第18章曲線積分和曲面積分

1、第十八章 曲線積分和曲面積分§1 第一類曲線積分一、定義背景：在計算曲線段上的質量分布問題時，我們曾把曲線段上的質量轉化為如下一個有限和的極限，這個有限和的極限正是本節(jié)要介紹的第一類曲線積分，先給出數(shù)學定義。給定光滑曲線段，定義在上且連續(xù)，給定的一個分割：T：這里“”表示曲線上從A到B的順序。記（弧長），（分割細度）。定義1、設存在實數(shù)I，使對任意的，存在，使對任意分割，當時，對任意的，都成立：，稱I為在上的第一類曲線積分，記為。 其中稱為被積函數(shù)，l稱為積分路徑。 注、顯然，定義表明。注、有時用l表示弧長，因而，第一類曲線積分也記為。不論如何記第一類曲線積分，必須注意到第一類曲線積

2、分是對弧長的積分。注、其幾何意義為：時，（的弧長）。注、第一類曲線積分滿足類似的積分性質（略）。二、計算從定義式可知，計算的本質問題在于對的處理，下面，就以此為出發(fā)點導出其計算公式。先給出參數(shù)方程下的計算公式。設給定曲線段：是的，即。首先由定積分理論中弧長公式可知，對應于某一參數(shù)段如的弧長可由如下定積分計算 事實上，利用定積分思想，弧長公式的推導過程大致如下 利用這一弧長公式可以得到第一類曲線積分的計算公式。定理1、設在上連續(xù)，則存在且。證明：對做任意分割T：對應于形成一個分割記，則由定義， =其中，使得。利用弧長公式和中值定理，則，。故，= 其中： 。由三角不等式，由于，因而一致連續(xù)，故，對

3、當時，又，因而有界M，故：。因而，由定積分定義，=故，。對一般的曲線方程，都可以轉化為參數(shù)方程形式，因此，定理1解決了第一類曲線積分的計算問題。下面給出幾個特例。注：特例：1、 對平面曲線：，則 ；2、 對平面曲線：，則 從計算公式知，第一類曲線積分的計算，關鍵是給出曲線的參數(shù)方程。例1：，：解：采用極坐標形式，則，故，。例2：其中l(wèi)由折線段OA、AB、BO組成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用積分可加性，則其中各段方程如下：，；（可視為以為參數(shù)），（以為參數(shù)）BO：，（以為參數(shù)）故,。注意各種技巧的運用，如對等性對稱性等。例3：，。解：由于曲線關于對等，則，。因而，。例4：

4、，（閉曲線上的積分）解、由于關于軸對稱，且是的奇函數(shù)，故，。事實上，分為：，故：0。§2 第一類曲面積分一、 定義背景：在計算曲面上質量分布時，我們曾導出質量分布的計算公式為有限和的極，在其它應用領域，也經常遇到這類有限和的極限，因此，有必要在數(shù)學上建立相應的理論，這就是第一類曲面積分。給定有界光滑曲面，定義在上，給定曲面的一個分割T：，對應的每一個分割子塊的面積記為，分割細度仍記為。定義1、若存在實數(shù)I，使對任意分割T及任意選取的點，都有稱I為在上的第一類曲面積分，記為其中為被積函數(shù)，稱為積分曲面。注、類似的積分性質（略）；注、幾何意義為，時，。二、 計算從第一類曲線積分的公式推導

5、可知，第一類曲面積分公式的建立，關健仍然是微小曲面的面積的計算。因此，我們首先處理，給出其計算公式；處理的思想為定積分中的近似方法微元法。我們知道，是分割后的小曲面塊，當分割很細時，曲面塊可近似為平面塊，故，我們從分析平面塊面積的計算入手。那么，如何計算平面塊的面積？我們僅知道：當平面塊落在坐標平面內時，可以利用二重積分計算其面積，此時，問題解決。而當平面塊不落在坐標平面時，我們利用投影技術轉化為坐標平面內平面塊面積的計算。這就是我們處理第一類曲面積分的思想。1、曲面面積的計算： 給定有界曲面 ：，設是光滑的，即，求的面積。情形1、特殊情形設落在平面中，又設與坐標面面的夾角為（銳角），在面的投

6、影區(qū)域為D，相應的面積分別記為，則，故。當選取相對應的鈍角為夾角時，有。情形2、一般情形 為一般光滑曲面：，顯然：D正是在面的投影區(qū)域。為了利用情形1處理，我們利用分割、近似計算的思想。對曲面進行分割T：，分割細度為；對應于分割T，形成D的一個分割： ，分割細度記為。當T很細時，我們希望用某種平面塊代替曲面塊。在曲面上，選擇一個什么樣的平面塊來近似代替曲面塊？我們選擇相關的切平面塊。任取，由于是光滑的，故任一點都有切平面，過作平面，在上取出一小平面塊，使與具有相同的投影，當T很細時，。下面計算。由情形1，只計算與坐標面的夾角的余弦。這使我們聯(lián)想到切平面法線的方向余弦，記為的法線方向與軸正向的夾

7、角，則。由解析幾何理論知道，若平面方程為，則在（）點的法線方向為，其中，。故 ,又，因而，故，。因而，這就是曲面面積計算公式。注、當落在面的平面區(qū)域時，此時：，故，這與二重積分的幾何意義是一致的。注、從上述推導過程可知，還成立下述另一個計算公式：。其中為曲面上任意點的切平面的法線方向。注：若由參數(shù)方程給出，為計算此時的面積，將其轉化為已知的情形，為此，設由能確定隱函數(shù)，則。利用隱函數(shù)的求導，因而：若記，則，故，。因而又，若記，還有。例1：求球面含在柱面內部的面積S。解：由對稱性，只計算其在第一卦限中的部分，此時， 曲面，其中D：。由于，故， 。2、第一類曲面積分的計算 利用曲面面積的計算公式，

8、很容易計算第一類曲面積分。定理1、設為定義在光滑曲面，上的函數(shù)，則。 事實上，由定義， =。其中。定理2、設光滑曲面，則，。通過上述定理可知，計算第一類曲面積分需要知道曲面方程和曲面的投影區(qū)域，在此基礎上轉化為二重積分計算。例2：，：是平面上方的拋物面。解：在平面上的投影是：，故，.例3：，：，。解：在平面上的投影是：，故，注：注意到積分區(qū)域的對稱性和奇偶性： 。例4、計算下列曲面面積。1、z=axy（x>0,y>0）包含在圓柱內的部分； 2、錐面與平面x+y+z=2a (a>0)所界部分的表面；解、1、由于曲面z=axy（x>0,y>0）在xoy平面內的投影區(qū)域

9、為 ，由公式 2、所界的表面分為兩部分：落在錐面上的部分記為，落在平面上的部分記為，這兩部分在xoy平面有共同的投影，記為D，它是由交線的投影所圍的區(qū)域，即區(qū)域D由曲線所圍。對，由其方程可以計算 ，故 ；對則，故，故由公式 為計算上述二重積分，須對區(qū)域D的邊界曲線進行化簡，為此作變換 ，則D變?yōu)閰^(qū)域: ,即 。故 。 注、上述計算過程的難點在于將二次曲線標準化，轉化為橢圓曲線，因此，相應的面積的計算轉化為橢圓面積的計算。§3第二類曲線積分一：背景變力做功問題：變力作用在質點M 上，使質點沿曲線從A點移至B點，求所做的功。設變力為，沿曲線從A點至B點進行分割T：，這里，表示順序。記，可

10、正可負，利用微元法，切在微元上將其近似為常力做功，則，變量做功為可以表示為下述有限和的極限，更多的應用問題都可以表示為這類有限和的極限，數(shù)學上，這類有限和的極限就是第二類曲線積分。二：定義給定光滑曲線段：（始點為A，終點為B），為定義在上的有界函數(shù)，將沿從l始點A至終點B的方向分割：T：。記。定義1、若存在實數(shù)I，使對任意T及任意，使，稱I為沿曲線從A點至B點的對變量x第二類曲線積分，記為或者。注、從定義可知：第二類曲線積分與的方向有關。事實上，利用定義，易證：。注、幾何意義：時，。注、類似可定義：，。注、上述三個第二類曲線積分通常同時出現(xiàn)，合寫為：。注、當為平面曲線時，可定義第二類曲線積分。

11、注、當是平面上的封閉曲線時，上的任一點可視為始點，同時也是終點，規(guī)定l的方向為：沿行走時，所圍的區(qū)域總在左側-即常說的逆時針方向。三：第二類曲線積分的計算。給定曲線，設（1）是光滑的：；（2）不自交：和曲線上的點一一對應；（3），且當由時，對應點沿從A移至B。又設連續(xù)。定理1、在上述條件下成立。證明：對任意的沿從A移至B方向的分割T：，其中，表示順序。仍記，則由點與參數(shù)的對應關系：，使，即，因而得分割此處表示大小。 同樣，對任意，使。故，記，則 。注、上述公式仍是代入法，但注意對應成立：的始點A對應參數(shù)定積分下限；的終點B對應參數(shù)定積分上限。注、其它情形類似；注、對自交的曲線可分段處理；注、從

12、公式可看出：第二類線積分的計算關鍵在于確定曲線的方向、參數(shù)方程，并注意對應關系（包含曲線上點與參數(shù)的一一對應關系，參數(shù)與積分限的對應關系）。注、相應的積分性質仍成立。例1、（1）為折線，方向由O(0,0)到P(1,1)，再由P(1,1)到B(2,0).如圖： （2）沿軸O到B：。解：（1）分段考慮：記，（以為參數(shù)） 。故， =+ =（2）：， 故：。例2：，：閉曲線如圖解：分段處理。記；從1變到-1；從1變到-1；。 故，；，故 ，I=0。例3、，為圓周曲線。解：如圖取A(a,0)為始點，則A同時也為終點，方向為逆時針方向，與此對應，曲線的參數(shù)方程為，故， 。例4、，其中為在第一卦限中的邊界，

13、其方向為如圖的順時鐘方向，即從A(0,0,1)到B(0,1,0)再到C(1,0,0)。解、記為曲線上從A到B的這一段，按給定的方向和始點和終點的位置，參數(shù)方程為 ，從變到0，故。利用輪換對稱性。注、討論空間曲線與其投影曲線上第二類曲線積分的聯(lián)系。設空間曲線l落在曲面，為其在xoy平面上的投影曲線，則 （可由一般參數(shù)方程形式下轉化為定積分形式來證明。）四、二類曲線積分間的聯(lián)系給定曲線段和定義在l上的函數(shù)P(x,y,z)，則有如下兩類曲線積分：第一類曲線積分 ；第二類曲線積分如 。首先指出的是：兩類曲線積分是在上定義的兩類不同的積分，二者有明顯的區(qū)別，這些區(qū)別從定義和計算公式中都可以反映出來；但如

14、上所示的兩類曲線積分又是同一函數(shù)在同一曲線上的積分，應該有聯(lián)系；下面，我們來尋找二者的聯(lián)系。對二者作簡單分析：從計算公式可知，二者都可以轉化為定積分計算，由此，確定解決問題的一個思路：二者能否轉化為同一種形式的定積分，由此建立其聯(lián)系。進一步分析計算公式可知，二者都將轉化為關于參數(shù)的定積分，能否轉化為同一個參數(shù)的定積分？因此，必須選擇一個合適的參數(shù)將二者聯(lián)系起來，這個合適的參數(shù)就是弧長。設，對點，取弧長為參數(shù)，則參數(shù)方程可寫為：（l還表示曲線l 的長度）。顯然 ，當從0單增至時，M從始點A沿移至B，取曲線上每一點的切線方向與曲線的方向一致，并以表示選定的切線方向與三個坐標軸正向的夾角，則 ,故，

15、 另外，根據(jù)第一類線積分的計算公式則， 故，；類似，；。因而也有。這就是兩類曲線積分關系式。§4 第二類曲面積分一、曲面的側曲面是日常生活中常見的幾何圖形，就我們對曲面的直接的認識看，曲面應有兩個側面，常說的正面和背面，這類曲面為雙側曲面。如一張白紙就是一個簡單的雙側平面，這種曲面具有這樣的性質：假設小蟲子在曲面上沿閉路爬行，不經過邊界，回到原位仍在同一側。但是，確實存在只有一個側的曲面單側曲面，如Mobius帶，它具有這樣的性質：從曲面上任一點不經過邊界可達到曲面上任一點；或者曲面上任意兩點都可以用不經過邊界的曲線連接。我們本節(jié)要介紹的積分，就與曲面的側有關。那么，如何從數(shù)學上給出

16、這些曲面嚴格的定義？設是非閉的光滑曲面，因而每一點都有切平面和有兩個相反的法線方向，動點M從定點出發(fā)，沿上一個不過的邊界的閉路從出發(fā)再回到點，取定的一個法線方向為出發(fā)時的方向，當M從點連續(xù)運動時，法線方向也是連續(xù)變化。定義1、若動點M沿任意的閉路從出發(fā)又回到時，指定的法線方向不變，則稱為雙側曲面；若存在一個閉路，使得動點M沿從出發(fā)又回到時，指定的法線方向與原指定的法線方向相反，稱為單側曲面。注、常見的都是雙側曲面，因而，今后我們只討論雙側曲面。既然是雙側曲面，其必有兩個側，因而須指明曲面的側，用于表明曲面的方向。二：雙側曲面的方向這里，我們給出雙側曲面的兩個側的描述，用于規(guī)定側的方向。設是雙側

17、曲面，任取，選定的切平面法線的其中的一個方向，則上其它任何一點的法向也確定：當不越過邊界移至此點時對應的法向，由此就確定了曲面的一個側，改變選定的法向，即得另一側。側的定量描述：給定光滑曲面：，具連續(xù)偏導數(shù)，因而上任一點都存在切平面，點處的法線的方向余弦為 ，其中對應于兩個相反的法向。因而，選定一個符號，確定一個對應的法向，進而確定曲面的一個側。各種側的規(guī)定：下面對經常遇到的幾種側預以約定：相對于軸方向：為銳角，對應的側為上側； 為鈍角，對應的側為下側。注、時，軸落在曲面內，相對軸沒有側，但可有如下的約定：相對于軸方向：為銳角，稱對應的側為右側； 為鈍角，對應的側為左側。相對于軸方向：為銳角，

18、稱對應的側為前側； 為鈍角，稱對應的側為后側。注、有時即可看成具上、下側的曲面，又可視為具右左式或前后側的曲面；（可根據(jù)觀察者的視角和要求來規(guī)定）我們規(guī)定封閉曲面的側：向著所圍立體的一側為內側； 背著所圍立體的一側為外側。注、為討論上的簡便，我們引入無重點曲面。設，若D中點和上的點是一一對應的，即一對參數(shù)只能確定唯一的點，稱為無重點曲面。注、存在有重點曲面如閉球面。 對有重點曲面可通過分割化為無重點曲面，因而今后涉及的非封閉曲面都視為無重點曲面。三、第二類曲面積分的定義1背景不可壓縮流體的流量問題。設不可壓縮流體（密度為1）的流速為，計算單位時間內通過定向曲面的流量。1）、特殊情形假設流速為常

19、數(shù)，流經的曲面為平面，其正向對應的流向為常數(shù)向量（即平面的法線方向），平面的面積為S，則流量為。2）、一般情形我們利用微元法將其轉化為特殊情形來處理，即通過對曲面的分割，將其分割成n個小曲面塊，在每一個小曲面塊（微元）上，將其近似視為情形1，即小曲面塊近似為平面，曲面塊上任一點對應的流速和法向視為整個小曲面塊近似平面上的常數(shù)流速和法向，通過求和，取極限，將流量計算轉化為下述和式的極限：而為曲面塊上選定點的對應的法向，利用面積計算公式，正是第i個小曲面塊在面上投影區(qū)域的面積，類似，、是在、面上投影區(qū)域的面積。上述微元法解決流量問題的過程中產生的有限和的極限，很自然地產生某種積分，顯然，這種積分就

20、是本節(jié)將要介紹的第二類曲面積分。當然，第二類曲面積分的背景不僅是流量的計算問題，工程技術中，很多問題的解決都會產生上述有限和的極限，因此，第二類曲面積分具有廣泛的應用背景。在上述有限和的最后3個形式中，采用不同的形式，會從不同的角度引入不同形式的第二類曲面積分。我們將從第三個形式出發(fā)引入第二類曲面積分，為此先引入?yún)^(qū)域的有向投影及其相關概念。2、雙側曲面的有側（向）投影和有側面積情形1、為具有上、下側的雙側曲面定義2、設D是平面內具有上、下側的雙側平面區(qū)域，如果實數(shù)滿足：，其中為區(qū)域D的面積，稱為雙側平面區(qū)域D的有側（向）面積。設是具上、下側的雙側曲面，D是在平面內的投影區(qū)域，則D是具上、下側的

21、雙側平面區(qū)域。定義3、稱雙側平面區(qū)域D為雙側曲面在平面內的有側（向）投影（區(qū)域）。其中，D的上側對應于的上側，下側亦對應。注、當D為雙側曲面的有側投影時，就可定義D的有側面積。注、有側面積是相對幾何量，可正也可以負。情形2、為具有左、右側的兩側曲面時，可類似定義其在平面內的有側投影區(qū)域及相應的有側面積。情形3、為具有前后兩側的曲面時，亦然。3、第二類曲面積分的定義我們將從不同角度引入雙側曲面的各種第二類曲面積分的定義。設是非閉的具有上、下側的光滑曲面，作的分割,則對應于平面內的有側投影區(qū)域D，形成對應的分割，設定義在上，仍記。定義4、若存在實數(shù)I，使對任意分割T及任意點，都成立：其中為有側投影

22、區(qū)域的有側面積，稱I為在上沿取定一側的關于的第二類曲面積分，記為。注、由定義知：第二類曲面積分和曲面的側有關，因此，提到第二類曲面積分時，必須指明曲面的側。注、取定的側在定義中的作用是用來確定有側投影區(qū)域的有側面積。事實上，由定義，當取定的上側時，由于，此時=；當取定的下側時，由于，故=。因而，若用表示指定一側的雙側曲面的另一側，則。注、類似可以定義下述兩類曲面積分。對具有前、后兩側的光滑曲面，可以定義在曲面上沿給定一側的關于y、z的第二類曲面積分。對具有左、右兩側的光滑曲面，可以定義在曲面上沿給定一側的關于z、x的第二類曲面積分。注、特別注意三個第二類曲面積分的積分變量的順序，這是習慣寫法。

23、注、一般地：對曲面，從軸方向看去，它有上、下兩側，從軸方向看有右、左兩側，從軸方向看，有前后兩側。因而，在同一個曲面上，可同時定義三種第二類曲面積分，簡記為： ，其中，積分沿給定的一側。此時，對給定的一側：（通常并不以上下、左右、前后側指明）當從軸方向看時，它或為上側、或為下側，故可計算，而當從軸方向看時，它或為右側、或為左側，故可計算，而當從軸方向看時，它或為前側、或為后側，因而可計算。注、背景中的流量問題正是流速在曲面上關于流向的第二類曲面積分。注、特殊情形1、若平行于軸，即是母線平行于軸的柱面，則在平面的投影為一條曲線，此時=0，故=0；2、若是母線平行于軸的柱面，則=0；3、若是母線平

24、行于軸的柱面，則。四、第二類曲面積分的計算。首先計算，沿取定的一側。此時，設定為具有上、下兩側的雙側曲面，因而可表示為顯然：D是在平面內的投影區(qū)域，又設為上的連續(xù)函數(shù)。由定義，當取上側時，則，其中：。當取下側時，則 。其次，計算，沿取定的一側。此時，設定為具前、后兩側的雙側曲面，故可表示為 ，其中D為在平面內的投影，因而，取的前側時，；取的后側時，。最后，沿取定的一側計算。此時，設定為具右、左兩側的雙側曲面，故可表示為 ，其中D為在平面內的投影，因而，取的右側時，；取的左側時，。特別強調，沿空間曲面的第二類曲面積分有三種類型，對每一種類型的第二類曲面積分的計算，都需要將曲面視為相應的類型才能計

25、算。通過上述分析，第二類曲面積分計算的步驟為：1）、明確要計算的第二類曲面積分的類型；2）、確定相應的曲面形式（包括方程形式和投影）；3）、確定曲面的側；4）、代入公式計算。注、計算過程中，經常利用積分可加性，將曲面按計算對象的不同進行分割。五、例子例1、計算，其中是如圖四面體的表面，積分沿處側進行。解、先計算。由于，顯然。對，由于的外側從軸方向看為下側，故，。對：，由于的外側從軸方向看為上側，故，故。再計算，由于、在平面的投影為直線段，故，。對：，此時，外側從軸看為后側，故。對：，外側從軸看為前側，故，故。最后計算，顯然。對于，外側為左側，故，；對于，外側為右側，故，故。因而，。注、側的判斷特殊點方法，由雙側曲面的定義，曲面上任一點的法線方向決定曲面的側，因而，可以通過曲面上特殊的點法向確定側的方向。例2：計算，為球面，取外側。解、由于球面為有重點的封閉曲面，計算時須分割為無重點曲面。 先計算，此時須將球面分割為上半球面和下半球面，在平面的投影區(qū)域為：。顯然，的外側相對于z軸為上側；而的外側相對于z軸為下側（可以通過z軸上的球面的兩個頂點的法向確定側的