巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)

1、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院數(shù)字信號(hào)處理課程作業(yè)學(xué)號(hào)： S315060063專(zhuān)業(yè)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)生：董程鳳任課教師：麗穎教授2015年 12月巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)摘要 ：本文分析了國(guó)外數(shù)字濾波器技術(shù)的應(yīng)用現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)， 介紹了低通濾波 器的基本結(jié)構(gòu)和常見(jiàn)的幾種低通濾波器的設(shè)計(jì)比較， 重點(diǎn)介紹了巴特沃斯低通濾 波器。首先分析了巴特沃斯低通濾波器的特性，然后用 MATLAB 的信號(hào)處理工 具箱提供的函數(shù)設(shè)計(jì)了巴特沃斯低通濾波器， 使得巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)變得更 加簡(jiǎn)單、快捷、直觀。關(guān)鍵詞 ：低通濾波器，巴特沃斯低通濾波器， MATLAB1. 引言在信號(hào)處理過(guò)程中， 所處理的信號(hào)往往混有噪音， 從接

2、受到的信號(hào)中消除或 減弱噪音是信號(hào)傳輸和處理中十分重要的問(wèn)題。根據(jù)有用信號(hào)和噪音的不同特 性，提取有用信號(hào)燈過(guò)程成為濾波， 實(shí)現(xiàn)濾波功能的系統(tǒng)稱(chēng)為濾波器。 在近代電 信設(shè)備和各類(lèi)控制系統(tǒng)中， 濾波器應(yīng)用極為廣泛， 例如，濾波器最早應(yīng)用于語(yǔ)音 處理，除此之外，還應(yīng)用于圖像處理、通信、音視頻壓縮和生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理等 領(lǐng)域中。濾波技術(shù)是數(shù)字信號(hào)分析、處理技術(shù)的重要分支。無(wú)論是信號(hào)的獲取、 傳輸，還是信號(hào)的處理和交換都離不開(kāi)濾波技術(shù)， 它對(duì)信號(hào)安全可靠和有效靈活 地傳輸是至關(guān)重要的。根據(jù)濾波器的選頻作用可以將它分為低通濾波器、 高通濾波器、 帶通濾波器 和帶阻濾波器。 低通濾波器和高通濾波器是濾波器的

3、兩種最基本的形式， 其它的 濾波器都可以分解為這兩種類(lèi)型的濾波器， 例如：低通濾波器與高通濾波器的串 聯(lián)為帶通濾波器， 低通濾波器與高通濾波器的并聯(lián)為帶阻濾波器。 根據(jù)“最佳逼 近特性”標(biāo)準(zhǔn)還可以把濾波器分為巴特沃斯濾波器、 切比雪夫?yàn)V波器和貝塞爾濾 波器。巴特沃斯濾波器是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器， 它廣泛應(yīng)用 于通信領(lǐng)域、 電測(cè)中，目前人們已經(jīng)成功地將巴特沃斯低通濾波器應(yīng)用于電動(dòng)測(cè) 試中。2. 低通濾波器2.1 濾波器的基本概念從輸入信號(hào)中濾出噪聲和干擾以提取有用信息的過(guò)程稱(chēng)為濾波， 相應(yīng)的裝置 稱(chēng)為濾波器。 濾波器是一種選頻裝置， 可以使信號(hào)中特定的頻率成分通過(guò)， 而極 大地衰

4、減其它頻率成分。 在測(cè)試裝置中， 利用濾波器的這種選頻作用， 可以濾除 干擾噪聲或進(jìn)行頻譜分析。廣義地講，任何一種信息傳輸?shù)耐ǖ溃劫|(zhì)）都可視 為是一種濾波器。 因?yàn)椋魏窝b置的相應(yīng)特性都是激勵(lì)頻率的函數(shù)， 都可用頻域 函數(shù)描述其傳輸特性。因此，構(gòu)成測(cè)試系統(tǒng)的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，諸如機(jī)械系統(tǒng)、電 氣網(wǎng)絡(luò)、儀器儀表甚至連接導(dǎo)線等等，都將在一定頻率圍，按其頻域特性，對(duì)所 通過(guò)的信號(hào)進(jìn)行變換與處理。 如果濾波器的輸入和輸出均為離散信號(hào)， 稱(chēng)該濾波 器為數(shù)字濾波器。 當(dāng)濾波器的輸出信號(hào)為輸入端的線性函數(shù)時(shí)， 該濾波器稱(chēng)為線 性濾波器，否則稱(chēng)為非線性濾波器。2.2 常見(jiàn)濾波器下面介紹幾種常見(jiàn)的濾波器： 低通濾

5、波器從0f2頻率之間，幅頻特性平直，它可以使信號(hào)中低于 f2的頻率成分幾乎不受衰減地通過(guò)，而高于 f 2的頻率成分受到極大地衰減。 高通濾波器與低通濾波器相反，從頻率fi ，其幅頻特性平直。它使信號(hào)中高于fi的頻率成分幾乎不受衰減地通過(guò)，而低于 f1 的頻率成分將受到極大地衰減。 帶通濾波器它的帶通頻帶在fi f2之間。它使信號(hào)中高于fi而低于f2的頻率成分可以不受衰減地通過(guò)，而其它成分受到衰減。 帶阻濾波器與帶通濾波器相反，阻帶在頻率fi f2之間。它使信號(hào)中高于fi而低于f2的 頻率成分受到衰減，其余頻率成分的信號(hào)幾乎不受衰減地通過(guò)。2.3 低通濾波器低通濾波是一種過(guò)濾方式， 規(guī)則為低頻信

6、號(hào)能正常通過(guò)， 而超過(guò)設(shè)定臨界值 的高頻信號(hào)則被阻隔、減弱?？梢院?jiǎn)單的認(rèn)為：設(shè)定一個(gè)頻率點(diǎn)，當(dāng)信號(hào)頻率高 于這個(gè)頻率時(shí)不能通過(guò)， 在數(shù)字信號(hào)中， 這個(gè)頻率點(diǎn)也就是截止頻率， 當(dāng)頻域高 于這個(gè)截止頻率是， 則全部賦值為 0.因?yàn)樵谶@一處理過(guò)程中， 讓低頻信號(hào)全部通 過(guò)，所以稱(chēng)為低通濾波。對(duì)不同濾波器而言，每個(gè)頻率的信號(hào)的減弱程度不同，當(dāng)使用音頻應(yīng)用時(shí)， 它有時(shí)稱(chēng)為高頻剪切濾波器， 或高音消除濾波器。 低通濾波器是指車(chē)載功放中能 夠讓低頻信號(hào)通過(guò)而不讓中、 高頻信號(hào)通過(guò)的電路， 起作用是濾去音頻中的中音 和高音成分， 增強(qiáng)低音成分以驅(qū)動(dòng)揚(yáng)聲器的低音單元。 由于車(chē)載放大部分都是全 頻功放，通常采用

7、AB 類(lèi)放大設(shè)計(jì)，功率損耗比較大，所以濾除低頻段的信號(hào)， 只推動(dòng)中高頻揚(yáng)聲器是節(jié)省功率、保證音質(zhì)的最佳選擇。低通濾波器的工作原理很簡(jiǎn)單， 就是利用電容通高頻阻低頻、 電感通低頻阻 高頻的原理。對(duì)于需要截止的高頻， 利用電容吸收電感、 阻礙的方法不使它通過(guò)； 對(duì)于需要放行的低頻，利用電容高阻、電感低阻的特點(diǎn)讓它通過(guò)。低通濾波器概念有許多不同的形式， 其中包括電子線路 （如音頻設(shè)備中使用 的hiss濾波器、平滑數(shù)據(jù)的數(shù)字算法、音障、圖像模糊處理等等，這兩個(gè)工具都通過(guò)剔除短期波動(dòng)、保留長(zhǎng)期發(fā)展趨勢(shì)提供了信號(hào)的平滑形式。低通濾波器在信 號(hào)處理中的作用等同于其它領(lǐng)域中移動(dòng)平均數(shù)所起的作用；低通濾波器有很

8、多 種。其中，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器。低通濾波器的主要技術(shù)指標(biāo)：1 .通帶增益通帶增益是指濾波器在通頻帶的電壓放大倍數(shù)。性能良好的LPF通帶的幅頻特性曲線是平坦的，祖帶的電壓放大倍數(shù)基本為零。2.通帶截止頻率其定義與放大電路的上限截止頻率相同。 通帶與阻帶之間稱(chēng)為過(guò)渡帶，過(guò)渡 帶越窄，說(shuō)明濾波器的選擇性越好。3. 巴特沃斯低通濾波器3.1巴特沃斯低通濾波器的簡(jiǎn)介巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種，特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最大限 度平坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。這種濾波器最先由英國(guó)工程師 斯替芬巴特沃斯在1930年發(fā)表在英國(guó)無(wú)線電工程期刊的一篇論文中提出的， 可以

9、構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)，是目前最為流行的一類(lèi)數(shù)字濾波器。 經(jīng)過(guò)離散化可以作為數(shù)字巴特沃斯濾波器， 較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈 活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點(diǎn)，因而在自動(dòng)控制、語(yǔ)音、圖像、通信、雷達(dá)等 眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器。3.2巴特沃斯低通濾波器的特性巴特沃斯低通濾波器的平方幅度響應(yīng)為2H(j )12n1 C其中，n為濾波器的階數(shù)，c為低通濾波器的截止頻率。該濾波器具有一些特殊 的性質(zhì)：2 對(duì)所有的n，都有當(dāng) 0時(shí)，H jO|1;2 1 對(duì)所有的n，都有當(dāng) c時(shí)，H(j J 1，即在c處有3dB的衰2減；2 |H(j )是的單調(diào)遞減函

10、數(shù)，即不會(huì)出現(xiàn)幅度響應(yīng)的起伏；2H (j )在該 n時(shí)，巴特沃斯濾波器趨向于理想的低通濾波器； 在3 =0處平方幅度響應(yīng)的各級(jí)導(dǎo)數(shù)均存在且等于0,因此點(diǎn)上取得最大值，且具有最大平坦特性。圖1展示了 2階、4階、8階巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性。可見(jiàn)階數(shù) n 越高，其幅特性越好，低頻檢測(cè)信號(hào)保真度越高。圖1巴特沃斯低通濾波器幅頻特性從表1可以看出，巴特沃斯濾波器在帶通和過(guò)渡區(qū)域的線性相位、 衰減斜率、 加載特性以及跳躍反應(yīng)方面具有特性均衡的優(yōu)點(diǎn)。 因此在實(shí)際使用中，巴特沃斯 濾波器已被列為首選。表1巴特沃斯與貝塞爾、切比雪夫?yàn)V波器的特性差異比較濾波器類(lèi)型帶通過(guò)渡區(qū)域階躍響應(yīng)巴特沃斯濾波器帶通中最

11、大的平坦幅 度比貝塞爾濾波器陡 峭,但不如切比雪夫 濾波器性能好有一些過(guò)沖和振鈴， 但低于切比雪夫?yàn)V波 器切比雪夫?yàn)V波器帶通中的紋波比巴特沃斯濾波器和 貝塞爾濾波器陡峭過(guò)沖和振鈴合理貝塞爾濾波器帶通中的平坦幅度響 應(yīng)比巴特沃斯濾波器和 切比雪夫?yàn)V波器慢與巴特沃斯和切比雪 夫?yàn)V波器相比，過(guò)沖 和振鈴非常小3.3巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理2巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù) H(j )，用下式表示：2 1H(j )石1 C2 2N為濾波器的階數(shù)。當(dāng)Q =0時(shí)，H(j ) =1；Q = c時(shí)，H(j ) =1/2， c是3dB截止頻率。Q = c時(shí)，Q逐漸增大，幅度下降非常迅速。Q和 N同幅度特性關(guān)

12、系圖如圖1所示。N決定了幅度下降速度，N越大，通帶就越平坦，過(guò)渡帶也 隨之變窄，阻帶幅度同過(guò)渡帶下降的速度越迅速， 總體頻響特性同理想低通濾波器的實(shí)際誤差越小。2用S代替j ，把幅度平方函數(shù)|H(j )變成S的函數(shù):12nsj cs j ，此公式說(shuō)明了幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)Sk可以用下面的公式來(lái)表達(dá):jt(2k 1)2N sk(jce).tce尾cek 0,1,2,.,2n 1,2n個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為c的圓上，間隔是/nrad。如圖2所示。圖2三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)只取S平面左半面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成H (s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成H( s)H (

13、s)的表達(dá)式為nH(s)苗 (sk 0Sk)例如N=3，.2s) ce3當(dāng)n=3時(shí),通過(guò)下式可以計(jì)算出6個(gè)極點(diǎn):.4ce3，S35 ce抵6個(gè)極點(diǎn)中位于左半平面的三個(gè)分別是:.2J3sc ce 3 ，s!，sice ，sj 2ce ，s57 cJce ，S2.4cej3取S平面左半面平面的極點(diǎn)s0, s , s2組成H (s):3H(s) c2L4 j韋(sc)(sc3 )(s c3 )將H(s)茴1(k 0 c對(duì)3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的H(s)表示為:L)c1H(s)十s s(乂)k 0 cc，p稱(chēng)為歸一化拉式復(fù)變量。/ c ,入稱(chēng)為歸一化頻率。經(jīng)過(guò)歸一化后巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)

14、為:1H(p) k(P Pk)k 0式中，Pk Sk/ c為歸一化極點(diǎn)，sk為位于左半平面的極點(diǎn)用下式表示: j (1 絲)Pk e 2 2n ，k 0,1,., n 1把極點(diǎn)表達(dá)式代入歸一化后的巴特沃斯濾波器的傳輸函數(shù)，得到的H (p)的分母是p的n階多項(xiàng)式，用下式表示:H(P)1bobip . bn 1pn ()2n 10p/10 pn下面來(lái)確定n，由技術(shù)指標(biāo)p， p， s和s確定。在定義2 2 1p 10lg H(j p)，|H(j )茁中，將 p和s分別代入1 C2 2 2 2 幅度平方函數(shù)，得到H(j p)和H(j s)|，再將H(j p)和H(j s)代入2p 10lg H(j p

15、)中，整理得：聯(lián)立這兩個(gè)式子可得:p/ios/101(Tn 10s/10c10 p/10 110 s/10 1令sp ，ksp 0：/1。1，則n的表達(dá)式為：N的最小整數(shù)。經(jīng)過(guò)總結(jié)，巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟大致為：蟲(chóng)，取大于等于Nlg sp通過(guò)p， s和s的值，用公式N業(yè)算出濾波器的階數(shù)noig spH(p)根據(jù)J2爲(wèi)),k 0,1,.,n 1，求出歸一化極點(diǎn)Pk，將Pk代入n 1(P Pk)k 0中，得出歸一化傳輸函數(shù)H(P)。將H(P)去歸一化。將p s/ c代入H(P)中，從而得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)H (s) o4. MATLAB仿真及分析4.1 MATLAB 簡(jiǎn)介MATLAB語(yǔ)言

16、是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的預(yù)言，它編程效率高，測(cè)試程 序手段豐富，擴(kuò)展能力強(qiáng)，涵豐富。它的信號(hào)處理工具箱提供了設(shè)計(jì)巴特沃斯濾 波器的函數(shù)。本文充分利用這些函數(shù)，進(jìn)行了巴特沃斯濾波器的程序設(shè)計(jì)，并將其作為函數(shù)文件保存，可方便地進(jìn)行調(diào)用。4.2 MATLAB仿真及分析用buttord函數(shù)設(shè)計(jì)歸一化的巴特沃斯低通濾波器。 buttord函數(shù)可在給定濾 波器性能的情況下，選巴特沃斯濾波器的階數(shù)n和截止頻率c，從而可用butter 函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)。n, c buttored ( p, c,Rp,Rs,s)可得到足性能的模擬巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)n及截止頻率c，其中p為通帶的拐角頻率，

17、s為阻帶的拐角頻率,和s的單位均為rad/s ; Rs為通帶區(qū)的最大波動(dòng)系數(shù)，Rp和&阻帶區(qū)的最小衰減系數(shù)，尺和Rp的單位都為dB。b,abutter (n, c,s)可設(shè)計(jì)截止頻率為s的n 階低通模擬巴特沃斯濾波器，其傳遞函數(shù)為：H(s)B(s) b(1)sn b(2)sn1 A b(n 1)A(s)sn a(2)sn 1 A a(n 1)令c=1rad/s，得到巴特沃斯濾波器歸一化結(jié)果，如表2所示表2 n=18階的巴特沃斯濾波器系數(shù)nb7b5b4b3b2blbO11. oooc21.41421. 000032. 00002.0000L 000042* 61313. 41422.6131L

18、000053.23615,23615. 23613.23611. 000063- 86377.4641g. me7. 46413. &6371. 000074. 494010.097814. 591814.591810.09784. 49401. 000085.125813.137121,846225. 84fi22 L 846213.13715.12581. oooo濾波器的性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率fp =2400HZ，通常最大衰減p =3dB，阻帶截止頻率fs =5000HZ,阻帶最小衰減 s=25dB。MATLAB程序如下：%采樣率 f_N=16000;%設(shè)計(jì)要求指標(biāo) f_p=2400

19、; f_s=5000; R_P=3； R_s=25;%計(jì)算歸一化角頻率 Ws=f_s/(f_N/2); Wp=f_p/(f_N/2);%計(jì)算階數(shù)和截止頻率 n, Wn=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);%計(jì)算H (Z) b,a=butter( n, Wn);%作出H (Z)的幅頻相頻圖，freqz(b，a,計(jì)算點(diǎn)數(shù)，采樣率) freqz(b,a,1000,8000) subplot(2,1,1); axis(0 4000 -30 3)利用MATLAB工具箱里的函數(shù)，仿真設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的仿真結(jié)果 如圖3所示。-10-300-20500100015002000250030003

20、5004000Freque ncy (Hz)esach-3000-100-2005001000150020002500300035004000Freque ncy (Hz)圖3假定的輸入信號(hào)的頻譜和濾波器的輸出信號(hào)的頻譜5. 結(jié)論本文主要介紹利用MATLAB對(duì)巴特沃斯濾波器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)和分析。在本 文的第一章為大家引入了濾波器的概念和發(fā)展?fàn)顩r。在第二章主要介紹了低通濾 波器的基本概念、特性和常用的幾種濾波器。在第三章和第四章是本文的重點(diǎn)， 介紹了巴特沃斯低通濾波器，包括巴特沃斯濾波器的特性、設(shè)計(jì)理念以及利用 MATLAB仿真和分析巴特沃斯濾波器。雖然巴特沃斯低通濾波器相對(duì)于切比雪 夫和貝塞爾濾