因式分解(奧賽)

1、因式分解【奧賽花絮】 最早的數(shù)學(xué)競賽 匈牙利是舉辦中學(xué)數(shù)學(xué)競賽最早的國家，自 1894 年匈牙利物理數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)通 過了關(guān)于舉行中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽的決議起， 每年十月舉行這種競賽。 僅僅 由于兩次世界大戰(zhàn)和 1956年的匈牙利時(shí)件間斷過 7 年。 2003年舉行的是第 103 屆匈牙利數(shù)學(xué)競賽?！緤W賽賽點(diǎn)】 將一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式， 叫做因式分解。 因式分解是一種重 要的恒等變形， 在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。 因式分解的方法比較多， 除了課本介紹 的提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法外，我們還要掌握換元法,主元法,配方法 , 待定系數(shù)法等?！窘忸}思路與技巧 】1換元法.在解題的

2、過程中， 我們常把某個(gè)比較復(fù)雜的代數(shù)式看成一個(gè)整體， 將它用一 個(gè)字母來代替，從而簡化這個(gè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，這種方法就是換元法 .在因式分解中用換元法， 又可細(xì)分為整體代換 （如例 1，例 2），對稱代換 （如 例 3），倒數(shù)代換（如例 4），平均代換（如例 5）等 .2主元法 在分解一個(gè)含有多個(gè)字母的多項(xiàng)式時(shí)，我們常選擇一個(gè)字母作為主要元素， 將其他字母看作常數(shù)， 然后將多項(xiàng)式按選定的字母降冪排列， 這種方法叫做主元 法。用主元法往往可以得到恰當(dāng)?shù)姆纸M，從而找出公因式來，如例6。3配方法通過添項(xiàng)，拆項(xiàng)利用公式將一個(gè)多項(xiàng)式配成一個(gè)完全平方， 是一種常用的恒 等變形技巧，以便利用公式來分解因式，如例

3、 7，例 8。4待定系數(shù)法 在解決有關(guān)多項(xiàng)式時(shí)，可先假定問題的結(jié)果已經(jīng)求出，其中含有未知系數(shù)， 然后根據(jù)多項(xiàng)式恒等的定義或性質(zhì)， 列出含有這些未知數(shù)的方程或方程組， 通過 解方程或方程組，求出未知系數(shù)的值，從而解決問題的方法，如例9，例 10?！镜湫褪纠坷? (1994年第 6屆“五羊杯”數(shù)學(xué)競賽試題 ) 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式：( 1) 16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x-1)+25=.( 2) (6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x 2=.( 3) (6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x 4=.解 (1)原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x

4、+4)+25=(24x 2-16x+2) (24x2-16x-8)+25 設(shè) 24x2-16x+2=t, 原式=t(t-10)+25=(t-5) 2=(24x2-16x-3)2(2)原式=(6x-1) (x-1) (2x-1)(3x-1) +x 2=(6x2-7x+1)(6x2-5x+1) +x2 設(shè) 6x2-7x+1=t, 原式 =t(t-2x) +x2=(t-x)2=(6x2-6x+1)2 (3)原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1) +9x 4=(6x2-7x+1) (12x2-7x+1)+ 9x4 設(shè) 6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t)+ 9x4=(t+3

5、x2)2=(9x2-7x+1)2例 2 (2000年第 12屆“五羊杯”數(shù)學(xué)競賽試題 ) 分解因式： (2x 3y)3 + (3x 2y)3 125(xy)3=.解設(shè)2x 3y=a, 3x 2y=b, -5x+5y=c,顯然 a+b+c=0. 由公式 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab) 知此時(shí)有 a3+b3+c3=3abc，故有原式=3(2x 3y) (3x 2y) (-5x+5y)=-15(2x 3y) (3x 2y)(x-y)例 3 (1997-1998年天津市初二數(shù)學(xué)競賽決賽試題)1分解因式 xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+ 1

6、)-(x+y-1) 2 解 設(shè) xy=a, x+y=b.原式=a(a+1)+(a+3)-2b-1-(b-1)2=a2+2a+1-b2=(a+1)2-b2=(a+1+b)(a+1-b) =(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)例 4（1991 年貴州省初中數(shù)學(xué)競賽試題） 分解因式： x4+x3-4x2+x+1x2 (x 1x) (x2 x12 ) 4xx11解 原式=x2(x x2 4 1 12 )xx設(shè) x 1 t, 則 12 x2 t2 2，1 2 22) =(x 2+3x+1)(x-1) 2 xxx2原式=x2(t+t2-2-4)= x2(t+3

7、)(t-2)= x2(x 1 3)(x x例 5 ( 1994年石家莊市初中數(shù)學(xué)競賽試題) 分解因式 (x+1)4+(x+3)4-272解 x+2=t, 原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2t4+12t2-270=2(t2+15)( t2-9) =2(x2+4x+19)(x+5)(x-1)例 6(1998-1999 年天津市初二數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題)把 2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z 分解因式解 原式=(2x-z)y2-2(2x-z)xy+(2x-z)x 2=(2x-z)(y-x) 2例 7 ( 1986年揚(yáng)州市數(shù)學(xué)競賽試題)因式分解： (1+y)2-2x2(1+y2

8、)+x4(1-y)2解 原式=(1+y) 2+2x2(1-y2)+x4(1-y)2-4x 2=(1+y)+x 2(1-y) 2-(2x)2=(1+y)+x 2(1-y)+2x (1+y)+x 2(1-y)-2x=(x+1) 2-y(x2-1) (x-1) 2-y(x2-1) =(x+1)(x-xy+y+1)(x-1)(x-xy-y-1)例8 ( 1986年廣州，武漢，福州，合肥，重慶五市初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 若 a 為正整數(shù)，則 a4-3a2+9 是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？給出你的證明。解 a4-3a2+9= a4+6a2+9-9a2=( a2+3)2-(3a)2=( a2+3a+3)( a2-3a+3)

9、=( a2+3a+3)( a-1)(a-2)+1當(dāng) a=1 時(shí)， a4-3a2+9=7 是質(zhì)數(shù)；當(dāng) a=2 時(shí)， a4-3a2+9=13是質(zhì)數(shù)；當(dāng) a>2時(shí), a2+3a+3>1, ( a-1)(a-2)+1>1,故 a4-3a2+9 是合數(shù)。例 9 (2002 年太原市初中數(shù)學(xué)競賽試題 )關(guān)于 x,y 的二次式 x 2+7xy+my 2-5x+43y-24 可分解為兩個(gè)一次因式的乘積，則 m 的值是 . 解 設(shè) x2+7xy+my 2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d) ，即 x2+7xy+my2-5x+43y-24=x2+(a+c)xy+acy2+(b+

10、d)x+(ad+bc)y+bd 比較對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得，a+c = 7(1)ac = m(2)b+d = -5(3)ad+bc = 43(4)bd = -24(5)由(3),(5)解得 b = 3,d = -8 或 b =-8,d = 3當(dāng) b = 3,d = -8 時(shí)， (4)式為-8a+3c=43(6)由 (1),(6)解得 a=-2,c=9. 故 m=ac=-18當(dāng) b = -8,d = 3 時(shí)，可以得到同樣的結(jié)果。例 10 (1963 年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽高二第二試試題)已知多項(xiàng)式 x3+bx2+cx+d 的系數(shù)都是整數(shù)并且 bd+cd，證明：這多項(xiàng)式不能分解 為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積

11、。解1 因?yàn)?bd+cd=d(b+c)是奇數(shù),故 b+c和 d都是奇數(shù)。(A) 若 b 是偶數(shù)，c 是奇數(shù)。設(shè) x3+bx2+cx+d 可以分解成兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的 乘積，顯然一定有一個(gè)是一次因式，因?yàn)槭醉?xiàng)系數(shù)是1，不妨設(shè)3 2 3 2x +bx +cx+d = x +(p+q)x +(pq+r)x+d (1) 比較(1)式兩邊的系數(shù)，得pr = d 為奇數(shù)(2)pq+r = c 為奇數(shù)(3)p+q = b 為偶數(shù)(4)x3+bx2+cx+d = (x+p)(x 2+qx+r),其中 p,q,r 都是整數(shù)。故有由(2)知 p,r 都是奇數(shù)，再由 (3)，q為偶數(shù)；這樣一來， (4)式就矛盾了。

12、(B) 若 b是奇數(shù)， c是偶數(shù)?？梢酝瑯拥赝瞥雒軄?。所以 x3+bx2+cx+d 不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。解 2 設(shè) x3+bx2+cx+d = (x+p)(x 2+qx+r),其中 p,q,r 都是整數(shù)取 x=1, 上式左邊 =1+b+c+d 是一個(gè)奇數(shù)，而右邊的因式 x+p=1+p 是一個(gè)偶數(shù) 矛盾。故 x3+bx2+cx+d 不能分解為兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積?！就卣咕毩?xí)】 一 選擇題 1（2002年第 13屆“希望杯”數(shù)學(xué)競賽試題 ） 下列各式分解因式后，可表示為一次因式乘積的是（ ）.（A） x3-9x2+27x-27（ B）x3-x2+27x-27（C）x4-x3+27

13、x-27（ D）x3-3x2+9x-27 2（1985 年上海市初中數(shù)學(xué)競賽試題 ）x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz 因式分解之后，正確的結(jié)果為（） .（ A） （y-z）（x+y）（x-z）（B） （y-z）（x-y）（x+z）（ C） （y+z）（x-y）（x+z） （D） （x+z） （x+y） （x-z） 3（2002年北京市數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題） a4+4 分解因式的結(jié)果是（）.（A） （ a2+2a-2）（a2-2a+2）（B） （a2+2a-2）（a2-2a-2）（C）（ a2+2a+2）（a2-2a-2）（D） （a2+2a+2）（a2-2a+2）4 （19

14、97年第 8 屆“希望杯”數(shù)學(xué)競賽初二第二試試題 ） 把多項(xiàng)式 x2-y2-2x-4y-3 因式分解之后，正確的結(jié)果是（） .（ A） （x+y+3）（x-y-1）（B） （x+y-1）（x-y+3）（ C） （x+y-3）（x-y+1）（D） （x+y+1）（x-y-3）5（1990 年“縉云杯”數(shù)學(xué)競賽試題 ）在 1 到 100 之間若存在整數(shù) n，使 x2+x-n 能分解為兩個(gè)整系數(shù)一次式之積， 這樣 的 n 有（ ）個(gè) .（ A） 0（B） 1（ C） 2（D） 9二 填空題1（2000年第 12屆“五羊杯”數(shù)學(xué)競賽試題 ） 分解因式： （x 2）3 （y 2）3 （xy）3= 2（2

15、002年河南省數(shù)學(xué)競賽試題） 分解因式： x4+2x3+3x2+2x+1=.3（1998年第 9屆“希望杯”數(shù)學(xué)競賽初二第二試試題 ） 把代數(shù)式 （x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1） 2 分解成因式的乘積應(yīng)當(dāng)是4（2000年第 13屆“五羊杯”數(shù)學(xué)競賽試題 ） 分解因式：（x4-4x2+1） （x4+3x2+1）+10x4=.5（1999 年天津市數(shù)學(xué)競賽試題）k 為時(shí)，多項(xiàng)式 x2-2xy+ky2+3x-5y+2 能分解為兩個(gè)一次因式的乘積三 解答題1（1998 年天津市數(shù)學(xué)競賽試題 ）分解因式： （x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x 2 2（1992年沈陽市數(shù)學(xué)競賽試題）

16、分解因式： x4+y4 +z4-2x2y2-2y2z2-2z2x23（1996 年北京市數(shù)學(xué)競賽試題）一個(gè)自然數(shù) a恰好等于另一個(gè)自然數(shù) b的平方，則稱自然數(shù) a為完全平方數(shù)， 如 64=82， 64就是一個(gè)完全平方數(shù)，若 a=19952+19952×19962+19962，求證： a是一 個(gè)完全平方數(shù)。4(1994年“祖沖之杯 ”數(shù)學(xué)邀請賽試題 )已知乘法公式 a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) ，a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4), 利用或不利用上述公式，分解因式： x8+x6+x4+x2+1.5.(第 17 屆江蘇省初二數(shù)

17、學(xué)競賽第二試試題 )多項(xiàng)式 x2-(a+5)x+5a-1能分解為兩個(gè)一次因式 (x+b),(x+c)的乘積,則 a的值應(yīng)為多 少？ 【拓展練習(xí)答案】 一選擇題1. D. 易知 x 3-3x2+9x-27=(x-3) 3,而其它三式中都含有二次因式。2. A. x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz=(y-z) x2+( y2-2yz+z2)x-yz(y- z)2=(y-z)x +(y-z)x-yz= (y-z)(x+y)(x-z)3. D. a4+4= (a4+4a2+4)-4a2=( a2+2)2-(2a)2=(a2+2a+2)(a2-2a+2)4. D. x2-y2-2x

18、-4y-3= (x 2-2x+1) (y2+4y+4) =(x-1) 2-(y+2)2=(x+y+1)(x-y-3)5D. 設(shè) x2+x-n=(x-a)(x+b)= x 2-(a-b)x-ab, 故 a-b=-1,ab=n.于是 n 為兩個(gè)連續(xù)整數(shù) 之積，在 1 到 100 之間，有 2，6，12，20，30，42，56，72，90 共 9 個(gè)。 二填空題13(x-2)(y-2)(x-y).仿例 2的方法解 .2(x2+x+1)2 .仿例 4的方法解 .3(x-1)2(y-1)2.仿例 3的方法解 .4(x2+1)2(x2+x+1) (x2-x+1). 設(shè) x4-4x2+1=t, (x4-4x2+1)(x4+3x2+1)+10x4=t(t+7x2)+ 10x4=(t+2x2) (t+5x2)= (x4+2x2+1) (x4+x2+1)= (x2+1)2(x2+x+1) (x2-x+1)5-3. 因 x 2+3x+2 =(x+1)(x+2),故可設(shè) x2-2xy+ky 2+3x-5y+2=(x+my+1)(x+ny+2), 即 x2-2xy+ky 2+3x-5y+2= x 2+