因式分解知識點(diǎn)歸納

1、因式分解知識點(diǎn)回顧1、因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互為逆運(yùn)算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法： ma mb mc m( a b c)(2) 運(yùn)用公式法：平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) ；完全平方公式： a2 2ab b2 (a b) 2(3) 十字相乘法： x2 (a b)x ab (x a)( x b)因式分解的一般步驟：(1) 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；(2) 提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；(3) 對二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(

2、4) 最后考慮用分組分解法5、同底數(shù)冪的乘法法則： amgan am n( m, n都是正整數(shù)) 同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式。2 3 5 如： (a b)2 g(a b)3 (a b)5 6、冪的乘方法則： (am)n amn( m, n都是正整數(shù))冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如： ( 35 )2 310 冪的乘方法則可以逆用：即 amn (am)n (an )m 如： 46 (42 )3 (43 ) 2 7、積的乘方法則：(ab)n anbn(n 是正整數(shù))積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：( 2x3y2z)5=( 2)5 ?(x3)5 ?(y2)5 ?

3、z532 x15 y10z5m n)8、同底數(shù)冪的除法法則： am an am n( a 0,m, n都是正整數(shù)，且 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如： ( ab) 4 (ab) (ab)3 a3b3 9、零指數(shù)和負(fù)指數(shù)；a0 1 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。1a p p ( a 0,p 是正整數(shù))，即一個(gè)不等于零的數(shù)的p次方等于這個(gè)數(shù)的 p 次方的倒數(shù)。a3 1 3 1如： 2 (2) 810、單項(xiàng)式的乘法法則： 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng) 式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。注意： 積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再

4、計(jì)算絕對值。相同字母相乘，運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則。 只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式 單項(xiàng)式乘法法則對于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，結(jié)果仍是一個(gè)單項(xiàng)式。如： 2x2 y3z?3xy11、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式 ，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即 m(a b c) ma mb mc( m, a,b, c都是單項(xiàng)式 )注意： 積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。 運(yùn)算時(shí)要注意積的符號，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號。 在混合運(yùn)算時(shí)，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。如： 2x(2x 3y) 3y(x y)12、多項(xiàng)式與多

5、項(xiàng)式相乘的法則；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所的的積相加。(3a 2b)(a 3b) 如：(x 5)(x 6)三、知識點(diǎn)分析：1.同底數(shù)冪、冪的運(yùn)算： m n m+na ·a=a(am)n=amn(m，例題 1. 若 2a 264 ，則 a=；若 27 3n ( 3)8 ，則 n=例題 2.若52x 1125 ，求 (x2009 x2) 的值。例題 3.計(jì)算 x3n2y 3 2y2mx(m， n 都是正整數(shù) ). n 都是正整數(shù) ).練習(xí)2n 6n1.若 a2n3，則 a6n2.設(shè) 4x=8y-1,且 9y=27x-1,則 x-y 等于2.積的

6、乘方(ab)n=anbn(n 為正整數(shù) ). 積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘例題 1. 計(jì)算：3nmnnmp43. 乘法公式平方差公式： ab2完全平方和公式：a22abb2完全平方差公式：a22abb2例題 1. 利用平方差公式計(jì)算：例題 2.利用平方差公式計(jì)算：2009×2007 200822007220072 2008 20063. (a2b3cd)(a2b3c d) 考點(diǎn)一、因式分解的概念因式分解的概念：把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解。 因式分解和整式乘法互為逆運(yùn)算1、下列從左到右是因式分解的是()2 2 2A. x(a-b)=a

7、x-bx B. x2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 22C. x -1=(x+1)(x-1) D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 22、若 4a kab 9b 可以因式分解為 (2a 3b) ，則 k 的值為 23、已知 a 為正整數(shù)，試判斷 a2a 是奇數(shù)還是偶數(shù)？24、已知關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 x2mx n 有一個(gè)因式 (x 5) ，且 m+n=17 ，試求 m，n 的值考點(diǎn)二 提取公因式法提取公因式法： ma mb mc m(a b c) 公因式：一個(gè)多項(xiàng)式每一項(xiàng)都含有的相同的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式 找公因式的方法： 1、系數(shù)為各系數(shù)的最大公約數(shù)2 、字母是

8、相同字母3、字母的次數(shù) - 相同字母的最低次數(shù) 習(xí)題1、將多項(xiàng)式 20a3b2 12a2bc 分解因式，應(yīng)提取的公因式是()22A、abB、4a b C、4ab D、 4a bc2、已知 (19x 31)(13x 17) (13x 17)(11x 23) 可因式分解為 (ax b)(8x c) ，其中 a，b 整數(shù)，則 a+b+c 等于( )，c 均為A、-12B、 -32C、 38D、723、分解因式(1) 6a(a b) 4b(a b)(2)3a(x y)6b(y x)n n 1 n 2 ( 3) xx x(4)2011( 3)2011( 3)20104、先分解因式，在計(jì)算求值(1)(2x

9、 1)2 (3x 2) (2x 1)(3x 2)2 x(1 2 x)(3 x 2) 其中 x=1.5222) (a 2)(a2 a 1) (a2 1)(2 a) 其中 a=184 2 2 25、已知多項(xiàng)式x42012x22011x 2012有一個(gè)因式為 x2ax 1 ，另一個(gè)因式為 x2bx求 a+b 的值2 2 5 36、若 ab2 1 0 ，用因式分解法求ab( a 2b 5 ab3 b) 的值7、已知 a， b，c 滿足 ab a b bc b c ca c a 3，求 (a 1)(b 1)(c 1)的值。( 都是正整數(shù))2012 ，a，b，c4) x3 xy225) (a b)2 16

10、) 9(a b)2 30(a2 b2) 25(a b)2考點(diǎn)三、用乘法公式分解因式 平方差公式 a 2 b2 (a b)(a b) 運(yùn)用平方差公式分解的多項(xiàng)式是二次項(xiàng)，這兩項(xiàng)必須是平方式，且這兩項(xiàng)的符號相反 習(xí)題1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()4y2 D 、22x 4y22 A 、 x 4yB、 x2 2y2 1C、 x22、分解下列因式(1) 3x2 12(2)(x 2)(x 4)x2 422(3) (x y)2 (x y)22009 201120102 13、若 n 為正整數(shù)，則 (2n221)2 (2n 1)2一定能被 8 整除完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2

11、運(yùn)用完全平方公式分解的多項(xiàng)式是三項(xiàng)式，且符合首平方，尾平方，首尾兩倍中間放的特點(diǎn)，其中首尾 兩項(xiàng)的符號必須相同，中間項(xiàng)的符號正負(fù)均可。習(xí)題1、在多項(xiàng)式 x2 2xy y2 x2 2xy y2 x2 xy+y2 4x2 1+4x中，能用完全平方公式 分解因式的有( )、 C 、 D 、A、 B2、下列因式分解中，正確的有( 4a a3b2 a(4 a2b2) x2y 2xyxy xy(x 2)ab ac a(a bc) 2 2 2 2 29abc 6a2b 3abc(3 2a) x2yxy 233C 、2 個(gè) DA、0 個(gè) B、123 xy(x y)、5 個(gè)3、如果 x2 2(m3)x16是一個(gè)

12、完全平方式，那么 m 應(yīng)為(A、-5B、3C、7D、7 或 -14、分解因式2(1) mx 4mx 2m(2)2a 2 -4a 2(3)x3 2x2 x224)(2x 3)2 (x 3)225) 8x y 8xy 2y6)(x 2-2xy) 2 +2y 2 (x 2 -2xy)+y227)4x 12xy+9y 4x+6y-35、已知 a b2，ab 2，求 12a3b a2b2 12ab36、證明代數(shù)式 x22y2 10x 8y 45 的值總是正數(shù)7、已知 a， b，c 分別是ABC 的三邊長，試比較 (a22 2 2 2 2b2 c2)2與 4a 2b 2的大小考點(diǎn)四、十字相乘法2（1）二次

13、項(xiàng)系數(shù)為 1 的二次三項(xiàng)式 x px q 中，如果能把常數(shù)項(xiàng) q 分解成兩個(gè)因式 a、b 的積，2并且 a b等于一次項(xiàng)系數(shù) p的值，那么它 就可以把二次三項(xiàng)式 x px q 分解成22x px q x a b x ab x a x b例題講解 1、分解因式： x 2 5x 6分析：將 6 分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。由于 6=2 × 3=(-2)× (-3)=1 × 6=(-1)×(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2× 3 的分解適合，即2+3=5221 2解： x 2 5x6=x2 (2 3)x231 3=(x 2)(x 3)1

14、5;2+1×3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵： 將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積， 且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例題講解2、分解因式： x 27x 6解：原式2 =x( 1)( 6)x (1)(6) 1-1=(x1)(x6)1-6(-1)+(-6 )= -7練習(xí)分解因式(1)2 x14x 24(2)2 a15a 362(3)x2 4x 5(4) x2x2(5)2y2 2y15(6)x2 10x 242、二次項(xiàng)系數(shù)不為 1 的二次三項(xiàng)式 ax2 bx c條件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1b a1c2a2c1分解結(jié)果：2 axbxc=(a1x

15、c1)(a2xc2)例題講解 1、分解因式：3x211x 10分析：1-23-5（-6）+(-5)= -11解：3x211x10 =(x2)(3x 5)分解因式：（1）5x27x 6（2）3x2 7x23) 10x2 17x 324) 6y 2 11y 108b ( 16b)a 8b ( 16b)=(a 8b)(a 16b)分解因式 (1) x2 3xy 2y 2(2)m2 6mn 8n2 (3) a 2 ab 6b24、二次項(xiàng)系數(shù)不為 1 的多項(xiàng)式 例題講解12x2 7xy 6y2-2y-3y2(-3y)+(-4y)= -7y 解：原式 =(x 2y)(2x 3y)22x 2y2 3xy 2

16、 把 xy 看作一個(gè)整體 1 -2 -1)+(-2)= -3解：原式 =(xy 1)(xy 2)分解因式：( 1) 15x2 7xy4y22)22a x 6ax 83、二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的多項(xiàng)式 例題講解、分解因式： a 2 8ab 128b2 分析：將 b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于 a 的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。1 8b1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： a2 8ab 128b2=a2考點(diǎn)五、因式分解的應(yīng)用1、分解下列因式21) 3x2 332 xy4x3) x3 6x2 27x4)a2 b2 2b 12、計(jì)算下列各題21) (4a2 4a 1) (2a 1)2

17、2 22) (a2 b2 c2 2ab) (a b c)22) (2x 3)2 (2x 3)3、解方程22(1) 16(x 1)2 25(x 2)24、如果實(shí)數(shù) a b，且 10a b10b aa1b1那么 a+b 的值等于 5、1 2212324252 6234562 2 2 220092 20102 20112 201222009 2010 2011 20126、若多項(xiàng)式 x2ax 12 能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次因式的乘積，試確定符合條件的整數(shù)a 的值（寫出 3 個(gè)）7、先變形再求值（1）已知 2x y 1 ， xy 4 ，求 2x y x y 的值162)已知 3x2 8x 2 0，求 12x2 32x 的值8、已知