測試系統(tǒng)的特性

1、第4章測試系統(tǒng)的特性一般測試系統(tǒng)由傳感器、中間變換裝置和顯示記錄裝置三部分組成。測試過程中傳感器將反映被測對(duì)象特性的物理量（如壓力、加速度、溫度等）檢出并轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，然后傳輸給中間變換裝置；中間變換裝置對(duì)電信號(hào)用硬件電路進(jìn)行處理或經(jīng)A/D變成數(shù)字量，再將結(jié)果以電信號(hào)或數(shù)字信號(hào)的方式傳輸給顯示記錄裝置；最后由顯示記錄裝置將測量結(jié)果顯示出來，提供給觀察者或其它自動(dòng)控制裝置。測試系統(tǒng)見圖4-1所示。根據(jù)測試任務(wù)復(fù)雜程度的不同，測試系統(tǒng)中每個(gè)環(huán)節(jié)又可由多個(gè)模塊組成。例如，圖4-2所示的機(jī)床軸承故障監(jiān)測系統(tǒng)中的中間變換裝置就由帶通濾波器、A/D變換器和快速傅里葉變換（FastFourierTransf

2、orm,簡稱FFT）分析軟件三部分組成。測試系統(tǒng)中傳感器為振動(dòng)加速度計(jì)，它將機(jī)床軸承振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)；帶通濾波器用于濾除傳感器測量信號(hào)中的高、低頻干擾信號(hào)和對(duì)信號(hào)進(jìn)行放大，A/D變換器用于對(duì)放大后的測量信號(hào)進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字量；FFT分析軟件則對(duì)轉(zhuǎn)換后的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，計(jì)算出信號(hào)的頻譜；最后由計(jì)算機(jī)顯示器對(duì)頻譜進(jìn)行顯示。要實(shí)現(xiàn)測試，一個(gè)測試系統(tǒng)必須可靠、不失真。因此，本章將討論測試系統(tǒng)及其輸入、輸出的關(guān)系，以及測試系統(tǒng)不失真的條件。圖4-1測試系統(tǒng)簡圖-叵四-帶通謔演A/D變換 FFT變換信號(hào)就譜軸承振動(dòng)信號(hào)圖4-2軸承振動(dòng)信號(hào)的測試系統(tǒng)4.1線性系統(tǒng)及其基本性質(zhì)機(jī)械測試

3、的實(shí)質(zhì)是研究被測機(jī)械的信號(hào)x(t)(激勵(lì))、測試系統(tǒng)的特性h(t)和測試結(jié)果y(t)(響應(yīng))三者之間的關(guān)系，可用圖4-3表示。x(t)A h(t)* y(t)圖4-3測試系統(tǒng)與輸入和輸出的關(guān)系它有三個(gè)方面的含義:(1)如果輸入x(t)和輸出y(t)可測，則可以推斷測試系統(tǒng)的特性h(t);(2)如果測試系統(tǒng)特性h(t)已知，輸出y(t)可測，則可以推導(dǎo)出相應(yīng)的輸入x(t)；(3)如果輸入x(t)和系統(tǒng)特性h(t)已知，則可以推斷或估計(jì)系統(tǒng)的輸出y(t)o這里所說的測試系統(tǒng)，廣義上是指從設(shè)備的某一激勵(lì)輸入(輸入環(huán)節(jié))到檢測輸出量的那個(gè)環(huán)節(jié)(輸出環(huán)節(jié))之間的整個(gè)系統(tǒng)，一般包括被測設(shè)備和測量裝置兩部分

4、。所以只有首先確知測量裝置的特性，才能從測量結(jié)果中正確評(píng)價(jià)被測設(shè)備的特性或運(yùn)行狀態(tài)。理想的測試裝置應(yīng)具有單值的、確定的輸入/輸出關(guān)系，并且最好為線性關(guān)系。由于在靜態(tài)測量中校正和補(bǔ)償技術(shù)易于實(shí)現(xiàn)，這種線性關(guān)系不是必須的(但是希望的)；而在動(dòng)態(tài)測量中，測試裝置則應(yīng)力求是線性系統(tǒng)，原因主要有兩方面：一是目前對(duì)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)處理和分析方法比較完善；二是動(dòng)態(tài)測量中的非線性校正比較困難。但對(duì)許多實(shí)際的機(jī)械信號(hào)測試裝置而言，不可能在很大的工作范圍內(nèi)全部保持線性，只能在一定的工作范圍和誤差允許范圍內(nèi)當(dāng)作線性系統(tǒng)來處理。線性系統(tǒng)輸入x(t)和輸出y(t)之間的關(guān)系可以用式(4-1)來描述dny(t)dny(t)

5、dy(t).+.anan4%丫。)(4-1)dtdtdtdmx(t)dm4x(t)dx(t)=bm丁bmqkb1b0x(t)dtdtdt當(dāng)an,，a0和bm,bm，b0均為常數(shù)時(shí)，式(4-1)描述的就是線性系統(tǒng)，也稱為時(shí)不變線性系統(tǒng)，它有以下主要基本性質(zhì)：(1)疊加性若xKTy1，x2(t)Ty2(t),則有(4-2)Xi(t)_x2(t)Llyi(t).y2(t)1(2)比例性若x(t)Ty(t),則對(duì)任意常數(shù)c有cx(t)Tcy(t)(4-3)(3)微分性若x(t)Ty(t),則有皿T皿(4-4)dtdt(4)積分性若系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，x(t)Ty(t),則有tt1x(t)dtTj0y(

6、t)dt(4-5)(5)頻率保持性若當(dāng)系統(tǒng)輸入為某一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出將只有該同一頻率。設(shè)系統(tǒng)輸入為正弦信號(hào)：x(t)=xoejt,則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為y(t)=yoej(t0t相(4-6)上述線性系統(tǒng)的特征，特別是頻率保持性，在測試工作中具有非常重要的作用。因?yàn)樵趯?shí)際測試中，測得的信號(hào)常常會(huì)受到其他信號(hào)或噪聲的干擾，這時(shí)依據(jù)頻率保持特性可以認(rèn)定測得信號(hào)中只有與輸入信號(hào)相同的頻率成分才是真正由輸入引起的輸出。同樣，在機(jī)械故障診斷中，根據(jù)測試信號(hào)的主要頻率成分，在排除干擾的基礎(chǔ)上，依據(jù)頻率保持特性推出輸入信號(hào)也應(yīng)包含該頻率成分，通過尋找產(chǎn)生該頻率成分的原因，就可以診斷出故障的原因。4.

7、2測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性測試系統(tǒng)的靜態(tài)特性就是在靜態(tài)量測量情況下描述實(shí)際測試系統(tǒng)與理想線性時(shí)不變系統(tǒng)的接近程度。靜態(tài)量測量時(shí)，裝置表現(xiàn)出的響應(yīng)特性稱為靜態(tài)響應(yīng)特性，常用來描述靜態(tài)響應(yīng)特性的參數(shù)主要有靈敏度、非線性度和回程誤差等。4.2.1 靈敏度當(dāng)測試系統(tǒng)的輸入x(t)在某一時(shí)刻t有一個(gè)增量Ax時(shí)，輸出y到達(dá)新的穩(wěn)態(tài)時(shí)發(fā)生一個(gè)相應(yīng)的變化Ay,則稱(4-7)(4-8)S3.：x為該測量系統(tǒng)的絕對(duì)靈敏度，如圖4-4所示。如果不考慮系統(tǒng)的過渡過程，由線性系統(tǒng)的性質(zhì)可知，線性系統(tǒng)的靈敏度可以表示為S=b0=Ca0式中，a。，bo為常數(shù)，C表示一比例常數(shù)可見，線性系統(tǒng)的靜態(tài)特征曲線為一條直線。例如，某位移測

8、量系統(tǒng)在位移變化得m時(shí)輸出的電壓變化有5mV,則其靈敏度S=5V/mm,對(duì)輸入、輸出量綱相同的測量系統(tǒng)，具靈敏度無量綱，常稱為放大倍數(shù)。由于外界環(huán)境條件等因素的變化，可能造成測試系統(tǒng)輸出特性的變化，例如由環(huán)境溫度的變化而引起的測量和放大電路特性的變化等，最終反映為靈敏度發(fā)生變化，由此引起的靈敏度變化稱為靈敏度漂移，如圖4-4所示。黑埔度潦端a)b)圖4-4絕對(duì)靈敏度及其漂移a)絕對(duì)靈敏度b)靈敏度漂移在設(shè)計(jì)或選擇測試系統(tǒng)的靈敏度時(shí)，應(yīng)該根據(jù)測量要求合理進(jìn)行。一般而言，測試系統(tǒng)的靈敏度越高，測量的范圍就越窄，穩(wěn)定性也往往越差。4.2.2 非線性度非線性度是指測試系統(tǒng)的輸入、輸出之間能否像理想線性

9、系統(tǒng)那樣保持線性關(guān)系的種度量。通常采用靜態(tài)測量實(shí)驗(yàn)的辦法求出測試系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系曲線（即實(shí)驗(yàn)曲線或標(biāo)定曲線），該曲線偏離其擬合直線的程度即為非線性度。可以定義非線性度F為系統(tǒng)的全程測量范圍內(nèi)，實(shí)驗(yàn)曲線和擬合直線偏差B的最大值與輸出范圍（量程）A之比。如圖4-5所示。max（B）F=-=<100%（4-9）A4.2.3 回程誤差引起回程誤差的原因一般是由于測試系統(tǒng)中有滯后環(huán)節(jié)或工作死區(qū)，它也是表征測試系統(tǒng)非線性特征的一個(gè)指標(biāo)，可以反映同一輸入量對(duì)應(yīng)多個(gè)不同輸出量的情況，通常也由靜態(tài)測量求得，如圖4-6所示。定義為在同樣的測量條件下，在全程測量范圍內(nèi)，當(dāng)輸入量由小增大或由大減小時(shí)，對(duì)于同一

10、個(gè)輸入量所得到的兩個(gè)數(shù)值不同的輸出量之間差值的最大值與全程輸出范圍的比值。記作(4-10)心喑)100%回程誤差可以由摩擦、間隙、材料的受力變形或磁滯等因素引起，也可能反映著儀器的不工作區(qū)（又稱死區(qū)）的存在，所謂不工作區(qū)就是輸入變化對(duì)輸出無影響的范圍。4.3測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)，其輸出隨輸入而變化的關(guān)系。一般地，在所考慮的測量范圍內(nèi)，測試系統(tǒng)都可以認(rèn)為是線性系統(tǒng)，因此就可以用式（4-1）這一時(shí)不變線性系統(tǒng)微分方程來描述測試系統(tǒng)與輸入、輸出之間的關(guān)系，但使用時(shí)有許多不便。因此，常通過拉普拉斯變換建立其響應(yīng)的“傳遞函數(shù)”，通過傅里葉變換建立其相應(yīng)的“頻率響應(yīng)函

11、數(shù)”，以便更簡便地描述測試系統(tǒng)的特性。4.3.1 傳遞函數(shù)對(duì)運(yùn)行機(jī)械進(jìn)行測量時(shí)，得到的測量結(jié)果不僅受設(shè)備靜態(tài)特性的影響，也會(huì)受到測試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，因此，需要對(duì)測試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性有清楚的了解。式(4-1)描述了測試系統(tǒng)中輸入輸出間的關(guān)系，對(duì)于線性系統(tǒng)，若系統(tǒng)的初始條件為零，即在考察時(shí)刻t以前(tT0二，其輸入、輸出信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零，則對(duì)式(4-1)作拉普拉斯變換，可得(anSn+ansn+a1s+a(o)Y(s)=(bmSm+bmsm+.+b1s+b0)X(s)(4-11)定義輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的拉普拉斯變換之比為傳遞函數(shù)，即H(s)=Y=bmSm+bmtSm/.+b,s+b0X(s

12、)ansnanJ1sn.a1sa0式中，s為拉普拉斯算子，s=s+jco；an,an，a1，aO和bn,bn，bi,bo是由測試系統(tǒng)的物理參數(shù)決定的常系數(shù)。由式(4-12)可知，傳遞函數(shù)以代數(shù)式的形式表征了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的傳輸、轉(zhuǎn)換特性。它包含了瞬態(tài)s=s和穩(wěn)態(tài)s=j«響應(yīng)的全部信息。式(4-1)則是以微分方程的形式表征系統(tǒng)輸入與輸出信號(hào)的關(guān)系。在運(yùn)算上，傳遞函數(shù)比解微分方程要簡便。傳遞函數(shù)具有如下主要特點(diǎn)：(1) H(s)描述了系統(tǒng)本身的固有動(dòng)態(tài)特性，而與輸入x(t)及系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。(2) H(s)是對(duì)物理系統(tǒng)特性的一種數(shù)學(xué)描述，而與系統(tǒng)的具體物理結(jié)構(gòu)無關(guān)。H(s)是通過對(duì)實(shí)

13、際的物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型式(4-1)后，經(jīng)過拉普拉斯變換后所得出的，所以即同一形式的傳遞函數(shù)可表征具有相同傳輸特性的不同物理系統(tǒng)。(3) H(s)的分母取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，而分子則表示系統(tǒng)同外界之間的關(guān)系，如輸入點(diǎn)的位置、輸入方式、被測量及測點(diǎn)布置情況等。分母中的s的幕次n代表系統(tǒng)微分方程的階數(shù)，如當(dāng)口=1或口=2時(shí)，分別稱為一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)。一般測試系統(tǒng)都是穩(wěn)定系統(tǒng)，其分母中的的s的幕次總是高于分子中s的幕次(nm)。4.3.2 頻率響應(yīng)函數(shù)傳遞函數(shù)H(s)是在復(fù)數(shù)域中描述和考察系統(tǒng)的特性，與時(shí)域中用微分方程來描述和考察系統(tǒng)的特性相比有許多優(yōu)點(diǎn)。頻率響應(yīng)函數(shù)是在頻域中描述和考察系統(tǒng)特性，與

14、傳遞函數(shù)相比，頻率響應(yīng)函數(shù)易通過實(shí)驗(yàn)來建立，且其物理概念清楚。在系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(s)已經(jīng)知道的情況下，令H(s)中的s的實(shí)部為零，即s=j。便可以求得頻率響應(yīng)函數(shù)HQ)。對(duì)于時(shí)不變線性系統(tǒng)，有頻率響應(yīng)函數(shù)H(o)H()=(4-13)bm(j)mbm(j)m，bi(j)b0an(j)nanj(j)n_1.ai(j)ao式中，j=.-1若在t=0時(shí)刻將輸入信號(hào)接入時(shí)不變線性系統(tǒng)，令s=煙代入拉普拉斯變換中，實(shí)際上是將拉普拉斯變換變成傅里葉變換。又由于系統(tǒng)的初始條件為零，因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H9)就成為輸出y(t)、輸入x(t)的傅里葉變換丫儂)、X(M之比，即H)=Y(414)X()由式(4-

15、14),在測得輸出y(t)和輸入x(t)后，由其傅里葉變換Y和X(。)即可求得頻率響應(yīng)函數(shù)H®)=丫9。頻率響應(yīng)函數(shù)是描述系統(tǒng)的簡諧輸入和其穩(wěn)態(tài)輸出的關(guān)系，在測X()量系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)時(shí)，必須在系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)階段時(shí)才測量。頻率響應(yīng)函數(shù)是復(fù)數(shù)，因此，可以寫成復(fù)指數(shù)形式H(6)=A(0)e&E)(4-15)式中，A(6)稱為系統(tǒng)的幅頻特性；邛9)稱為系統(tǒng)的相頻特性?？梢?，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(O)或其幅頻特性A8)、相頻特性中(6)都是簡諧輸入頻率。的函數(shù)。為研究問題方便，有時(shí)常用曲線來描述系統(tǒng)的傳輸特性。A(w)-o曲線和呼9)-0曲線分別稱為系統(tǒng)的幅頻特性曲線和相頻特性曲線

16、。實(shí)際作圖時(shí)，常對(duì)自變量取對(duì)數(shù)標(biāo)尺，幅值坐標(biāo)取分貝數(shù)，即作20lgA(。)-lg(6)和中8)-lg(6)曲線，兩者分別稱為對(duì)數(shù)幅頻曲線和對(duì)數(shù)相頻曲線，總稱為伯德圖(Bode圖)。如果將H)寫成實(shí)部和虛部形式，有H()=P()jQ()式中，P)和Q(co)都是6的實(shí)函數(shù)，曲線P)-切和Q)-8分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性曲線。如果將H9)的實(shí)部和虛部分別作為縱、橫坐標(biāo)，則曲線Q)P(o)稱為奈奎斯特圖(Nyquist圖)，顯然A(w)=Jp2.)+Q2(4-16)中儂)=arctanQ(&)(4-17)P(w)4.3.3 脈沖響應(yīng)函數(shù)若測試系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)，即x(t)=6(t

17、)時(shí)，X(s)=1。因此，有Y(s)H(s)=-(-)=Y(s)X(s)對(duì)上式作拉普拉斯逆變換，有y(t)=h(t)稱h(t)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)。脈沖響應(yīng)函數(shù)為測試系統(tǒng)特性的時(shí)域描述。至此，測試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性在時(shí)域可以用h(t)來描述，在頻域可以用Hg)來描述，在復(fù)數(shù)域可以用H(s)來描述。三者的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。4.3.4 環(huán)節(jié)的串聯(lián)和并聯(lián)各環(huán)節(jié)自身的傳遞函數(shù)為Hi(s),則測試系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)實(shí)際的測試系統(tǒng)，通常都是由若干個(gè)環(huán)節(jié)組成，測試系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之間的關(guān)系取決于各環(huán)節(jié)的連接形式。若系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，如圖4-7所示，且后面的環(huán)節(jié)對(duì)前一環(huán)節(jié)沒有影響，H ，i H

18、 i (s)i 1(4-18)圖4-7系統(tǒng)串聯(lián)相應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為nH(j )=一 Hi(j .)i 1(4-19)其幅頻、相頻特性為n(4-20)A®)=口Ai1n；(')V"'(')y若系統(tǒng)由多個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，如圖4-8所示，則測試系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)為n(4-21)H(s)=、Hi(s)i=1圖4-8系統(tǒng)并聯(lián)相應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為(4-22)nH(j)='Hi(j)i1需要注意：當(dāng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母中s的幕次n值大于2時(shí)，系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。由于一般的測試系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，高階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母總可以分解成為s的一次和二次實(shí)系數(shù)因式，即r

19、(nt)2nn-122、anS+anIs+as+a0=anil(s+pjn(s+2、丹niS十ni)(4-23)iTi1式中，p如輻i為實(shí)常數(shù)，其中J<1。故式(4-12)可改寫為rq(n-r)2H(s)="q、i=s.Pi-(4-24)式中，四、qi為實(shí)常數(shù)。式(4-24)表明：任何一個(gè)高階系統(tǒng)，總可以把它看成是若干個(gè)一階、二階系統(tǒng)的用、并聯(lián)。所以，研究一階和二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，具有非常普遍的意義。4.4不失真測試條件由于受測試系統(tǒng)的影響，總會(huì)產(chǎn)生某種程度的失真。所謂測試系統(tǒng)的不失真，就是測試系統(tǒng)的響應(yīng)和激勵(lì)的波形相比，只有幅值大小和出現(xiàn)的時(shí)刻有所不同，不存在形狀上的變化。若

20、測試系統(tǒng)的輸入輸出分別為x(t)和y(t),則不失真測試的含義可以表示為y(t)=Kx(t-to)(4-25)式中，K為常量，to為滯后時(shí)間。對(duì)上式作傅立葉變換，可求得系統(tǒng)頻響函數(shù)為H(，)=A(，)e,t(4-26)若要不失真就必須滿足，A(s)=K/(«)=-t0«(4-27)式中，K和to均為常量。理想的不失真測試系統(tǒng)其幅頻和相頻特性曲線如圖實(shí)現(xiàn)不失真測試的條件是幅頻特性曲線是一條平行于4-9所示?？梢姡瑴y試系統(tǒng)在頻域內(nèi)。軸的直線，相頻特性曲線是斜率為-to的直線。LOa)圖4-9理想不失真測量系統(tǒng)特性a）幅頻特性b）相頻特性實(shí)際上，許多線性測試系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)波形并

21、不一致，信號(hào)經(jīng)過測試系統(tǒng)后大都產(chǎn)生失真。這種失真或是由于系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的幅度產(chǎn)生了不同程度的衰減或放大（A（o）不為常量），從而使得響應(yīng)中各頻率分量的幅度相對(duì)比例發(fā)生了變化；或是由于系統(tǒng)對(duì)各頻率分量的相移與頻率不成比例（巴M與切之間為非線性關(guān)系），結(jié)果使響應(yīng)中各頻率分量間的相對(duì)位置發(fā)生了變化；或是由于以上兩種失真的綜合。由7。）不為常量引起的失真稱為幅值失真，而由之與。之間非線性關(guān)系引起的失真稱為相位失真。需要說明的是，若測量目的是為了精確獲取信號(hào)波形，那么式（4-27）表示的不失真條件完全滿足要求。但是獲取信號(hào)用作反饋控制，則上述條件并不全面，因?yàn)闀r(shí)間滯后可能會(huì)破壞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，這時(shí)還

22、需要學(xué)9）=0才是理想條件。要使測試系統(tǒng)精確可靠，測試系統(tǒng)的定標(biāo)不僅應(yīng)該精確，還應(yīng)當(dāng)定期地進(jìn)行校準(zhǔn)，定標(biāo)和校準(zhǔn)的實(shí)質(zhì)，就是對(duì)測試系統(tǒng)本身特性參數(shù)的測試。機(jī)械信號(hào)測試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的定標(biāo)和校準(zhǔn)，目前最為常用的有兩種，即頻率響應(yīng)法和階躍響應(yīng)法。頻率響應(yīng)法就是通過對(duì)測試系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)實(shí)驗(yàn)以測得其動(dòng)態(tài)特性，即對(duì)測試系統(tǒng)輸入頻率可調(diào)的正弦信號(hào)，在每一個(gè)頻率點(diǎn)，當(dāng)輸出達(dá)到穩(wěn)定后分別測其輸入輸出的幅值比和相角差，就可以得到該系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線；階躍響應(yīng)法就是對(duì)測試系統(tǒng)輸入一個(gè)階躍信號(hào)并通過測得的輸出信號(hào)來估計(jì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。4.5一階和二階系統(tǒng)的特性從前述章節(jié)4.3可知，一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)是分析和研

23、究高階系統(tǒng)的基礎(chǔ)。因此，本節(jié)將詳細(xì)介紹一階和二階系統(tǒng)的特性及其在典型信號(hào)輸入下的響應(yīng)。4.5.1 一階系統(tǒng)特性首先看一個(gè)具體的例子。圖4-10是一個(gè)液柱式溫度計(jì)，如以Ti(t)表示溫度計(jì)的輸入信號(hào)即被測溫度，以L(t)表示溫度計(jì)的輸出信號(hào)即示值溫度，則輸入與輸出間的關(guān)系為!圖4-10液柱式溫度計(jì)(4-28)(4-29)T-To(t)pdTo(t)CRdtdTo(t)北甫To(t)=Ti(t)式中，R為傳導(dǎo)介質(zhì)的熱阻；C為溫度計(jì)的熱容量。式(4-29)表明，液柱式溫度計(jì)系統(tǒng)的微分方程是一階微分方程，可認(rèn)為該溫度計(jì)是一個(gè)一階測試系統(tǒng)。對(duì)其作拉普拉斯變換，并令t=RC(t為溫度計(jì)時(shí)間常數(shù))，則有ws

24、To(s)+To(s)=Ti(s)(4-30)因此，傳遞函數(shù)為H(s)=T)=L(4-31)Ti(s)1s相應(yīng)地，溫度計(jì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為1.、H(j)=-(4-32)1j可見，液柱式溫度計(jì)的傳遞特性具有一階系統(tǒng)特性。下面從一般意義上分析一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。一階系統(tǒng)微分方程的通式為a1dy(t)+a0y(t)=b0x(t)(4-33)dt用ao除方程各項(xiàng)得a1dy(t)b0(4-34)VyL式中，曳具有時(shí)間量綱，稱為時(shí)間常數(shù)，常用符號(hào)T來表示；b0則是系統(tǒng)的靜態(tài)靈敏度用aoa。S表小o在線性系統(tǒng)中，S為常數(shù)。由于S值的大小僅表示輸出與輸入之間(輸入為靜態(tài)量時(shí))放大的比例關(guān)系，并不影響對(duì)系

25、統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究，因此，為討論問題方便起見，可以令S=N=1,這種處理稱為靈敏度歸一處理。在作了上述處理之后，一階系統(tǒng)的微分方程可a。改寫為對(duì)上式作拉普拉斯變換得則一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其頻率響應(yīng)為dy(t)=x(t)dtsY(s)Y(s)=X(s)Y(s)X(s)(4-35)(4-36)(4-37)4 A= JRe(6)2+Im(w)2(4-38)1.COT1() j 1()_111(')2-arctan( ')e,、Im(W)3(8)=arctanRe()中(0)為負(fù)值表示系統(tǒng)輸出信號(hào)的相位滯后于輸入信號(hào)的相位。一階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線如圖4-11所示a)b)圖4-11一

26、階系統(tǒng)的幅值與相頻特性a)幅頻曲線b)相頻曲線從一階系統(tǒng)的幅頻曲線來看，與動(dòng)態(tài)測試不失真的條件相對(duì)照，顯然它不滿足A(®)為水平直線的要求。對(duì)于實(shí)際的測試系統(tǒng)，要完全滿足理論上的動(dòng)態(tài)測試不失真條件幾乎是不可能的，只能要求在接近不失真的測試條件的某一頻段范圍內(nèi)，幅值誤差不超過某一限度。一般在沒有特別指明精度要求的情況下，系統(tǒng)只要是在幅值誤差不超過5%(即在系統(tǒng)靈敏度歸一處理后，A)值不大于1.05或不小于0.95)的頻段范圍內(nèi)工作，就認(rèn)為可以滿足動(dòng)態(tài)測試要求。一階系統(tǒng)當(dāng)&=1/t時(shí)，A(M值為0.707(-3dB),相位滯后45°,通常稱co=1/t為一階系統(tǒng)的轉(zhuǎn)折頻

27、率。只有當(dāng)切遠(yuǎn)小于1/丁時(shí)幅頻特性才接近于1,才可以不同程度地滿足動(dòng)態(tài)測試要求。在幅值誤差一定的情況下，石越小，則系統(tǒng)的工作頻率范圍越大?；蛘哒f，在被測信號(hào)的最高頻率成分0一定的情況下，越小，則系統(tǒng)輸出的幅值誤差越小。從一階系統(tǒng)的相頻曲線來看，同樣也只有在0遠(yuǎn)小于1/e時(shí)，相頻曲線接近于一條過零點(diǎn)的斜直線，可以不同程度地滿足動(dòng)態(tài)測試不失真條件，而且也同樣是e越小，則系統(tǒng)的工作頻率范圍越大。綜合上述分析，可以得出結(jié)論：反映一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能的指標(biāo)參數(shù)是時(shí)間常數(shù)t,原則上是T越小越好。在常見的測量裝置中，彈簧阻尼系統(tǒng)以及簡單的RC低通濾波器等都屬于一階系統(tǒng)，如 圖4-12所示。a)b)圖4-12

28、一階系統(tǒng)a)機(jī)械一階系統(tǒng)b)電氣一階系統(tǒng)4.5.2二階系統(tǒng)特性圖4-13所示的動(dòng)圈式顯示儀振子是一個(gè)典型二階系統(tǒng)。在筆式記錄儀和光線示波器等動(dòng)圈式振子中，通電線圈在永久磁場中受到電磁轉(zhuǎn)矩kii(t)的作用，產(chǎn)生指針偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，偏轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)受到扭轉(zhuǎn)阻尼轉(zhuǎn)矩C罌和彈性恢復(fù)轉(zhuǎn)矩k下(t)的作用，根據(jù)牛頓第二定律，這個(gè)系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系可以用二階微分方程描述(4-39)J為振子轉(zhuǎn)動(dòng)Jdc號(hào)y(t)=kii出2dt式中，i(t)為輸入動(dòng)圈的電流信號(hào)；日為振子(動(dòng)圈)的角位移輸出信號(hào)；部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；C為阻尼系數(shù)，包括空氣阻尼、電磁阻尼、油阻尼等；kQ為游絲的扭轉(zhuǎn)剛度；K為電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)，與動(dòng)圈繞組在氣

29、隙中的有效面積、匝數(shù)和磁感應(yīng)強(qiáng)度等有關(guān)。圖4-13 動(dòng)圈式儀表振子的工作原理對(duì)式(4-39)拉普拉斯變換后，得振子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(s)=Ms)I(s)KiJ二 S2 C*s22 ns -s snJJ式中，8n = %而J為系統(tǒng)的固有頻率；t =C/2、kJ為系統(tǒng)的阻尼率(4-40)kS = 0為系統(tǒng)的靈敏度。卜面分析典型的二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性。一般二階系統(tǒng)的微分方程的通式為,2a22a1aoy(t)=box(t)(4-41)靈敏度歸一處理后，可寫成.2曳亙幽y二xa0 dt a0 dt令m=F （稱為系統(tǒng)固有頻率）,亡=：1（稱為系統(tǒng)的阻尼率）。則a a12q a0a2(4-42)ai2

30、ao- 'n于是，式（4-42）經(jīng)靈敏度歸一處理后可進(jìn)一步改寫為1 d2y(t) 2 dy(t)22n dt -n dty(t) =x(t)(4-43)作拉普拉斯變換得1入 22 s2Y(s) sY(s) Y(s) = X 'n'n(4-44)因此，二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為H(s) 12-2 sn2s 1-n(4-45)dt出二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H(j)=1(2)2+j2)nSn-1(4-46)A©);f=J1-(-)22-2(-)2輻0n2'一)中(缶)=_arctan021-()2-1n二階系統(tǒng)幅頻曲線和相頻曲線如圖4-14所示。需要注意的是，這是靈敏

31、度歸一后所作的曲線。從二階系統(tǒng)的幅頻和相頻曲線來看，影響系統(tǒng)特性的主要參數(shù)是頻率比人和阻尼''n率七0只有在J<1并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的一段，A（s）比較接近水平直線，甲（如也近似與0成'1n線性關(guān)系，可以作動(dòng)態(tài)不失真測試。若測試系統(tǒng)的固有頻率8n較高，相應(yīng)地A®）的水平直線段也較長一些，系統(tǒng)的工作頻率范圍便大一些。另外，當(dāng)系統(tǒng)的阻尼率且在0.7左右時(shí)，A的水平直線段也會(huì)相應(yīng)地長一些，邛（。）與6之間也在較寬頻率范圍內(nèi)更接近線性。當(dāng)七=0.60.8時(shí)，可獲得較合適的綜合特性。分析表明，當(dāng)巴=0.7時(shí)，在三=00.58的范'n圍內(nèi)，A（Q的變化不超過5%

32、,同時(shí)中傅）也接近于過坐標(biāo)原點(diǎn)的斜直線?？梢?，二階系統(tǒng)的主要?jiǎng)討B(tài)性能指標(biāo)參數(shù)是系統(tǒng)的固有頻率0n和阻尼率t兩個(gè)參數(shù)a)b)圖4-14二階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線a)幅頻特性曲線b)相頻特性曲線注意，對(duì)于二階系統(tǒng)，當(dāng)&=1 時(shí),.，n1A(s)J,若系統(tǒng)的阻尼率甚小，則輸出幅值將2急劇增大，故g=1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振。共振時(shí)，振幅增大的情況和阻尼率2成反比，且不''n管其阻尼率為多大，系統(tǒng)輸出的相位總是滯后輸入90。另外，當(dāng)三2.5以后，中心)接近'n于180。，A9)也接近一條水平直線段，但輸出比輸入小很多質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)及RLC電路等測試裝置都屬于二階系統(tǒng)，

33、如圖4-15、圖4-16所示圖4-15質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)圖4-16 RLC電路4.5.3一階和二階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)如圖4-17所示的單位階躍信號(hào)(t-0)(t:0)其拉氏變換為1X(s),s一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖4-18所示。(4-47)y(t)=1-e"二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，如圖4-19所示。(4-48)e-nty(t)=1sin(dt),1-21_2式中，d6n1-七2；中=arctan_-代工1)。圖4-17 單位階躍輸入0 t 2r 3r 4t 5t /圖4-18一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖4-19二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由上圖可知，一階系統(tǒng)在單位階躍激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出誤差為零，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)的時(shí)間tT笛