求.審題要點(diǎn)：已知條件簡(jiǎn)潔，就是一個(gè)關(guān)于數(shù)列的項(xiàng)與前n項(xiàng)和的一個(gè)遞推關(guān)系，可以利用，（）或轉(zhuǎn)化變形。 求證目標(biāo)是數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)形成的子數(shù)列和偶數(shù)項(xiàng)形成的子數(shù)列都是等比數(shù)列，并在此基礎(chǔ)上對(duì)n分奇偶，利用分組求和方法求得及。解題過(guò)程（略）評(píng)析： 本題考查了數(shù)列的遞推公式、前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系、等

3、比數(shù)列、分組求和等相關(guān)知識(shí)，是數(shù)列知識(shí)內(nèi)部綜合題，難度適中。 試題簡(jiǎn)潔，學(xué)生容易入手，優(yōu)秀學(xué)生也容易走出來(lái)，整個(gè)求解過(guò)程無(wú)需費(fèi)多少周折，能較好地考察學(xué)生的運(yùn)算和推理能力。 本題以等比數(shù)列：1,3,9···和等比數(shù)列2,6,9···為背景，它們的項(xiàng)交錯(cuò)排列形成數(shù)列，這樣的數(shù)列及其性質(zhì)往往是學(xué)生少見(jiàn)的，是新穎別致的，對(duì)考生是公平的，有利于學(xué)生展現(xiàn)數(shù)學(xué)思考能力。試題具有良好的選拔功能。類(lèi)似問(wèn)題有：2015年浙江（文）17：已知數(shù)列和滿足，.（1）求，；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求。2015年天津（理)18:已知數(shù)列滿足（q為實(shí)數(shù)，且），,且

4、，為等差數(shù)列（1） 求q的值和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前n項(xiàng)和。2015年山東（理）18：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知.（）求的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.2015年全國(guó)新課標(biāo)卷第17題：為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和。例2 （2015，廣東（理）數(shù)列滿足：。(1) 求的值；(2) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3) 令，（）。證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和和滿足。審題要點(diǎn)：已知條件是一個(gè)比較熟悉的恒成立等式，取n=1,2,3，可求得，；也可以由導(dǎo)出（），兩式相減，即可求得一般項(xiàng)，又，所以，。第（3）問(wèn)定義數(shù)列的通項(xiàng)，形式新穎，需仔細(xì)觀察，··

5、3;，之間的關(guān)系，并且領(lǐng)悟到的前n項(xiàng)和對(duì)一切，恒成立的不等式的證明，可用數(shù)學(xué)歸納法或綜合推理的方法。解題過(guò)程（略）評(píng)析： 本題考查了數(shù)列的遞推公式、通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、新定義數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解以及不等式的證明，前2問(wèn)難度適中，第（3）問(wèn)難度大。 試題以等比數(shù)列：為背景，把它的一個(gè)性質(zhì)作為已知條件讓學(xué)生運(yùn)算并推理出通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)，這種過(guò)程是基礎(chǔ)性的。第（3）問(wèn)是一種創(chuàng)新設(shè)置，新定義的（）形式獨(dú)特，這個(gè)新數(shù)列應(yīng)該是考生從未見(jiàn)識(shí)過(guò)的，有超凡脫俗之感。新情境新問(wèn)題，將有效地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。例3（2015，北京（理）已知數(shù)列滿足，且，記集合M=;(1) 若，寫(xiě)出集合M的所有元素；(2

6、) 若集合M中存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：M中的所有元素都是3的倍數(shù)；(3) 求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值。審題要點(diǎn): 對(duì)取定的，根據(jù)遞推關(guān)系，將得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)列。如時(shí)，得數(shù)列：6,12,24,12,24，···；又如，得數(shù)列：1,2,4,8,16,32,28,20,4,8,16,32,28,20，···。這些數(shù)列都有這樣的特征：后面的項(xiàng)是前面的某些項(xiàng)的重復(fù)。數(shù)列的特征決定了集合M=都是有限集，但到底有幾個(gè)元素，我們要進(jìn)一步探究數(shù)列的項(xiàng)的特征，如是2的倍數(shù)， 是4的倍數(shù)，再如，若是3的倍數(shù)，則所有的都是3的倍數(shù)，等等。解題過(guò)程（略）

7、評(píng)析： 本題考察了數(shù)列的遞推關(guān)系、集合的性質(zhì)、推理與證明。由于有36個(gè)不同的取值，對(duì)每一個(gè)，都將對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的數(shù)列，因此考生面對(duì)的是一群數(shù)列。這個(gè)群對(duì)高考考生僅有20分鐘左右的時(shí)間作答，非常大，可例舉，不宜窮舉。考生應(yīng)重點(diǎn)探究數(shù)列的特征，這就考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。 我們常見(jiàn)的數(shù)列問(wèn)題，往往以等差數(shù)列或等比數(shù)列為背景，問(wèn)題常常在適當(dāng)運(yùn)算與合理轉(zhuǎn)換中得到解決。本題不同尋常。背景是36個(gè)不同的數(shù)列，探討的問(wèn)題是這群數(shù)列的某些特征，這些問(wèn)題明顯地避開(kāi)了等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，問(wèn)題的求解明顯地指向更基本的分析與思考能力。類(lèi)似問(wèn)題有:2015年浙江（理)20. 已知數(shù)列滿足=且=-（n）（）

8、證明：1（n）；（）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明（n）.例4（2015，湖南（文)已知,函數(shù)，記 為的從小到大的第n（）個(gè)極值點(diǎn)。（1） 證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 若對(duì)一切，恒成立，求a的取值范圍。審題要點(diǎn)：由，即，因?yàn)?，所以?？紤]在附近的正負(fù)變化，可得的從小到大的第n（）個(gè)極值點(diǎn)，用定義可證數(shù)列是等比數(shù)列；即，可化為，找到的最小值，就能確定a的取值范圍。解題過(guò)程（略）評(píng)析：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值、等比數(shù)列、不等式以及恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與求解，知識(shí)綜合大，對(duì)運(yùn)算能力、邏輯推理能力和分析問(wèn)題能力的要求高，是一道非常優(yōu)秀的壓軸題。在函數(shù)背景中產(chǎn)生等差數(shù)列和等比數(shù)列，在轉(zhuǎn)化不等式時(shí)又衍生出數(shù)列，為了找到他的最小