《數值計算方法》課后題答案(湖南大學-曾金平)

1、習題一1設>0相對誤差為2%，求，的相對誤差。解：由自變量的誤差對函數值引起誤差的公式：得（1）時；（2）時2設下面各數都是經過四舍五入得到的近似數，即誤差不超過最后一位的半個單位，試指出他們各有幾位有效數字。（1）；（2）；（3）。解：由教材關于型數的有效數字的結論，易得上面三個數的有效數字位數分別為：3，4，53用十進制四位浮點數計算（1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪個較精確？解：（1）31.97+2.456+0.1352=0.3457（2）31.97+（2.456+0.1352）= =0.3456易見31.97+2.456

2、+0.1352=0.345612，故（2）的計算結果較精確。4計算正方形面積時，若要求面積的允許相對誤差為1%，測量邊長所允許的相對誤差限為多少？解：設該正方形的邊長為，面積為，由解得=0.5%5下面計算的公式哪個算得準確些？為什么？（1）已知，（A），（B）；（2）已知，（A），（B）；（3）已知，（A），（B）；（4）（A），（B）解：當兩個同（異）號相近數相減（加）時，相對誤差可能很大，會嚴重喪失有效數字；當兩個數相乘（除）時，大因子（小除數）可能使積（商）的絕對值誤差增大許多。故在設計算法時應盡量避免上述情況發(fā)生。（1）（A）中兩個相近數相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準確

3、些。（2）（B）中兩個相近數相減，而（A）中避免了這種情況。故（A）算得準確些。（3）（A）中使得誤差增大，而（B）中避免了這種情況發(fā)生。故（B）算得準確些。（4）（A）中兩個相近數相減，而（B）中避免了這種情況。故（B）算得準確些。6用消元法求解線性代數方程組假定使用十進制三位浮點數計算，問結果是否可靠？ 解：使用十進制三位浮點數計算該方程則方程組變?yōu)椋?）-（2）得，即，把的值代入（1）得；把的值代入（2）得解不滿足（2）式，解不滿足（1）式，故在十進制三位浮點數解該方程用消元法計算結果不可靠。7計算函數和處的函數值（采用十進制三位浮點數計算）。哪個結果較正確？解：=即，而當時的精確值為1

4、.6852，故的算法較正確。8按照公式計算下面的和值（取十進制三位浮點數計算）：（1）；(2。解：（1）=（2）=9已知三角形面積，其中。證明：。證明：由自變量的誤差對函數值的影響公式：。 得=（當時，），命題得證。習題二1找出下列方程在附近的含根區(qū)間。（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）設，則，由的連續(xù)性知在內，=0有根。同題（1）的方法可得：（2），（3），（4）的零點附近的含根區(qū)間分別為；2用二分法求方程在內的根的近似值并分析誤差。解：令，則有，所以函數在上嚴格單調增且有唯一實根。本題中求根使得誤差不超過，則由誤差估計式，所需迭代次數滿足，即取便可，因此取。用二分法計算結果列表如下

5、：0021-0.15851121.50.4962211.51.250.1862311.251.1250.015051411.1251.0625-0.071851.06251.1251.09375-0.0283561.093751.1251.109375-0.0066471.1093751.1251.11718750.00420881.1093751.11718751.11328125-0.00121691.113281251.11718751.1152343750.001496101.113281251.1152343751.11425781250.001398111.113281251.11

6、425781251.11376953125-0.000538121.113769531251.11425781251.114013671875-0.000199131.1140136718751.11425781251.1141357421875-0.0000297141.11413574218751.11425781251.114196777343750.000055由上表可知原方程的根該問題得精確解為，故實際誤差為3判斷用等價方程建立的求解的非線性方程在1.5附近的根的簡單迭代法的收斂性，其中（A）；（B）；（C）解：取1.5附近區(qū)間來考察。（A），顯然當時，單調遞減，而， ，因此，當時，

7、 。又當時，由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式， 收斂。（B），則， ， ，所以當時， 。又當時，由迭代法收斂定理，對任意初值，迭代格式，收斂。（C），由于當時，有，所以對任意初值（原方程的根除外），迭代格式 發(fā)散。4確定的簡單迭代法的收斂區(qū)間。如果收斂，試估計使精度達到時所需的迭代次數并進行計算。（A）； （B）； （C）解：（A）方程為，設，則，故有根區(qū)間為，題中，故迭代公式在含根區(qū)間內收斂。（B）方程為，設，則，故有根區(qū)間為，題中，故迭代公式在含根區(qū)間內收斂。（C）方程為，設，則，故有含根區(qū)間，題中，5對下點列用埃特金方法加速。解：由埃特金加速公式計算，結果列下表：00.540300

8、0.9617812834383110.8775810.9821175178448120.9449620.9898077326036030.9689140.9800750.9861460.989816令初值，分別用牛頓迭代法，雙點弦割法和單點弦割法求解方程的解。解：牛頓迭代法，滿足，由牛頓迭代法的收斂條件知當取初值為時迭代法收斂。牛頓迭代格式為：0113.522.6071428571428632.4542563600782842.4494943716069752.4494897427875562.4494897427831872.44948974278318在第6部迭代后，迭代點得小數點后14位

9、已無變化，故可取雙點弦割法雙點弦割法迭代格式為：0113.522.1111111111111132.3861386138613942.4542563600782852.4494273572571262.4494896821414472.4494897427839582.4494897427831892.44948974278318在第8部迭代后，迭代點得小數點后14位已無變化。雙點弦割法雙點弦割法迭代格式為：2.4494943716069616高等教育(1強高考落榜后就隨本家哥去沿海的一個港口城市打工。(2那城市很美，強的眼睛就不夠用了。本家哥說，不賴吧?強說，不賴。本家哥說，不賴是不賴，可總

10、歸不是自個兒的家，人家瞧不起咱。強說，自個兒瞧得起自個兒就行。(3強和本家哥在碼頭的一個倉庫給人家縫補篷布。強很能干，做的活兒精細，看到丟棄的線頭碎布也拾起來，留作備用。(5在露天倉垛里，強查看了一垛又一垛，加固被掀起的篷布。待老板駕車過來，他已成了個水人兒。老板見所儲物資絲毫未損，當場要給他加薪，他就說不啦，我只是看看我修補的篷布牢不牢。老板見他如此誠實，就想把另一個公司交給他，讓他當經理。強說，我不行，讓文化高的人干吧。老板說，我看你行強說，不行，你不會把這里當成自個兒的家。本家哥臉漲得紫紅，罵道，你真沒良心。強說，把自個兒的事干好才算有良心。 (15晚餐很簡單，但有特色。所有的盤子都盡了

11、，只剩下兩個小籠包子，強對服務小姐說，請把這兩個包子裝進食品袋里，我?guī)ё摺?16雖說這話很自然，他的助手卻緊張起來，不住地看那外商。那外商站起來，抓住強的手緊握著，說，OK，明天我們就簽合同? 為什么能做得這么好 ? (19強說，我家很窮，父母不識字，可他們對我的教育是從一粒米、一根線開始的。后來我父親去世，母親辛辛苦苦地供我上學。她說俺不指望你高人一等，你能做好你自個兒的事就中19求的2分）令 強所說的“良心”： 20.請舉例說明小說主人公強身上體現出了哪些性格特征(至少答出3答： 迭代格式，并討論算法的收斂性。解：牛頓迭代格式為：令，因為當時，故對于任何滿足9判斷用Newton迭代求解方程

12、的收斂性。“風景”一詞的意思是“一定地域內由山水、花草、樹木、建筑物以及某些自然現象形成的可供人觀賞的景象”。然而，在人們的心中，“可供人觀賞的景象”又何止于“自然現象”呢?在不同的人心中，也一定有著自己認為的“最美的風景”。那么，在你的心中，最美的風景又是什么呢？請以“心中最美的風景”為題寫一篇不少于600字的作文。除詩歌外，文體不限。 時，要使Newton迭代法收斂對于初值，需滿足當時，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故當）只緣身在此山中 （6）仿佛是踴躍的鐵的獸脊似的； （2）； （杜甫書是人類進步的階梯 高爾基書是智慧的鑰匙（1）當時，1，故迭代序列不收斂；（2）當時，迭代序列8.

13、 派 才 害怕 ，迭代序列收斂，且收斂于方程的解。11求分別用下列迭代格式求解方程時的收斂階。（1）Newton迭代格式；（2）迭代格式。211、為人講信用，或者待人誠懇、守信。（言之有理即可）(2分收斂于（ 1分）（1）14至少不能去掉，“至少”強調（突出）了經濟損失之大或強調（突出）了土壤污染導致嚴重的經濟損失，刪掉就變成損失僅僅只有這么多，不符合實際情況，體現了說明文語言的準確性。(2分15吸收有害物質；集中焚燒處理（一空一分）迭代格式（ 2 ） 解：由下山Newton迭代格式(2暴風雨中主動加固被掀起的篷布，體現了他的敬業(yè)。老板要為他加新，他說他只是看看修補的篷布牢不牢，體現了他的誠實

14、。他拒絕進城的本家哥求職的要求，體現了他不徇私情。習題三11分別用高斯消元法和列選主元法解方程組（精確到小數點后四位）：解：高斯消元法：=高斯列選主元消元法 2分別用高斯消元法和列選主元法解方程組解：高斯消元法=列選主元法3.方程組 Ax=b 經過一次Gauss消元后,系數矩陣A=, 變?yōu)?其中=為(n-1(n-1矩陣.其元素為=-/, 2,3,n.證明下面結論:（1）當A對稱正定時, 也對稱正定;（2）當A對角占優(yōu)時, 也對角占優(yōu).證明:（1）因為A對稱,所以 ;=-/=故對稱; A正定, ，又 = 其中: 顯然, 非奇異;對任何x , 有: A正定, ， 正定;又: = 而 故正定;(1

15、當A對角占優(yōu)時, 故 對角占優(yōu)4.證明 (1兩個單位上(下三角形矩陣的乘積仍為單位上(下 三角形矩陣;(2兩個上(下三角形矩陣的乘積仍為上(下 三角形矩陣.證明:(1 不妨考慮證單位下三角矩陣,單位上三角矩陣證明方法相同設 AB=C 其中:當i 時 當時， ，所以,C為單位上三角矩陣(2 證明方法類似(15證明單位上(下三角形矩陣的逆矩陣仍為單位上(下三角形矩陣;非奇異上(下三角形矩陣的逆矩陣仍為非奇異的上(下三角形矩陣;證明:6.用矩陣的三角分解求解下列線形代數方程組（1）解： （2）解： （3）解： （4） 解 7求解矩陣方程。解； X=8用追趕法解線性代數方程組(4那夜暴風雨驟起，強從床

16、上爬起來，沖到雨簾中。本家哥勸不住他，罵他是個傻蛋。2.449489740892522.4494897427813418.第節(jié)中，老板讓強管理一個公司，他認為“比文化高的是人身上的那種東西”。請寫出“那種東西”所指的具體內容。（2位已無變化，因收斂速度較慢，故只精確到小數點后答： 解：牛頓迭代格式為：即（3分）22即在你的成長過程中，對你影響最大的教育是什么?你如何看待這種教育?(不超過100字 （3分）2.C（時，Newton迭代法不收斂。所以用Newton迭代求解方程 （4）銅雀春深鎖二喬 （5）海日生殘夜解之得：解：顯然分）17示例：還我青山碧水，還我土地芬芳。 保護環(huán)境，人人有責（從我

17、做起）12當初值取為下列各值時，用下山Newton迭代求解方程組是否收斂？(意思正確即可 （2分）td td 0113.522.1111111111111132.6071428571428642.3861386138613952.4766081871345062.4381833473507272.4542563600782882.4474895545641292.45033071771908102.44913644779691112.44963821399228122.44942735725712132.44951595791130142.44947872716250152.449487797

18、73504172.44949056010085182.44948939934302192.44948988709816202.4494896821414321252.44948974357764(82.44948974244934強知道了并不惱，說，我們既然在一起共事，就把事辦好吧，這個經理的帽兒誰都可以戴，可有價值的并不在這頂帽上(9那幾個大學生面面相覷，就不吭聲了。(10一外商聽說這個公司很有發(fā)展前途，想洽談一項合作項目。強的助手說，這可是條大魚呀，咱得好好接待。強說，對頭。(11外商來了，是位外籍華人，還帶著翻譯、秘書一行。2.44948974272423?(13那外商一愣，說，會的。強

19、就說我們用母語談好嗎?(14外商就道了一聲“OK30(17事成之后，老板設宴款待外商，強和他的助手都去了。2.44948974278755住宅工程質量分戶驗收現場實測記錄表二工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 棟號：11棟 A座 房號：0404建筑水電設備安裝工程驗收項目驗收內容實 測 記 錄是否符合要求123456789101、給排水系統(tǒng)安裝分戶給水壓力（Mpa）0.3是水壓試驗項 目工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏給水強度0.30.8600.03符合要求嚴密性0.351200.02符合要求排水強度無滲漏嚴密性符合要求水封高度（）2、建筑電氣安裝導線截面（2）

20、進戶線ZR-BV-3*102配線HA-NA-PEN-PE絕緣強度（M）J500500180漏電保護動作（mS）303、燃氣工程安裝工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏質量缺陷及整改結果（永久缺陷）驗收結論一次驗收合格 經整改后驗收合格 驗收人員簽字建設單位：年 月 日總承包單位：年 月 日監(jiān)理單位：年 月 日年 月 日年 月 日住宅工程質量分戶驗收現場實測記錄表二工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 棟號：11棟 A座 房號：0301建筑水電設備安裝工程驗收項目驗收內容實 測 記 錄是否符合要求123456789101、給排水系統(tǒng)安裝分戶給水壓力（Mpa）0.3是水壓

21、試驗項 目工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏給水強度0.30.8600.03符合要求嚴密性0.351200.02符合要求排水強度無滲漏嚴密性符合要求水封高度（）2、建筑電氣安裝導線截面（2）進戶線ZR-BV-3*102配線HA-NA-PEN-PE絕緣強度（M）J450480150漏電保護動作（mS）603、燃氣工程安裝工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏質量缺陷及整改結果（永久缺陷）驗收結論一次驗收合格 經整改后驗收合格 驗收人員簽字建設單位：年 月 日總承包單位：年 月 日監(jiān)理單位：年 月 日年 月 日年 月 日住

22、宅工程質量分戶驗收現場實測記錄表二工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 棟號：11棟 A座 房號：0302建筑水電設備安裝工程驗收項目驗收內容實 測 記 錄是否符合要求123456789101、給排水系統(tǒng)安裝分戶給水壓力（Mpa）0.3是水壓試驗項 目工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏給水強度0.30.8600.05符合要求嚴密性0.351200.02符合要求排水強度無滲漏嚴密性符合要求水封高度（）2、建筑電氣安裝導線截面（2）進戶線ZR-BV-3*102配線HA-NA-PEN-PE絕緣強度（M）J500500200漏電保護動作（mS）603、燃氣工程安裝工作壓力（

23、Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏質量缺陷及整改結果（永久缺陷）驗收結論一次驗收合格 經整改后驗收合格 驗收人員簽字建設單位：年 月 日總承包單位：年 月 日監(jiān)理單位：年 月 日年 月 日年 月 日住宅工程質量分戶驗收現場實測記錄表二工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 棟號：11棟 A座 房號：030348。解： ， ， ， ， 10證明等價關系：證明：又，所以 由Cauchy不等式知： ，所以：綜上說述，即證。11證明由 定義的|是中的范數。證明：顯然： 且|A+B|= =+12 證明證明：對任何由于 故 即成立：解：先求出的逆矩陣然后，計算 、建筑電氣安裝 得出： 15

24、求用雅克比迭代解下列線性代數方程組的兩次迭代解（取初始向量0）。 解：（，取則 （ 16若要求精度，仍用雅克比迭代求解15題，至少需迭代多少次？2 ） k=0,1, 取 則 高斯塞德爾迭代矩陣，所以，雅克比迭代和高斯塞德爾迭代同時收斂或發(fā)散。21設線性代數方程組為(1 試用最速下降法求解（取初始向量 房號：0201(2 試用共軛梯度法求解（取初始向量）。解：（ =0.7410拋物線插值： =0.7422.已知x=0,2,3,5對應的函數值分別為y=1,3,2,5. 0.477建設單位：年 年工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 =|A|強度，因此，A-NA-PE）雅可比迭代式為： 年 月 日試求三次多項式

25、的插值穩(wěn)壓時間（min1-2/3td td 建筑水電設備安裝工程驗收項目驗收內容實 測 記 錄是否符合要求123p5679101、給排水系統(tǒng)安裝分戶給水壓力（Mpa）0.3是水壓試驗項 目工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa）或泄漏給水強度0.30.8600.03符合要求嚴密性0.351200.01符合要求排水強度無滲漏嚴密性符合要求水封高度（）2、建筑電氣安裝導線截面（2）進戶線ZR-BV-3*102配線HA-NA-PEN-PE絕緣強度（M）J500500200漏電保護動作（mS）503、燃氣工程安裝工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）壓降（M

26、pa）或泄漏質量缺陷及整改結果（永久缺陷）驗收結論一次驗收合格 經整改后驗收合格 驗收人員簽字建設單位：年 月 日總承包單位：年 月 日監(jiān)理單位：年 月 日年 月 日年 月 日工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）另一方面：設指標符合要求嚴密性定義如下： 顯然，=1而且，從而，強度的性態(tài)，并求精確解，設近似解，計算余量以及近似解的相對誤差解：因為該線性方程組的系數矩陣的逆矩陣為：條件數為4.0020e+003，遠大于1。所以其為病態(tài)的，其精確解為：嚴密性余量為：r=，所以：14計算水封高度（）矩陣絕緣強度（M） 500） 雅可比迭代矩陣為： 由公式知，需要10次迭代（2）雅可比迭代矩陣為：，同上

27、，需要次迭代。17求用高斯塞德爾迭代求解15題的兩次迭代解（取初始向量0）。（1）高斯賽德迭代式工作壓力（取，則 穩(wěn)壓時間（min）壓降（Mpa 則 18求用SOR迭代（）求解15題的兩次迭代解（取初始向量0）。解：（1） k=0,1,取一次驗收合格 判斷高斯塞德爾迭代的收斂性。年 故雅克比迭代發(fā)散（2） 高斯塞德爾迭代矩陣= ，故高斯塞德爾迭代收斂20設矩陣A為二階矩陣，且。證明雅克比迭代和高斯塞德爾迭代同時收斂或發(fā)散。證明： 因為，所以雅克比迭代矩陣實由 和K=0,1,2,3 得 360.1667 0.5000 0.1667 （2）共軛梯度法由 項 目工作壓力 試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（

28、min ，即為精確解給水強度習題四1.已知0.8試用線性插值和拋物插值計算.ln2.1的值并估計誤差解：線形插值：取 符合要求 嚴密性=3.設函數在a,b上具有直到二階的連續(xù)導數,且f(a=f(b=0,求證:解：取， 4.證明n次Lagrange插值多項式基函數滿足 則進戶線所以 即證配線H證明：、取 則 所以，6.設有n個不同的實根證明:證明：取 而， 有n個不同的實根?？梢詫懗?.分別求滿足習題1和習題中插值條件的Newton插值(12.0工作壓力（Mpa）試驗壓力（0.7885壓降（Mpa）或泄漏-0.11=0.693+0.477(x-2-0.11(x-2(x-2.20.693+0.04

29、77-0.0011=0.7419(2質量缺陷及整改結果（永久缺陷）經整改后驗收合格 驗收人員簽字日總承包單位：2日5監(jiān)理單位：3/2年 月 日8.給出函數f(x的數表如下,求四次Newton插值多項式,并由此計算f(0.596日 0.90住宅工程質量分戶驗收現場實測記錄表二棟號： 11 棟 A 座 房號：0202F2F3驗收項目驗收內容實 測 記 錄是否符合要求0.550.5781530.650.696751.1860090.80.888111.275730.35893是0.91.026521.38410項 目工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）0.524920.22863壓降（Mpa）或泄漏

30、強度0.30.8所以 f(0.596=0.631959.已知函數y=sinx的數表如下0.05符合要求0.40.50.350.70.389420.03符合要求0.64422排水強度無滲漏0.50.479430.60.564640.085210.64422符合要求水封高度（）(0.5+th=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1， h=0.1 取t=0.7891(0.57891=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714即sin(0.57891=0.54714后插： 取節(jié)點 0.4 0.5 0.6-0.00

31、48進戶線ZR-BV-3*102配線HA-PE0.479430.090010.60.08521(0.6+th=0.56464+0.08521*t-*t(t+1，h=0.1 取t= - 0.2109(0.57891=0.56464+0.08521(-0.2109-0.0024(-0.2109(0.7891=0.540686210.證明差商有線性性質,即若h(x=，其中，為常數，則 證明4011.設計算及工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（min）1231-1構造Hermite 驗收結論1一次驗收合格 經整改后驗收合格 驗收人員簽字建設單位： 12月 > 0> 1 年 月 2

32、3年 月 -1月 日年 月 日3住宅工程質量分戶驗收現場實測記錄表二工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 試求Hermite 棟 A座 1建筑水電設備安裝工程驗收內容實 測 記4是否符> 1> 3> 4425> 789101、給排水系統(tǒng)安裝分戶給水壓力（Mpa）0.314.利用差分性質證明：15設對每一個整數j, 有計算,并對該函數做一個差分表解：強度12-30.8-0.04符合要求嚴密性6-強度-7嚴密性符合要求16 設函數取等距樣條節(jié)點。（1）計算函數在這些節(jié)點處的函數值，并作解：取 2-17給定插值條件數據進戶線ZR-BV-3*1021配線HA-N0000和端點條件(1，（2

33、）試分別求滿足上述條件的三次樣條插值的分段表達式解：(1易知：hi=1 =1/2 500由基本方程組： 即有： 解出： 當時：當時：=當時：（2）因為 j=0,1,2,3 解出： 由知：壓降（Mpa）或泄漏，對任何含0為節(jié)點的分劃都是三次樣條函數質量缺陷及整改結果（永久缺陷）驗收結論1一次驗收合格 (a驗收人員簽字建設單位：年 月 1總承包單位：2年 月 日1監(jiān)理單位：2年 月 日年 月 日解：由，年 。計算可得，該組數據的最小二乘擬合直線為：-20工程名稱：佳兆業(yè)可園一期 棟號：11棟座 房號：建筑水電設備安裝工程1.2驗收項目驗收內容實 測 記 錄是否符合要求123，。，該組數據的最小二乘擬合直線為：9101、給排水系統(tǒng)安裝分戶給水壓力（Mpa）0.50是0.75水壓試驗項 1.0000工作壓力（Mpa）試驗壓力（Mpa）穩(wěn)壓時間（2.1170） 壓降（給水強度計算得，。 ，該組數據的最小二乘擬合直線為：符合要求求最小二乘擬合一次、二次和三次多項式，擬合如下數據并畫出數據點以