第六節(jié)、空間直線及其方程ppt課件

1、上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線的一般式方程一、空間直線的一般式方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)式方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)式方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、兩平面的夾角四、兩平面的夾角上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)xyz

2、o方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量為這條直線的方向向量sL0M M ,LM ),(zyxMsMM0/,0000zzyyxxMM 二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程),(0000zyxM已知直線已知直線L L上一點(diǎn)上一點(diǎn),pnms 和它的方向向量和它的方向向量求直線求直線L L的方程。的方程。那么那么,pnms 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)pzznyymxx000 直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymt

3、xx000直線的一組方向數(shù)直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的方向余弦直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程根據(jù)兩向量平行的充要條件，得根據(jù)兩向量平行的充要條件，得上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)例例1 1 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy是這直線上一點(diǎn)是這直線上一點(diǎn)即即)2, 0 , 1( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)因所求直線與兩平面的法向量因所求直線與兩平面的法向量 都垂直都垂直

4、取取21nns ,3, 1, 4 所求直線的對(duì)稱式方程為所求直線的對(duì)稱式方程為,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx)3 , 1, 2(),1 , 1 , 1 (21nn312111kji上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)解解所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx., )4 , 3, 2(A 2求求其其方方程程軸軸垂垂直直相相交交且且和和一一直直線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)例例y 軸垂直相交軸垂直相交因?yàn)橹本€和因?yàn)橹本€和y上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)兩直線的方向向量的夾角兩直線的方向向量的夾角(通常指銳

5、角通常指銳角)叫做兩叫做兩直線的夾角直線的夾角.1L2L1s2s)(2s)(. , ),( ),( 21212222111121 的夾角為的夾角為和和的夾角為的夾角為和和和和為為的方向向量依次的方向向量依次和和設(shè)直線設(shè)直線ssLLpnmspnmsLL , 或或者者coscos .222222212121212121pnmpnmppnnmm 三、直線與直線的位置關(guān)系三、直線與直線的位置關(guān)系上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)1L2L1s2s.cos222222212121212121pnmpnmppnnmm 21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm

6、直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué).1222:13411: 321的的夾夾角角和和求求直直線線例例 zyxLzyxL).1, 2, 2();1 , 4, 1(2211 sLsL的的方方向向向向量量為為的的方方向向向向量量為為直直線線.21)1()2(21)4(1)1(1)2()4(21cos222222 .4 所所以以解解那那么么的的夾夾角角為為和和設(shè)設(shè)直直線線,21 LL上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué). )20( ,直直線線與與平平面面的的夾夾角角稱稱為為線線的

7、的夾夾角角影影直直直直線線和和它它在在平平面面上上的的投投直直時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)直直線線與與平平面面不不垂垂 .2 ,直直線線與與平平面面的的夾夾角角為為當(dāng)當(dāng)直直線線與與平平面面垂垂直直時(shí)時(shí)四、直線與平面的位置關(guān)系四、直線與平面的位置關(guān)系Ls 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué). , ),( ),( 為為的的夾夾角角與與直直線線與與平平面面的的夾夾角角為為為為平平面面的的法法向向量量為為設(shè)設(shè)直直線線的的方方向向向向量量nsCBAnpnms 2 2 或者或者 cossin .222222pnmCBACpBnAm n)(nLs 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式 2 即即上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)

8、直線與平面垂直相當(dāng)于直直線與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向線的方向向量與平面的法線向量平行量平行.直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直方向向量與平面的法線向量垂直.n)(nLs L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm L或或上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角., 32:,211-21: 5求求直直線線與與平平面面的的夾夾角角平平面

9、面設(shè)設(shè)直直線線例例 zyxzyxL上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué).0432)4 , 2, 1(垂直的直線的方程垂直的直線的方程且與平面且與平面求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn) zyx,已知平面已知平面因?yàn)樗蟮闹本€垂直于因?yàn)樗蟮闹本€垂直于.143221 zyx例例6解解.)1 , 3, 2(直線的方向向量直線的方向向量作為所求作為所求法線向量法線向量所以可以取已知平面的所以可以取已知平面的 程為程為由此可得所求直線的方由此可得所求直線的方上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為,pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153

10、243 zyx所求直線的方程所求直線的方程五、雜例五、雜例512401kji.15234)5 , 2 , 3( 7的的交交線線平平行行的的直直線線方方程程和和且且與與平平面面求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)例例 zyxzx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)例例8 8的的交交點(diǎn)點(diǎn)與與平平面面求求直直線線062241312 zyxzyx解：所給直線的參數(shù)方程為解：所給直線的參數(shù)方程為 tztytx2432代入平面方程中，代入平面方程中，06)24()3()2(2 ttt得得解方程，得解方程，得t= -1,t= -1,代入直線的參數(shù)方程，得所求交點(diǎn)代入直線的參數(shù)方程，得所求交點(diǎn)2, 2, 1 zyx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

11、 高等數(shù)學(xué)解解先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)M M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx.12131)3 , 1 , 2( 9垂直相交的直線方程垂直相交的直線方程且與直線且與直線求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)例例 zyxM上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t從而求得交點(diǎn)從而求得交點(diǎn))73,713,72( N取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為MNMN373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直線方程為所求直線方程為

12、.431122 zyx上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)平面束平面束通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束設(shè)直線設(shè)直線L L的方程為的方程為0022221111DzCyBxADzCyBxA不不成成比比例例、與與、其其中中系系數(shù)數(shù)222111CBACBA那么三元一次方程那么三元一次方程0)(22221111DzCyBxADzCyBxA稱為通過(guò)直線稱為通過(guò)直線L L的平面束方程的平面束方程注意：平面束方程注意：平面束方程3 3中不包含平面中不包含平面2 2）（2）（3）（1）)(為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué).001, 01上上的的投

13、投影影直直線線的的方方程程在在平平面面求求直直線線 zyxzyxzyx的的平平面面束束的的方方程程為為過(guò)過(guò)直直線線 01, 01zyxzyx, 0)1()1( zyxzyx , 0)1()1()1()1( zyx即即.為待定常數(shù)為待定常數(shù)其中其中 垂直的條件是垂直的條件是該平面與平面該平面與平面0 zyx例例1010解解上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué), 01)1()1(1)1( , 01 即即. 1 由此得由此得, 0222 zy所所以以投投影影平平面面的的方方程程為為投影直線的方程為投影直線的方程為 . 0, 01zyxzy. 01 zy即即上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué).27972:1

14、3249:21的公垂線方程的公垂線方程與直線與直線求直線求直線 zyxlzyxl向向量可取向向量可取根據(jù)題意知公垂線的方根據(jù)題意知公垂線的方的法向量為的法向量為與公垂線所確定平面與公垂線所確定平面1l例例1111解解21 sss 292134 kji),30,10,15( 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)的方程為的方程為故故上上在平面在平面點(diǎn)點(diǎn)11,)0 , 2, 9( 的法向量為的法向量為與公垂線所確定平面與公垂線所確定平面同理同理22, l, 0)0(17)2(27)9(16 zyx).17,27,16(5 . 090172716 zyx即即301015134)(2111 kjisssn301015292)(2122 kjisssn).31, 6 ,58(5 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)的方程為的方程為故故上上在平面在平面點(diǎn)點(diǎn)22,)7 , 7, 0( , 0)7(31)7(6)0(58 zyx,2121的公垂線的公垂線與與的交線即為的交線即為與與ll. 017531658 zyx即即 . 017531658, 090172716zyxzyx故公垂線方程為故公垂線方程為上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 高等數(shù)學(xué)方程為方程為設(shè)過(guò)已知直線的平面束設(shè)過(guò)已知直線的平面束. 04)(5)( zyx即