高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破18不等式的證明策略大智學(xué)校山東最大的小班一對一輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)大智學(xué)校資料有濟(jì)南臨沂青島分校

1、山東省最大的中小學(xué)課外輔導(dǎo) 提分熱線提分太快 請系好安全帶！中高考熱門資料庫（免費(fèi)下載）:難點(diǎn)18 不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合. 高考解答題中，常滲透不等式證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.難點(diǎn)磁場( 已知a 0，b 0，且a +b =1.求證：(a +a1(b +b1 425.案例探究例1證明不等式nn 2131211<+(n N *命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以

2、及邏輯分析能力，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題是一個(gè)與自然數(shù)n 有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤：這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略大小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n =k 到n =k +1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項(xiàng)，有的放矢，直達(dá)目標(biāo)；而證法三運(yùn)用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心，發(fā)人深省.證法一：(1當(dāng)n 等于1時(shí)，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2假設(shè)n =k (k 1 時(shí)，不等式成立，即1+k13121+2k ，,12111(111(21121131211+

3、=+<+=+<+k k k k k k k k k k 則當(dāng)n =k +1時(shí)，不等式成立. 綜合(1、(2得：當(dāng)n N *時(shí)，都有1+n13121+2n .另從k 到k +1時(shí)的證明還有下列證法：,1111212212:.12112, 01, 1(21 1(2,01(1( 1(2 1(21 1(22+=+>+=-+<+>+<+>+-=+-=+-+k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k又如提分熱線提分太快 請系好安全帶！中高考熱門資料庫（免費(fèi)下載）:.12112+<+

4、k k k證法二：對任意k N *，都有：.21(2 23(2 12(22131211,1(21221n n n nk k k k k k k =-+-+-+<+-=-+<+=因此證法三：設(shè)f (n =,131211(2n n +-那么對任意k N * 都有：11( 1(21(111 1(2 1(21111 1(2 ( 1(2>+-+=+-+=-+-+=+-+=-+k k k k k k k k k k k k k k k k f k ff (k +1f (k 因此，對任意n N * 都有f (n f (n 1 f (1=10， .2131211n n<+例2求使yx

5、+a y x +(x 0，y 0 恒成立的a 的最小值.命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于級(jí)題目.知識(shí)依托：該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a 的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ) 呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯(cuò)解分析：本題解法三利用三角換元后確定a 的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x 、y 與cos 、sin 來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令x =cos，y =sin(02，這樣也得a sin+cos，但是這種換元是錯(cuò)誤的. 其原因是：(1縮小了x 、y 的范圍；(2這樣換元相當(dāng)于本題

6、又增加了“x 、y =1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a 滿足不等關(guān)系，a f (x ，則a min =f (x max ；若 a f (x ，則a max =f (x min ，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題. 還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化.解法一：由于a 的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x +y +2xy a 2(x +y ，即2xy (a 21(x +y ， x ，y 0，x +y 2xy ，提分熱線提分太快 請系好安全

7、帶！中高考熱門資料庫（免費(fèi)下載）:當(dāng)且僅當(dāng)x =y 時(shí)，中有等號(hào)成立.比較、得a 的最小值滿足a 21=1， a 2=2，a =2 (因a 0 ，a 的最小值是2.解法二：設(shè)yx xyyx xyy x yx y x yx yx u +=+=+=+=212(2.x 0，y 0，x +y 2xy (當(dāng)x =y 時(shí)“=”成立 ，yx xy+21，yx xy+2的最大值是1.從而可知，u 的最大值為21=+，又由已知，得a u ，a 的最小值為2. 解法三：y 0， 原不等式可化為yx +1a1+yx ，設(shè)yx =tan，(0，2.tan +1a 1tan 2+；即tan +1a se c a sin

8、 +cos=2sin(+4，又sin(+4的最大值為1(此時(shí)=4.由式可知a 的最小值為2.錦囊妙計(jì)1. 不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1比較法證不等式有作差(商 、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野.2. 不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等. 換元法主要

9、有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性. 放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查. 有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法. 凡是含有“至少”山東省最大的中小學(xué)課外輔導(dǎo)提分熱線提分太快 請系好安全帶！中高考熱門資料庫（免費(fèi)下載）:“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、填空題1.( 已知x 、y 是正變數(shù)，a 、b 是正常數(shù)，且yb

10、x a +=1，x +y 的最小值為_.2.( 設(shè)正數(shù)a 、b 、c 、d 滿足a +d =b +c ，且|a d |b c |，則ad 與bc 的大小關(guān)系是_.3.( 若m n ，p q ，且(p m (p n 0，(q m (q n 0，則m 、n 、p 、q 的大小順序是_.二、解答題4.( 已知a ，b ，c 為正實(shí)數(shù)，a +b +c =1.求證：(1a 2+b 2+c 231(2232323+c b a 65.( 已知x ，y ，z R ，且x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，證明：x ，y ，z 0，326.( 證明下列不等式： (1若x ，y ，z R ，a ，b

11、 ，c R +，則cb a yba c xac b +22z 22(xy +yz +zx (2若x ，y ，z R +，且x +y +z =xyz ， 則zy x yx z xz y +2(zyx111+7.( 已知i ，m 、n 是正整數(shù)，且1i m n . (1證明：n i A i m m i A i n ；(2證明：(1+m n (1+n m8.( 若a 0，b 0，a 3+b 3=2，求證：a +b 2，ab 1.參考答案難點(diǎn)磁場證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab 2+4(a 2+b 2 25ab +40，即證4(ab 233(ab +80，即證ab 41或ab 8.a 0，

12、b 0，a +b =1，ab 8不可能成立1=a +b 2ab ，ab 41，從而得證.證法二：(均值代換法山東省最大的中小學(xué)課外輔導(dǎo)提分熱線提分太快 請系好安全帶！中高考熱門資料庫（免費(fèi)下載）:設(shè)a =21+t 1，b =21+t 2.a +b =1，a 0，b 0，t 1+t 2=0，|t 1|21，|t 2|21. 42541254132541 45(41141(141(21(21( 11(11(211 1(211 1(11 1(1(2242222222222222222112122221122212122=-+=-+=-+=+=+=+=+t t t t t

13、 t t t t t t t t t t t t t t t t b baabb a a顯然當(dāng)且僅當(dāng)t =0，即a =b =21時(shí)，等號(hào)成立.證法三：(比較法）a +b =1，a 0，b 0，a +b 2ab ，ab 41425 1(1(048(41(4833442511425 1(1(2222+-=+=-+=-+bb aa abab ab abab ba b b a ab b a a證法四：(綜合法a +b =1， a 0，b 0，a +b 2ab ，ab 41.4251 1(41 16251 1(169 1(434111222+-+-=-ab ab ab ab ab ab425 1(1(+

14、bb aa 即證法五：(三角代換法） a 0，b 0，a +b =1，故令a =sin2，b =cos2，(0，2.425 1(1(4252sin 4 2sin 4(412sin 125162sin24. 3142sin4, 12sin2sin416 sin 4(2sin42cos sin 2cos sin cos 1(cossin1(sin1(1(2222222222222442222+-+-=-+-=+-+=+=+b b a a bb aa 即得 2殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1. 解析：令xa =cos2，yb =sin2，則x =a sec 2，y =bc s c 2，x +y =a sec 2

15、+b csc 2=a +b +a tan 2+b co t 2a +b +2ab b a b a 2cot tan 22+=.答案：a +b +2ab2. 解析：由0|a d |b c |(a d 2(b c 2(a +b 24ad (b +c 24bca +d =b +c ，4ad 4bc ，故ad bc . 答案：ad bc3. 解析：把p 、q 看成變量，則m p n ，m q n . 答案：m p q n二、4.(1證法一：a 2+b 2+c 231=31(3a 2+3b 2+3c 21=313a 2+3b 2+3c 2(a +b +c 2=313a 2+3b 2+3c 2a 2b 2

16、c 22ab 2ac 2bc =31(a b 2+(b c 2+(c a 20 a 2+b 2+c 231證法二：(a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+a 2+c 2+b 2+c 2 3(a 2+b 2+c 2 (a +b +c 2=1 a 2+b 2+c 231證法三：33222cb a cba+a 2+b 2+c 23cb a +a 2+b 2+c 231證法四：設(shè)a =31+，b =31+，c =31+.a +b +c =1，+=0a 2+b 2+c 2=(31+ 2+(31+ 2+(31+ 2=31+32 (+

17、2+2+2=31+2+2+231a 2+b 2+c 231629(323232323323,23323,21231 23(23: 2(=+<+<+<+<+=+c b a c b a c c b b a a a 同理證法一原不等式成立. 證法二：323( 23( 23(3232323+c b a c b a336(3=+=c b a232323+c b a 336原不等式成立.5. 證法一：由x +y +z =1，x 2+y 2+z 2=21，得x 2+y 2+(1x y 2=21，整理成關(guān)于y 的一元二次方程得：2y 22(1x y +2x 22x +21=0，y R

18、，故04(1x 24×2(2x 22x +21 0，得0x 32，x 0，32同理可得y ，z 0，32證法二：設(shè)x =31+x ，y =31+y ，z =31+z ，則x +y +z =0，于是21=(31+x 2+(31+y 2+(31+z 2=31+x 2+y 2+z 2+32 (x +y +z =31+x 2+y 2+z 231+x 2+2(2z y '+'=31+23x 2故x 291，x 31，31，x 0，32，同理y ，z 0，32證法三：設(shè)x 、y 、z 三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x 0，則x 20，21=x 2+y 2+z 2x 2+212321(2(

19、2222+-=+-=+x xxx z y 21，矛盾.x 、y 、z 三數(shù)中若有最大者大于32，不妨設(shè)x 32，則21=x 2+y 2+z 2x 2+2(2z y +=x 2+21(2x -=23x 2x +21=23x (x 32+2121；矛盾. 故x 、y 、z 0，32( ( ( ( ( (222(4 (2( (2( ( (2 (: 2(20( (2( 2(2(22: 1.(62222222222223333332222222222222222222222222222222222-+-+-+-+-+-+-+-+-=-+-+-+=+-+y x z x z y z y x y x xy x

20、 z zx z y yz xyzz xy yz x xyy x zx x z yz z y xyzz xy yz x x z zy yx xy y x zxx z yz z y z y x zx yz xy y x xy x z zx z y yz xyz zx yz xy zy x yx z xz y z y x zx yz xy zcb a y ba c xacb x a c z ca z cb y bc y ba x a b zx xac zc a yz zcb y b c xy y ba x a b zx yz xy zc b a yb a c x c b 所證不等式等介于證明證明上式

21、顯然成立，原不等式得證.7. 證明：(1對于1i m ，且A i m =m ··(m i +1，ni n nn nn nmi m mm mm miim i im 11A , 11A +-=+-=同理，由于m n ，對于整數(shù)k =1，2，i 1，有mk m nk n ->-，所以imi i n i iim i in n m mnA A , A A >>即(2由二項(xiàng)式定理有：(1+m n =1+C1n m +C2n m 2+Cnn m n ，(1+n m =1+C1m n +C2m n 2+Cmm n m ，由(1知m iA in n iA i m(1i m

22、，而C i m=!A C, !A i i in i nim =m i C i n n i C i m (1m n m 0C 0n =n 0C 0n =1，m C 1n =n C 1m =m ·n ，m 2C 2n n 2C 2m ， m m C m n n m C m m ，m m +1C 1+m n 0，m n C n n 0， 1+C1n m +C2n m 2+Cn n m n 1+C1m n +C2m n 2+Cm m n m ，即(1+m n (1+n m 成立.8. 證法一：因a 0，b 0，a 3+b 3=2，所以 (a +b 323=a 3+b 3+3a 2b +3ab 28=3a 2b +3ab 26=3ab (a +b 2=3ab (a +b (a 3+b 3 =3(a +b (a b 20. 即(a +b 323，又a +b 0，所以a +b 2，因?yàn)?ab a +