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1、 微分方程的解 使方程成為恒等式的函數(shù). 通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程 的階數(shù)相同. 特解 不含任意常數(shù)的解, 其圖形稱為積分曲線. 定解條件 確定通解中任意常數(shù)的條件. n 階方程的初始條件(或初值條件: , ", y ( n 1 ( x0 = y0 ( n 1 y ( x0 = y0 , y ( x0 = y0 引例1 通解: 特解: dy dx = 2x x =1 = 2 d2y y 2 引例2 y = x +C y = x2 +1 = 20 s t =0 = 0 , 2 s = 0.2 t + C1t + C2 s = 0.2 t 2 + 20 t 機(jī)動(dòng) 目錄 上

2、頁 下頁 返回 結(jié)束 dx 2 = 0.4 d s d t t =0 例1. 驗(yàn)證函數(shù) x = C1 cos k t + C2 sin k t (C1 , C2為常數(shù) d2 x 是微分方程 2 + k 2 x = 0 的解, 并求滿足初始條件 dt dx x t =0 = A , = 0 的特解 . dt t = 0 d2 x 2 2 解: = C1k cos kt C2 k sin kt 2 dt = k 2 ( C1 sin kt + C2 cos kt = k 2 x 這說明 x = C1 cos k t + C2 sin k t 是方程的解 . C1 , C2 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù), 故它是方程的通解. 利用初始條件易得: C1 = A , C2 = 0 , 故所求特解為 x = A cos k t 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 已知曲線上點(diǎn) P(x, y 處的法線與 x 軸交點(diǎn)為 Q 且線段 PQ 被 y 軸平分, 求所滿足的微分方程 . 解: 如圖所示, 點(diǎn) P(x, y 處的法線方程為 1 Y y = ( X x y 令 Y = 0 , 得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo) y P x x X = x + y y x + y y = x , 即 y y + 2 x = 0 思考與練習(xí) P263 (習(xí)題12-1 Q o 1 ;

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