數(shù)值分析期末作業(yè)之一

1、昆明理工大學(xué)工科研究生數(shù)值分析上機(jī)實驗課題理學(xué)院信息與計算科學(xué)教研室任課教師： 結(jié)合課程教學(xué)，配備適當(dāng)?shù)纳蠙C(jī)實驗以便加深課堂教學(xué)的實踐性，同時通過實驗可以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的總體分析，算法選取，程序結(jié)構(gòu)，上機(jī)調(diào)試和結(jié)果分析等環(huán)節(jié)的訓(xùn)練,為使實驗環(huán)節(jié)有成效,需要寫出課題計算的實驗報告,并以此作為數(shù)值分析課程期末成績評定的一部分。實驗報告內(nèi)容要求：一、 課題名稱二、 班級、姓名、學(xué)號三、目的和意義方法的理論意義和實用價值。四、計算公式五、結(jié)構(gòu)程序設(shè)計六、結(jié)果討論和分析如初值對結(jié)果的影響；不同方法的比較；該方法的特點和改進(jìn)；整個實驗過程中（包括程序編寫，上機(jī)調(diào)試等）出現(xiàn)的問題及其處理等廣泛的問題，以

2、此擴(kuò)大知識面和對實驗環(huán)節(jié)的認(rèn)識。實驗課題數(shù)量要求：請從以下10個課題中選擇1個不同的課題，題中帶號的要求為選做。課題一 迭代格式的比較一、 問題提出設(shè)方程f(x=x- 3x 1=0 有三個實根 x=1.8793 , x=-0.34727 ,x=-1.53209現(xiàn)采用下面六種不同計算格式，求 f(x=0的根 x 或x 1、 x = 2、 x = 3、 x = 4、 x = 5、 x = 6、 x = x - 二、要求1、編制一個程序進(jìn)行運(yùn)算，最后打印出每種迭代格式的斂散情況；2、用事后誤差估計來控制迭代次數(shù)，并且打印出迭代的次數(shù)；3、初始值的選取對迭代收斂有何影響；4、分析迭代收斂和發(fā)散的原因。

3、三、目的和意義1、通過實驗進(jìn)一步了解方程求根的算法；2、認(rèn)識選擇計算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明確迭代收斂性與初值選取的關(guān)系。課題二 線性方程組的直接算法一、問題提出給出下列幾個不同類型的線性方程組，請用適當(dāng)算法計算其解。1、設(shè)線性方程組=x= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 2、設(shè)對稱正定陣系數(shù)陣線方程組= x = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 3、三對角形線性方程組 = x= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 二、要求1、 對上述三個方程組分別利用Gauss順序消去法與Gauss

4、列主元消去法；平方根法與改進(jìn)平方根法；追趕法求解（選擇其一）；2、 應(yīng)用結(jié)構(gòu)程序設(shè)計編出通用程序；3、 比較計算結(jié)果，分析數(shù)值解誤差的原因；4、 盡可能利用相應(yīng)模塊輸出系數(shù)矩陣的三角分解式。三、目的和意義1、通過該課題的實驗，體會模塊化結(jié)構(gòu)程序設(shè)計方法的優(yōu)點；2、運(yùn)用所學(xué)的計算方法，解決各類線性方程組的直接算法；3、提高分析和解決問題的能力，做到學(xué)以致用；4、通過三對角形線性方程組的解法，體會稀疏線性方程組解法的特點。課題三 線性方程組的迭代法一、問題提出對課題二所列目的和意義的線性方程組，試分別選用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法計算其解。二、要求1、體會迭代

5、法求解線性方程組，并能與消去法做以比較；2、分別對不同精度要求，如由迭代次數(shù)體會該迭代法的收斂快慢；3、對方程組2，3使用SOR方法時，選取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，試看對算法收斂性的影響，并能找出你所選用的松弛因子的最佳者；4、給出各種算法的設(shè)計程序和計算結(jié)果。三、目的和意義1、通過上機(jī)計算體會迭代法求解線性方程組的特點，并能和消去法比較；2、運(yùn)用所學(xué)的迭代法算法，解決各類線性方程組，編出算法程序；3、體會上機(jī)計算時，終止步驟（予給的迭代次數(shù)），對迭代法斂散性的意義；4、體會初始解 x，松弛因子的選取，對計算結(jié)果的影響。課題四 矩陣求逆與矩陣行列式一、問題提出應(yīng)有列主元

6、Gauss-Jordan消去法求滿秩矩陣的逆矩陣，并計算A的行列式det的值，如下列矩陣之一： 二、要求1、 分析列主元Gauss-Jordan消去法的計算公式；2、 確定選主元，換行，計算行（約化非主元行）和交換列序等四個子程序；3、 應(yīng)用結(jié)構(gòu)程序設(shè)計編出計算n階非奇異方陣的通用程序；4、 計算考核題 結(jié)果： 三、目的和意義1、 通過該課題的實驗，主要掌握Gauss-Jordan消去法求非奇異矩陣的逆陣的程序設(shè)計方法；2、 體會Gauss-Jordan消去法求解線性方程組的關(guān)鍵步驟；3、 提高科學(xué)計算和編程的能力。課題五 函數(shù)插值方法一、問題提出對于給定的一元函數(shù) 的n+1個節(jié)點值 。試用L

7、agrange公式求其插值多項式或分段二次Lagrange插值多項式。數(shù)據(jù)如下：（1）0.40.550.650.800.951.050.410750.578150.696750.901.001.25382求五次Lagrange多項式L，和分段三次插值多項式，計算 的值。（2）12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001試構(gòu)造Lagrange多項式L，計算的值。結(jié)果0.165299 0.00213348二、要求1、 利用Lagrange插值公式 編寫出插值多項式程序；2、 給出插值多項式或分段三次插值多項式的表達(dá)式；3、 根據(jù)節(jié)點選取原則，對問題（2）用三

8、點插值或二點插值，其結(jié)果如何；4、 對此插值問題用Newton插值多項式其結(jié)果如何。三、目的和意義1、 學(xué)會常用的插值方法，求函數(shù)的近似表達(dá)式，以解決其它實際問題；2、 明確插值多項式和分段插值多項式各自的優(yōu)缺點；3、 熟悉插值方法的程序編制；4、 如果繪出插值函數(shù)的曲線，觀察其光滑性。課題六 Ronge現(xiàn)象的產(chǎn)生與克服一、問題提出給定函數(shù)， ，及節(jié)點，試用何種插值方法可克服Ronge現(xiàn)象。二、要求1、用多項式插值計算出下列插值 ，觀察是否會產(chǎn)生Ronge現(xiàn)象。2、選用下列任意二種插值方法進(jìn)行計算，并比較它們克服Ronge現(xiàn)象的效果。（1） 分段線性插值；（2） 三次樣條函數(shù)插值（一），條件為

9、： （3） 一元三點插值；（4） 三次樣條函數(shù)插值（二），條件為： 以上取N=10，20 等。3、打印結(jié)果分析（1）每種插值在節(jié)點上的值與精確值的誤差是多少；（2）同一種插值法，當(dāng)節(jié)點增多時，精度怎樣？（3）不同的插值法在相同節(jié)點處，精度又怎樣；4、如果繪出相應(yīng)的插值多項式曲線，其光滑程度怎樣。三、目的和意義1、深刻認(rèn)識多項式插值的優(yōu)缺點；2、明確插值方法的不穩(wěn)定性如何克服；3、體會精度與節(jié)點，插值方法的關(guān)系；4、利用計算機(jī)繪圖來顯示插值函數(shù)，使結(jié)果形象化；5、理解三次樣條插值在實際應(yīng)用中的價值。課題七 三次樣條插值法一、問題提出設(shè)已知數(shù)據(jù)如下：0.20.40.60.81.00.9798652

10、0.91777100.80803480.63860920.3843735求的三次樣條插值函數(shù)。二、要求1、滿足自然邊界條件； 2、滿足第一類邊界條件，。3、打印輸出用追趕法解出的彎矩向量和的值。并畫出的圖形。課題八 曲線擬合的最小二乘法一、問題提出從隨機(jī)的數(shù)據(jù)中找出其規(guī)律性，給出其近似表達(dá)式的問題，在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗中大量存在，通常利用數(shù)據(jù)的最小二乘法求得擬合曲線。在某冶煉過程中，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的含碳量與時間關(guān)系，試求含碳量與時間的擬合曲線。分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51

11、4.58 4.02 4.64二、要求1、用最小二乘法進(jìn)行曲線擬合；2、近似解析表達(dá)式為；3、打印出擬合函數(shù)，并打印出與的誤差，；4、另外選取一個近似表達(dá)式，嘗試擬合效果的比較；5、* 繪制出曲線擬合圖。三、目的和意義1、掌握曲線擬合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定線代數(shù)方程組；3、探索擬合函數(shù)的選擇與擬合精度間的關(guān)系。課題九 數(shù)值積分一、問題提出選用復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simpson公式，Romberg算法，計算（1） I = （2） I = （3） I = （4） I = 二、要求1、 編制數(shù)值積分算法的程序；2、 分別用兩種算法計算同一個積分，并比較其結(jié)果；3、 分別取不同步長，試

12、比較計算結(jié)果（如n = 10, 20等）；4、 給定精度要求，試用變步長算法，確定最佳步長。三、目的和意義1、 深刻認(rèn)識數(shù)值積分法的意義；2、 明確數(shù)值積分精度與步長的關(guān)系；3、 根據(jù)定積分的計算方法，可以考慮二重積分的計算問題。課題十 常微分方程的初值數(shù)值解一、問題提出科學(xué)計算中經(jīng)常遇到微分方程（組）初值問題，需要利用Euler法，改進(jìn)Euler法，Rung-Kutta方法求其數(shù)值解，諸如以下問題：（1） 0 x2分別取h=0.1,0.2,0.4時數(shù)值解。初值問題的精確解。（2）用r=3的Adams顯式和預(yù) - 校式求解 取步長h=0.1，用四階標(biāo)準(zhǔn)R-K方法求值。（3）用改進(jìn)Euler法或四階標(biāo)準(zhǔn)R-K方法求解 取步長0.01,計算數(shù)值解，參考結(jié)果 （4）利用四階標(biāo)準(zhǔn)R- K方法求二階方程初值問題的