九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假班講義：第1講相似形與比例線段(學(xué)生版)

1、相似形與比例線段內(nèi)容分析放縮與相似形是九年級(jí)上學(xué)期第一章第一節(jié)的內(nèi)容， 主要對(duì)相似多邊形的概 念和性質(zhì)進(jìn)行講解，重點(diǎn)是理解相似形的相關(guān)概念和相似多邊形性質(zhì)的運(yùn)用.通過(guò)對(duì)相似多邊形的學(xué)習(xí)，為后面學(xué)習(xí)相似三角形的知識(shí)奠定基礎(chǔ).比例線段是九年級(jí)上學(xué)期第一章第二節(jié)的內(nèi)容， 主要對(duì)比例線段的有關(guān)概念 和性質(zhì)進(jìn)行講解，重點(diǎn)是理解不同概念和性質(zhì)之間的聯(lián)系和區(qū)別， 熟練比例線段 之間的轉(zhuǎn)換，并能結(jié)合具體圖形，運(yùn)用比例線段的性質(zhì)進(jìn)行解題.通過(guò)對(duì)比例線 段的學(xué)習(xí)，一方面為之后學(xué)習(xí)平行線分線段成比例做好準(zhǔn)備， 另一方面服務(wù)于之 后相似三角形知識(shí)的學(xué)習(xí).10 / 13模塊一：相似形的概念及性質(zhì)知識(shí)精講1、相似形的概念

2、相似形：我們把形狀相同的兩個(gè)圖形稱為相似的圖形，簡(jiǎn)稱相似形.2、相似多邊形的性質(zhì)如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例.當(dāng) 兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，它們對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值為例題解析【例1】相似的圖形，它們的形狀 相同，它們的大小 相同.(選填 定”或 不一定”或 定不”)【例2】在下邊的方格圖中，分別畫(huà)出ABC和四邊形ABCD的一個(gè)相似圖形.【例3】下列給出的圖形中，不是相似形的是()(A)由同一張底片印出來(lái)大小不同的照片(B) 一張巨幅畫(huà)像和用照相機(jī)把它拍出來(lái)的照片(C)小明在平面鏡和在哈哈鏡里看到的他自己的像(D)五星紅旗上的大五角星和小五角星【例4】

3、下列說(shuō)法不一定正確的是()(A)所有的等邊三角形都相似(C)所有等腰直角三角形都相似(B)有一個(gè)角是100的等腰三角形都相似(D)所有的直角三角形都相似例5下列各組中的兩個(gè)圖形一定相似的有()(1)兩個(gè)等腰三角形;(4)兩個(gè)等邊三角形;(7)兩個(gè)正方形；(A) 3 組(2)兩個(gè)直角三角形；(5)兩個(gè)矩形；(8)兩個(gè)等腰梯形；(B) 4 組(C)(3)兩個(gè)等腰直角三角形;(6)兩個(gè)菱形；(9)兩個(gè)圓.(D) 6 組【例6】已知四邊形 ABCD和四邊形ABCD是相似的圖形，并且點(diǎn) A與點(diǎn)A、點(diǎn)B與 點(diǎn)B、點(diǎn)C與點(diǎn)C、點(diǎn)D與點(diǎn)D分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，已知 BC 4 , CD 3.6 , AB 3.3 ,

4、BC 3 , B 75 , C 105 , D 95 ,求 AB , CD的長(zhǎng)和 A的 度數(shù).【例7】如圖,ABC和ADE是相似形，頂點(diǎn) A、B、C分別與點(diǎn)A、D、E對(duì)應(yīng),已知 A 35 , B65AE 1.2 , AB 2.5, AC 2 , ED 1 .求 AD、BC 的長(zhǎng)和 AED的度數(shù).【例8】已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別是3、4、5,與其相似的ABC的最大邊長(zhǎng)是15,求ABC的最小邊長(zhǎng).【例9】已知甲、乙兩個(gè)三角形相似，甲三角形的三邊長(zhǎng)分別為4、6、8,乙三角形其中一邊的長(zhǎng)為2,求乙三角形的另外兩邊的長(zhǎng).【例10如圖，矩形ABCD中，AB 2CD，線段EF 10 ,在EF上取一點(diǎn)M ,分

5、別以EM、MF為一邊作矩形 EMNH、矩形MFGN ,使矩形MFGN與矩形ABCD相似，且點(diǎn)M與 點(diǎn)A、點(diǎn)F與點(diǎn)B ,點(diǎn)G與點(diǎn)C ,點(diǎn)N與點(diǎn)D分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，令 MN x .求出矩 形EMNH的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式.11E模塊二：比例的性質(zhì)知識(shí)精講如果a : b c: d2、比例的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)：如果a c ,那么ad bc ;b d如果a，那么b d , b d a c(2)合比性質(zhì)：如果a b如果a b(3)等比性質(zhì)：如果a cb da b c dc d a bc d；dc ddk ,那么-ac a - k .b d b dc，那么d(D例題解析【例11】下列各組線段中，成比例的一組

6、是(,.、231(A)a, b 5, c,d一325(C)a3,b4,c5,d6)(B)a8 ,b0.05 ,c 0.6 , d10(D)a9 ,b6 , c3, d 4【例12(1)求應(yīng),73,101、比和比例一般來(lái)說(shuō)，兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)同類的量 a與b相除，叫做a與b的比，記作a: b (或表示為-); b.a c (或ac),那么就說(shuō)a、b、c、d成比例.b d(2)若x 1 , x , x 4的第四比例項(xiàng)是4 ,求x .【例13 (1) 6是a和b的比例中項(xiàng)，則Vab,(2) b是9和4的比例中項(xiàng)，則b ;(3)線段a 6厘米，b 16厘米，則線段a和b的比例中項(xiàng)是 【例14(1)若2 2,

7、則U ；y 3 y若 b,則空_b ； 45 a b(3)若 2x 5y 0,貝U 3x y : 4x 3y .【例15 (1)已知：ab -,求2a 4b的值;a 33ab已知：x _y 3 ,求y 3z的值；3 5 73y 2z(3)已知：3x 2y z,求x y 2z的值.2x y zx y z x y z【例16】設(shè)線段x、yz的值.z滿足 234 ,求x、yx y z 18【例17】設(shè)abb c c a ，求8a 9b 5c的值.a b 2 b c 3 c a【例18】3x 3y3y 3zx3z 3xy【例19已知-a- b ck,則一次函數(shù)y kx 3的圖像一定經(jīng)過(guò)第幾象限?模塊三

8、：比例線段知識(shí)精講1、比例線段的概念對(duì)于四條線段a、b、c、d ,如果a :b c: d (或表示為),那么a、b、c、d b d叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.2、黃金分割如果點(diǎn)P把線段AB分割成AP和PB ( AP PB)兩段(如下圖)，其中AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，那么稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)P稱為線段 AB的黃金分割點(diǎn).其中，AP 5 1AP0.618 ,稱為黃金分割數(shù)，簡(jiǎn)稱黃金數(shù).AB 2例題解析【例20】在比例尺為1:40000的地圖上，量得A與B兩地的距離是24厘米，則A與B兩地的實(shí)際距離是【例21】東海大橋全長(zhǎng)32.5千米，如果東海大橋在某張地圖上的長(zhǎng)為6.5厘米，則這張地圖的

9、比例尺是()(A) 1:5(B) 1:500000(C) 1:5000000(D) 500000:1【例 22(1)若 AB 0.1 , CD 0.75 ,貝U AB : CD (2)若 AB 1m, CD 25cm ,則 AB: CD (3)若 AB m, CD n,貝U AB: AB CD 【例23】小智發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，已知這本書(shū)的長(zhǎng)為20厘米,則它的寬約為.(精確到百分位)【例2例如圖,已知在四邊形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，ABAEDCDF求證：(1)AB DCAB DCEB ?C EBFCAB DCEBFC【例25】如果ABC和 ABC面積相等

10、，且 AB: AB 9:25,那么邊 AB與邊AB上的高的比為()(A) 9: 25(B) 25:9(C) 3:5(D) 5:3【例26】已知有三條線段的長(zhǎng)分別為3cm6cm, 9cm的線段，請(qǐng)?jiān)偬硪粭l線段，使這四條線段成比例，求所添線段的長(zhǎng)度.【例27】在 ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊DE 3BC 4AD AEAB、AC 上,且AB ACAE則 ，若 ADE的周長(zhǎng)為90厘米，則 ABC的周長(zhǎng)為 厘米. EC【例28如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC ,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O .(1)圖中有哪幾對(duì)三角形的面積相等？為什么？AO DO(2)求證：.CO BO【例29如圖，在 ABC中，B

11、D AC ,垂足為 D , E是BC邊上的一點(diǎn)， EF AC ,垂足為F , S ABD ： 能邊形abed2:3 ,求AD : AF的值.【例30】已知線段 AB的長(zhǎng)度為l ,點(diǎn)P在線段上,PB型，求線段AP的長(zhǎng).AP AB【例31(1)點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn),AP BP , AB 6厘米，求BP的長(zhǎng);(2)已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn),AB V5 1 ,求AP的值.【例32】如圖，樂(lè)器上的一根弦 AB 80厘米，兩個(gè)端點(diǎn) A、B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn) D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，求 CD的長(zhǎng).【例33如圖，在矩形 ABCD中截取正方形 ABMN ,已知

12、MN是BC和CM的比例中項(xiàng),CM 3 75,求AD的長(zhǎng).【例34如圖，以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形 ABCD ,取AB的中點(diǎn)P,連接PD .在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) F ,使PF PD .以AF為邊作正方形 AMEF，點(diǎn)M在AD上.(1)求線段AM、DM的長(zhǎng)；(2)求證：AM2 AD DM ;(3)請(qǐng)指出圖中的黃金分割點(diǎn).隨堂檢測(cè)【習(xí)題1】對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行放縮時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是()(A)圖形中線段的長(zhǎng)度與角的大小都保持不變(B)圖形中線段的長(zhǎng)度與角的大小都會(huì)改變(C)圖形中線段的長(zhǎng)度保持 不變、角的大小可以改變(D)圖形中線段的長(zhǎng)度可以 改變、角的大小保持不變【習(xí)題2】在下圖中，畫(huà)出四邊形AB

13、CD的相似四邊形A7/D/AB3/J10/ 1369,， .AB1clD1，使 A1B1 : AB 1:2.【習(xí)題3】已知：a、b、c、d是四條線段,它們的長(zhǎng)度分別是 a 1mm , b 0.8cm , c 0.02cm ,14 / 130.4dm,它們是不是成比例線段?【習(xí)題4】已知甲、乙兩地之間的距離為10千米，畫(huà)在一張地圖上的距離為 5厘米，那么在這張地圖上量得的距離為 2厘米的A、B兩地的實(shí)際距離為 千米.【習(xí)題5】已知點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，且 ABC與 DAC是相似形，點(diǎn) A、B、C分別與點(diǎn) D、A、C 對(duì)應(yīng),CB :CA 3: 2 ,求 CD : DB 的值.【習(xí)題6】若a:b x

14、y:x y,則x:y 【習(xí)題7】直線l上順次有四點(diǎn) A、B、C、D,且當(dāng) 處 3,則匹 BC DCADABCD【習(xí)題8】點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，求 竺 的值.AB課后作業(yè)【作業(yè)1】舉出日常生活中相似的圖形的實(shí)例.【作業(yè) 2】若 2x y : 3x 2y 1:2 ,貝U x: 2y .【作業(yè)3】下列各組四邊形中是相似多邊形的是()(A) 一組鄰邊為2厘米和5厘米與一組鄰邊為 3厘米和6厘米的矩形(B)有一個(gè)內(nèi)角為30的兩個(gè)菱形(C)邊長(zhǎng)分別為3厘米和4厘米的兩個(gè)菱形(D)兩個(gè)高相等的等腰梯形【作業(yè)4】已知 ABC的三邊長(zhǎng)分別是 4、5、6 ,與其相似的 ABC的最小邊長(zhǎng)是12,求ABC的周長(zhǎng).【作業(yè) 5】a 7cm , b