第25講微積分基本定理2009

1、第25講 微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算（續(xù)）授課題目微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算（續(xù)）教學(xué)內(nèi)容1. 變上限的定積分；2. 變上限的定積分的求導(dǎo)法則；3.原函數(shù)存在定理； 4. 微積分學(xué)基本定理；5. 定積分的換元積分法；6. 定積分的分部積分法.教學(xué)目的和要求通過(guò)本次課的教學(xué)，使學(xué)生能較好掌握變上限的定積分的概念，熟練掌握變上限的定積分的求導(dǎo)法則、定積分的換元積分法和分部積分法，理解原函數(shù)存在定理.教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：變上限的定積分的求導(dǎo)法則、定積分的換元積分法和分部積分法；教學(xué)難點(diǎn)：原函數(shù)存在定理.教學(xué)方法及教材處理提示(1)復(fù)習(xí)并小結(jié)積分的基本性質(zhì)，補(bǔ)充一些例題.(2)在講授變上限的定積分

2、是上限變量的函數(shù)時(shí)，先通過(guò)簡(jiǎn)單的連續(xù)函數(shù)變上限定積分的計(jì)算，幫助學(xué)生理解變上限的定積分的概念.(3) 變上限的定積分的求導(dǎo)法則并不難，在老師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，由學(xué)生自己給證明過(guò)程.此時(shí)還需要補(bǔ)充幾道相關(guān)例題（如函數(shù)單調(diào)性證明，函數(shù)的極限計(jì)算等等），確實(shí)使學(xué)生能熟練掌握變上限的定積分的求導(dǎo)法則.(4) 微積分學(xué)基本定理是本講的重點(diǎn)，也全書(shū)的重點(diǎn)內(nèi)容. 要求學(xué)生必須掌握微積分學(xué)基本定理完整的條件與結(jié)論，深刻理解定理內(nèi)涵和意義(5) 著重講清定積分的換元積分法和分部積分法與不定積分方法的關(guān)系，但定積分的換元積分法的內(nèi)容極其豐富，應(yīng)通過(guò)大量例題的講解使學(xué)生達(dá)到熟練掌握，課后要布置一定數(shù)量的習(xí)題作業(yè)布置作

3、業(yè)內(nèi)容：教材 :2，3（1，2），4（1，3，6，7），5（2），7（1），10.講授內(nèi)容一、變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)在上可積，根據(jù)定積分的性質(zhì)4，對(duì)任何，在上也可積.于是，由 （1）定義了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分.類似可定義變下限的定積分：.與統(tǒng)稱為變限積分.注意：在變限積分中，不可再把積分變量寫成，以免與積分上、下限的相混淆.由于因此，只討論變上限積分. 定理9.9 若在上可積，則由(1)式所定義的函數(shù)在上連續(xù) 證：對(duì)上任一確定的點(diǎn)，只要，按定義式(1)有 因在上有界，可設(shè)于是，當(dāng)時(shí)有 而當(dāng)時(shí)，有由此得到即證得在點(diǎn)連續(xù)由的任意性，在上處處連續(xù) 定理9.10 (原函

4、數(shù)存在定理) 若在上連續(xù)，則由(1)式所定義的函數(shù)在上處處可導(dǎo)，且 證：對(duì)上任一確定的，當(dāng)且時(shí)，按定義式（1）和積分第一中值定理，有由于在點(diǎn)連續(xù)，故有 由在上的任意性，證得是在上的一個(gè)原函數(shù) 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面看去似不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論，并以積分形式給出了的一個(gè)原函數(shù)正因?yàn)槎ɡ?10的重要作用而被譽(yù)為微積分學(xué)基本定理 此外，又因的任意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)，所以當(dāng)為連續(xù)函數(shù)時(shí)，它的任一原函數(shù)必滿足若在此式中令，得到，從而有再令,有這是牛頓-萊布尼茨公式的又一證明.二、換元積分法與分部積分法定理9.12 (定積分換元積分

5、法) 若函數(shù)在上連續(xù)，在上連續(xù)可微，且滿足 ，則有定積分換元公式：證：由于等式兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，因此它們的原函數(shù)都存在設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)微分法，可見(jiàn)是的一個(gè)原函數(shù)根據(jù)牛頓一萊布尼茨公式，證得 注：從以上證明看到，在用換元法計(jì)算定積分時(shí)，一旦得到了用新變量表示的原函數(shù)后，不必作變量還原，而只要用新的積分限代人并求其差值就可以了這就是定積分換元積分法與不定積分換元積分法的區(qū)別，這一區(qū)別的原因在于不定積分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù)，理應(yīng)保留與原來(lái)相同的自變量；而定積分的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù).注：如果在定理9.12的條件中只假定為可積函數(shù)，但還要求是單調(diào)的，那么結(jié)論仍然成立.（

6、本節(jié)習(xí)題第14題）例 計(jì)算解：令，當(dāng)由變到時(shí)，由0增到1，故取應(yīng)用換元公式，并注意到在第一象限中，則有例2 計(jì)算解：令當(dāng)由變到時(shí)，由1減到0，則有例3 計(jì)算解：令，當(dāng)從變到時(shí)，從0增到1.于是由公式（9）及得到 對(duì)最末第二個(gè)定積分作變換，有它與上面第三個(gè)定積分相消故得 事實(shí)上，例3中的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但難以用初等函數(shù)來(lái)表示，因此無(wú)法直接使用牛頓一萊布尼茨公式可是像上面那樣，利用定積分的性質(zhì)和換元公式，消去了其中無(wú)法求出原函數(shù)的部分，最終得出這個(gè)定積分的值 定理9.13 (定積分分部積分法)若為上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積分公式： 證：因?yàn)槭窃谏系囊粋€(gè)原函數(shù)，所以有+. 為方便起見(jiàn)，公式寫成 例4 計(jì)算解：例5 計(jì)算和解：當(dāng)時(shí)，用分部積分求得 移項(xiàng)整理后得到遞推公式：由于重復(fù)應(yīng)用遞